2024-2025学年高中数学第二章解析几何初步2.2圆与圆的方程2.2.3.2圆与圆的位置关系学案含解析北师大版必修2

PAGE2．3.2圆与圆的位置关系考纲定位重难突破1.能依据两个圆的方程，推断两个圆的位置关系．2.能依据两圆的位置关系，求有关直线或圆的方程．3.了解用代数方法处理几何问题的思想.重点：对两圆内切、外切时位置关系的推断和应用．难点：常与方程、有关圆的平面几何学问结合命题方法：用坐标法解决与圆有关的平面几何问题.授课提示：对应学生用书第53页[自主梳理]圆与圆的位置关系及判定已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req\o\al(2,1)，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req\o\al(2,2)，则圆心分别为C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为r1，r2，圆心距d＝|C1C2|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22).则两圆C1，C2有以下位置关系位置关系公共点个数圆心距与半径图形表示两圆相离0,d>r1＋r2两圆内含d<|r1－r2|两圆相交,2|r1－r2|<d<r1＋r2两圆内切1d＝|r1－r2|两圆外切d＝r1＋r2,[双基自测]1．圆(x－2)2＋(y＋2)2＝9与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．相离 B．外切C．相交 D．内含解析：两圆的圆心分别是(2，－2)，(0,0)，半径分别是3和1，所以圆心距为eq\r(2－02＋－2－02)＝2eq\r(2)，2<2eq\r(2)<4，所以两圆相交．答案：C2．若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是()A．(1,121) B．[1,121]C．(1,11) D．[1,11]解析：两圆的圆心分别为(0,0)，(－3,4)，半径分别为eq\r(m)和6，它们有公共点，所以两圆相切或相交．∴|eq\r(m)－6|≤eq\r(32＋42)≤eq\r(m)＋6，解得1≤m≤121.答案：B3．两圆(x－1)2＋(y－1)2＝2和(x＋2)2＋(y－4)2＝3的公切线的条数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：两圆的圆心分别是(1,1)，(－2,4)，半径分别是eq\r(2)和eq\r(3)，圆心距为eq\r(－2－12＋4－12)＝3eq\r(2)，因为3eq\r(2)>eq\r(2)＋eq\r(3)，所以两圆相离，所以两圆有4条公切线．答案：D4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝30相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．解析：把圆(x－1)2＋(y－3)2＝30的方程化为x2＋y2－2x－6y＝20，与圆x2＋y2＝10两边相减，得2x＋6y＝－10，即x＋3y＋5＝0为直线AB的方程．答案：x＋3y＋5＝05．已知两圆x2＋y2＝1和(x＋2)2＋(y－a)2＝25没有公共点，则实数a的取值范围为____________．解析：由已知，得两圆的圆心分别为(0,0)，(－2，a)，半径分别为1,5，圆心距d＝eq\r(0＋22＋0－a2)＝eq\r(a2＋4).∵两圆没有公共点，∴eq\r(a2＋4)＜5－1或eq\r(a2＋4)＞5＋1，解得－2eq\r(3)＜a＜2eq\r(3)或a＜－4eq\r(2)或a＞4eq\r(2).答案：(－∞，－4eq\r(2))∪(－2eq\r(3)，2eq\r(3))∪(4eq\r(2)，＋∞)授课提示：对应学生用书第54页探究一圆与圆的位置关系判定[典例1]已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＝0.(1)当m＝1时，圆C1与圆C2是什么关系？(2)当m＝4时，圆C1与圆C2是什么关系？(3)若两圆有三条公切线，求实数m的值；(4)是否存在m使得圆C1与圆C2内含？[解析](1)∵m＝1.∴两圆的方程分别可化为C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9.C2：(x＋1)2＋y2＝1.两圆的圆心距d＝eq\r(1＋12＋－22)＝2eq\r(2)，又∵r1＋r2＝3＋1＝4，|r1－r2|＝|3－1|＝2，∴|r1－r2|<d<r1＋r2.∴圆C1与圆C2相交．(2)当m＝4时，两圆的方程分别可化为C1：(x－4)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋y2＝1.两圆的圆心距d＝eq\r(4＋12＋－22)＝eq\r(29)，又∵r1＋r2＝3＋1，∴d>r1＋r2.∴圆C1与圆C2相离．(3)圆C1的方程为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，∴圆心C1(m，－2)，半径r1＝3，圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1，∴圆心C2(－1,0)，半径r2＝1，当两圆有三条公切线时，它们相外切，因此|C1C2|＝r1＋r2，即eq\r(m＋12＋－22)＝4，解得m＝－1±2eq\r(3).(4)假设存在m使得圆C1与圆C2内含，则eq\r(m＋12＋－22)<3－1，即(m＋1)2<－2<0，明显不等式无解．故不存在m使得圆C1与圆C2内含．1．推断两圆的位置关系，通常采纳几何法，而不是用两圆公共点的个数来推断，因为它们之间并不是一一对应关系，如两圆只有一个公共点时，两圆可能内切，也可能外切；两圆没有公共点时，它们可能相离，也可能内含，无法确定是哪一种位置关系．2．利用几何法推断两圆位置关系可按如下步骤进行：(1)计算两圆的半径r1，r2；(2)计算两圆的圆心距d;(3)得出d，r1，r2之间的等量(不等量)关系；(4)推断两圆的位置关系．1．当a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0的位置关系为：(1)外切？(2)相交？(3)外离？解析：将两圆的一般方程写成标准方程得，C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4，所以两圆的圆心和半径分别为：C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.(1)当d＝5，即2a2＋6此时a＝－5或a＝2.(2)当1＜d＜5，即1＜2a2＋6此时－5＜a＜－2或－1＜a＜2.(3)当d＞5，即2a2＋6a＋5＞25时，两圆外离，此时a＞2或探究二圆与圆相切的问题[典例2]试求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点(4，－1)，且半径等于1的圆的方程．[解析]设所求圆的圆心为P(a，b)，所以eq\r(a－42＋b＋12)＝1.