2025版高考数学一轮复习练案30第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第五讲数系的扩充与复数的引入含解析新人教版

第五讲数系的扩充与复数的引入A组基础巩固一、单选题1．(2024·葫芦岛模拟)设i是虚数单位，若复数z＝1＋2i，则复数z的模为(D)A．1 B．2eq\r(2)C．eq\r(3) D．eq\r(5)[解析]依题意，|z|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，故选D.2．(2024·3月份北京市高考适应性测试)在复平面内，复数i(3－2i)对应的点的坐标为(B)A．(3，2) B．(2，3)C．(－2，3) D．(2，－3)[解析]i(3－2i)＝3i＋2＝2＋3i，故选B.3．(2024·全国卷Ⅱ)设z＝i(2＋i)，则z－＝(D)A．1＋2i B．－1＋2iC．1－2i D．－1－2i[解析]依题意得z＝i2＋2i＝－1＋2i，z－＝－1－2i，故选D.4．(2024·沈阳市教学质量监测)若i是虚数单位，则复数eq\f(2＋3i,1＋i)的实部与虚部之积为(B)A．－eq\f(5,4) B．eq\f(5,4)C．eq\f(5,4)i D．－eq\f(5,4)i[解析]因为eq\f(2＋3i,1＋i)＝eq\f(（2＋3i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)i，所以实部为eq\f(5,2)，虚部为eq\f(1,2)，实部与虚部之积为eq\f(5,4).故选B.5．(2024·贵州37校联考)复数z＝eq\f(1＋i,1－i)的共轭复数是(D)A．1＋i B．1－iC．i D．－i[解析]因为z＝eq\f(1＋i,1－i)＝i，故z的共轭复数z－＝－i，故选D.6．(2024·湖南株洲质检)已知复数z满意(1－i)z＝|2i|，i为虚数单位，则z等于(B)A．1－i B．1＋iC.eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i D．eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i[解析]由(1－i)z＝|2i|，可得z＝eq\f(2,1－i)＝eq\f(2（1＋i）,2)＝1＋i，故选B.7．(2024·五省优创名校联考)若复数z1，z2满意z1＝eq\f(1,\r(2)－i)－eq\f(1,\r(2)＋i)，z1(z2－2)＝1，则|z2|＝(A)A．eq\f(5,2) B．3C．eq\f(7,2) D．4[解析]因为z1＝eq\f(1,\r(2)－i)－eq\f(1,\r(2)＋i)＝eq\f(2i,3)，z2＝eq\f(1,z1)＋2＝eq\f(4－3i,2)，所以|z2|＝eq\f(5,2).8．(2024·江西临川一中模拟)设复数z1＝i，z2＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝z1·z2在复平面内对应的点到原点的距离是(B)A．1 B．eq\r(2)C．2 D．eq\f(\r(2),2)[解析]因为z＝i(1＋i)＝－1＋i，所以z在复平面内对应的点为(－1，1)，该点到原点的距离是|z|＝eq\r(2)，故选B.二、多选题9．假如复数z＝eq\f(2,－1＋i)，则下面正确的是(ABD)A．z的共轭复数为－1＋iB．z的虚部为－1C．|z|＝2D．z的实部为－1[解析]因为z＝eq\f(2,－1＋i)＝eq\f(2（－1－i）,（－1＋i）（－1－i）)＝eq\f(－2－2i,2)＝－1－i，所以z的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i，故选A、B、D.10．已知复数z满意i2k＋1·z＝2＋i，(k∈Z)则复数z在复平面内对应的点可能位于(BD)A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限[解析]∵i2k＋1·z＝2＋i，∴z＝eq\f(2＋i,i2k＋1)，当k为奇数时，i2k＋1＝－i，∴z＝－1＋2i，位于其次象限；当k为偶数时，i2k＋1＝i，∴z＝1－2i，位于第四象限，故选B、D.三、填空题11．(2024·福建漳州高考适应性测试)已知复数z＝eq\f(1,i)，则z的共轭复数eq\o(z,\s\up6(－))在复平面内对应的点的坐标为(0，1)．[解析]复数z＝eq\f(1,i)＝eq\f(i,i2)＝－i，故eq\o(z,\s\up6(－))＝i，得eq\o(z,\s\up6(－))在复平面内对应的点的坐标为(0，1)．12．(2024·天津和平区线上检测)设复数z满意(1＋i)z＝3－i，则|z|＝eq\r(5)．[解析]由题意得，z＝eq\f(3－i,1＋i)＝eq\f(（3－i）（1－i）,2)＝eq\f(2－4i,2)＝1－2i，所以|z|＝eq\r(12＋（－2）2)＝eq\r(5).13．(2024·江苏南京十三中调研)已知复数z＝eq\f(2＋i,1－i)，则复数z的虚部为eq\f(3,2)．[解析]由题意得，复数z＝eq\f(2＋i,1－i)＝eq\f(（2＋i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i，所以复数z的虚部为eq\f(3,2).14．(2024·浙江温州联考)已知复数z＝eq\f(1＋ai,i)(a∈R)的实部为eq\r(3)，则a＝eq\r(3)，|z|＝2．[解析]∵z＝eq\f(1＋ai,i)＝eq\f(（1＋ai）（－i）,－i2)＝a－i的实部为eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)，则|z|＝eq\r(（\r(3)）2＋（－1）2)＝2.B组实力提升1．(2024·河南商丘九校联考)若复数z＝eq\f(1＋i,a－i)(a∈R，i为虚数单位)为纯虚数，则|z|的值为(A)A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2[解析]由题意可设z＝eq\f(1＋i,a－i)＝bi(b∈R且b≠0)，则b＋abi＝1＋i，解得b＝1，即z＝i，则|z|＝1，故选A.2．(2024·河北张家口期末)已知i为虚数单位，复数z满意(1－2i)z＝3－4i，则复数z在复平面内对应的点位于(C)A．其次象限 B．第三象限C．直线2x－11y＝0上 D．直线2x＋11y＝0上[解析]本题考查复数代数形式的四则运算及复数的几何意义．由(1－2i)z＝3－4i，得z＝eq\f(3－4i,1－2i)＝eq\f(（3－4i）（1＋2i）,（1－2i）（1＋2i）)＝eq\f(11,5)＋eq\f(2,5)i.故复数z在复平面内对应点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,5)，\f(2,5)))，位于直线2x－11y＝0上，故选C.3．(2024·福建福州五校联考)若复数eq\f(1－bi,2＋i)(b∈R，i为虚数单位)的实部与虚部相等，则b的值为(B)A．－6 B．－3C．3 D．6[解析]解法一：由题意可设eq\f(1－bi,2＋i)＝a＋ai(a∈R)，即1－bi＝(2＋i)(a＋ai)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝a，,－b＝3a))∴b＝－3.解法二：eq\f(1－bi,2＋i)＝eq\f(（1－bi）（2－i）,（2＋i）（2－i）)＝eq\f(（2－b）－（1＋2b）i,5)，∴2－b＝－(1＋2b)，解得b＝－3.4．(2024·山西大同模拟)若复数z满意|z－eq\r(3)－i|＝1(i为虚数单位)，则|z|的最大值为(C)A．1 B．2C．3 D．eq\r(3)＋1[解析]本题考查复数的四则运算及复数的模．设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－eq\r(3)－i|＝1可得复数(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝1，即复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(eq\r(3)，1)为圆心，以1为半径的圆，则|z|的最大值为eq\r(12＋（\r(3)）2