①若两圆外切，则有eq\r(a－22＋b＋12)＝1＋2＝3.②由①②，解得a＝5，b＝－1.所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1.若两圆内切，则有eq\r(a－22＋b＋12)＝2－1＝1.③由①③，解得a＝3，b＝－1.所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.综上，可知所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.求公切线的五个步骤(1)推断公切线的条数．(2)设出公切线的方程．(3)利用切线性质建立所设字母的方程，求解字母的值．(4)验证特别状况下的直线是否为公切线．(5)归纳总结．留意对于求公切线问题，不要漏解，应先依据两圆的位置关系来推断公切线的条数．2．求与圆M：(x－1)2＋y2＝1外切，且与直线x＋eq\r(3)y＝0相切于点Q(3，－eq\r(3))的圆N的方程．解析：设所求圆N的圆心为N(a，b)，半径为r.因为所求圆N与直线x＋eq\r(3)y＝0相切于点Q(3，－eq\r(3))，所以直线NQ垂直于直线x＋eq\r(3)y＝0，所以kNQ＝eq\f(b＋\r(3),a－3)＝eq\r(3)，即b＝eq\r(3)a－4eq\r(3)，圆N的半径r＝|NQ|＝eq\r(a－32＋b＋\r(3)2)＝eq\r(a－32＋\r(3)a－4\r(3)＋\r(3)2)＝2|a－3|.因为圆N与圆M：(x－1)2＋y2＝1外切，所以|MN|＝eq\r(a－12＋b2)＝1＋r＝1＋2|a－3|，即eq\r(a－12＋3a－42)＝1＋2|a－3|.对该式探讨如下：①当a≥3时，可得a＝4，b＝0，r＝2，所以圆N的方程为(x－4)2＋y2＝4；②当a＜3时，可得a＝0，b＝－4eq\r(3)，r＝6，所以圆N的方程为x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36.于是所求圆N的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36.探究三圆与圆相交的问题[典例3]已知圆O：x2＋y2＝25和圆C：x2＋y2－4x－2y－20＝0相交于A，B两点．(1)求线段AB的垂直平分线的方程；(2)求AB所在直线的方程；(3)求公共弦AB的长度．[解析](1)由于两圆相交于A，B两点，所以线段AB的垂直平分线就是两圆的圆心的连线．又圆O：x2＋y2＝25的圆心O(0,0)，圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的圆心C(2,1)，所以kOC＝eq\f(1,2)，由点斜式得y＝eq\f(1,2)x，即x－2y＝0.故AB的垂直平分线的方程为x－2y＝0.(2)将两圆方程相减即得公共弦AB所在直线的方程为4x＋2y－5＝0.(3)圆x2＋y2＝25的圆心到直线AB的距离d＝eq\f(|5|,\r(20))＝eq\f(\r(5),2)，所以公共弦AB的长|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(25－\f(5,4))＝eq\r(95).1．两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法：若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，即两圆方程相减即得．2．公共弦长的求法：(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，依据勾股定理求解．3．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．解析：设两圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x－6y＋1＝0①,x2＋y2－4x＋2y－11＝0②))的解，①－②得：3x－4y＋6＝0.∵A，B两点的坐标都满意此方程，∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆C1的圆心(－1,3)，半径r＝3.又C1到直线AB的距离为d＝eq\f(|－1×3－4×3＋6|,\r(32＋42))＝eq\f(9,5).∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(32－\f(9,5)2)＝eq\f(24,5).即两圆的公共弦长为eq\f(24,5).巧用圆系方程解题[典例]求圆心在直线x＋y＝0上，且过两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点的圆的方程．[解析]设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2λ－2)x＋(2λ＋10)y－8λ－24＝0，同除以1＋λ可得，x2＋y2＋eq\f(2λ－2,1＋λ)x＋eq\f(2λ＋10,1＋λ)y－eq\f(8λ＋24,1＋λ)＝0，此圆的圆心Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(λ－1,1＋λ)，－\f(λ＋5,1＋λ))).又因为圆心在直线x＋y＝0上，所以－eq\f(λ－1,1＋λ)－eq\f(λ＋5,1＋λ)＝0，得λ＝－2.所以所求圆的方程为x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.[感悟提高]1.一般地，过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．2．利用圆系，恰当设出所求圆的方程是解本题的关键，将方程整理后，圆心坐标的表示要精确．最终的结果要整理成圆的一般方程(或标准方程)．[随堂训练]对应学生用书第55页1．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有()A．1条 B．3条C．4条 D．以上均不正确解析：∵C1(－2,2)，r1＝1，C2(2,5)，r2＝4，∴|C1C2|＝5＝r1＋r2，∴两圆相外切，因此公切线有3条，因此选B.答案：B2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线的方程为()A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0解析：圆x2＋y2－2x－5＝0化为标准方程是(x－1)2＋y2＝6，其圆心是(1,0)；圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0化为标准方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝9，其圆心是(－1,2)．线段AB的垂直平分线就是过两圆圆心的直线，验证可得A正确．答案：A3．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y－7)2＝25B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(