《理论力学》教学教案

知识目标：力的概念，力系的概念，二力平衡条件，力的平行四边形法则，加减平衡力原理，作用和反

作用定律，约束的基本概念，工程中常见的约束类型及约束力方向

教学

能力目标：能够对物体的受力进行受力分析

目标

素质目标：沟通、协作能力；观察、信息收集能力；分析总结能力。良好的职业道德和严谨的工作作风

教学

静立学公理

重点

教学

物体受力分析

难点

理实一体

教学

实物讲解

手段

小组讨论、协作

教学

7

学时

教学内容与教学过程设计注释

第1章静力学基础

K理论学习》

1.1力和力系的基本概念

1.1.1力的概念

力对物体的作用效果取决于力的三要素：力的大小、力的方向和力的作用点。其中任何

一个要素发生变化，力的作用效果也随之发生变化。

力是矢量，具有大小和方向，作用在物体上的力用矢量来表示。

在国际单位制中，力的单位是牛(N)或千牛(kN)。

学生讨论什么是

1.1.2力系的概念

力，教师总结。

当力的作用线分布在同一平面时，该力系称为平面力系；力的作用线为空间分布时，该

力系称为空间力系；力的作用线汇交于同一点时，该力系称为平面汇交力系或空间汇交力系；

力的作用线相互平行时，该力系称为平面平行力系或空间平行力系；力的作用线既不平行又

不相交，该力系称为平面任意力系或空间任意力系。若作用于物体上的力系不改变物体的运

动状态，该力系称为平衡力系。

1∙2静力学公理

公理一二力平衡条件

刚体受两个力作用而处于平衡状态的充分必要条件是：这两个力大小相等，方向相反，

且作用在同一条直线上。

公理二力的平行四边形法则

作用在物体同一点上的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的

大小和方向，由以这两个力为邻边的平行四边形的对角线确定，这就是力的平行四边形法则。

举例说明公理一、

简便起见，亦可作力三角形，力三角形的两个边分别为Fl和F2,第三边FR即为合力矢

公理二，加深学生

量，这种求合力的方法称为力的三角形法则。

理解。

公理三加减平衡力系原理

注意：此公理仅适用于刚体而不适用于变形体。

推论1力的可传性

作用于刚体上某点的力，可沿着它的作用线滑移到刚体内任意一点上，并不改变该力对

刚体的作用。

推论2三力平衡汇交定理

刚体在三个力作用下处于平衡，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一

平面内，且第三个力的作用线通过汇交点或共面平行。

公理四作用和反作用定律演示作用和反作

作用力和反作用力总是同时存在的，此二力大小相等，方向相反，沿着同一直线，分别用定律。

作用在两个相互作用的物体上。若用F表示作用力，用口表示反作用力，则F=-F'。

公理五刚化原理

变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。

刚化原理提供了把变形体抽象为刚体模型的条件。绳索在两个等值、反向、共线的拉力作用

下处于平衡，如将绳索刚化为刚体，则平衡状态保持不变；而绳索在两个等值、反向、共线

的压力作用下不能平衡，这时绳索就不能刚化为刚体。由此可见，刚体的平衡条件是变形体

平衡的必要非充分条件。在刚体静力学的基础上考虑变形体的特征，可进一步研究变形体的

平衡问题。

1∙3常见约束及约束力

1.3.1约束的基本概念举例说明自由体

对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体称为约束。和非自由体。

约束对物体的作用实际上就是力，这种力称为约束力。

约束力方向（作用线位置）确定准则：约束力的方向必与该约束所能阻碍的位移方向相

1.3.2工程中常见的约束类型及约束力方向

1.柔索约束

柔索约束由软绳、链条或胶带等构成。

柔索的约束反力通过接触点，沿着柔索而背离物体。

2.光滑接触面约束

当物体与约束间的接触面视为理想的、摩擦可忽略不计时，此时的约束可简化为光滑接

触面约束。此时，不论接触面是平面或是曲面，都不能限制物体沿约束表面切线方向的位移,

只能限制物体沿着接触面法线方向约束内部的位移。

3.光滑较链约束

1）向心轴承（径向轴承）

图1-8

2）圆柱较链和固定较链支座

圆柱较链简称较链，它是用一圆柱形销钉将两个或多个构件较接在一起的。即在构件的

连接处各加工一直径相同的圆孔，用销钉穿起来。

工程中常将支座用螺栓与基础固连，如将物体用光滑圆柱销钉与该支座连接，就构成了

固定较链支座，简称固定较支。

4.二力构件

不考虑自重，仅在两个较点处受力而处于平衡状态的构件称为二力构件。

5.其他约束

1）滚动较支座

滚动较支座是在固定较链支座与光滑支承面之间装几个根轴而构成的，称为滚动（可动）

较支座或辑轴支座。

2)止推轴承

止推轴承与向心轴承的差异在于，它除能限制轴的径向位移外，还能限制轴沿轴向一侧

的位移。

3)球较链

通过圆球和球壳将两个构件连接在一起的约束称为球较链。它使构件的球心不能有任何

移动，但构件可绕球心转动。

1.4物体的受力分析和受力图

在工程实际中，为求解未知约束力，需根据已知力，应用平衡条件求解。因此，首先要

分析问题的性质及待求量，充分利用已知条件确定研究对象。研究对象可以是单个物体、系

统中的单个构件、部分系统或整体；然后对其进行受力分析，确定构件受几个力，每个力的

作用位置和方向。这种分析过程称为物体的受力分析。以例1-1,1-2,1-3,

物体受力分析的步骤1-4为例，讲解物

(1)画隔离体(研究对象)：将研究对象单独分离出来，画出其简图。体的受力分析及

(2)画主动力：主动力作用的形式和位置不能改变。受力图的画法。

(3)画约束力：主要依照约束性质确定约束力，合理利用二力构件、三力平衡汇交定理

及作用和反作用定律。

知识目标：平面汇交力系合成的几何法，平面汇交力系平衡的几何条件，力在平面正交直角坐标轴上的

投影，合力投影定理，平面汇交力系合成的解析法，合力矩定理，平面内力偶的等效定理，平面力偶系

教学

的合成与平衡条件

目标

能力目标：

素质目标：沟通、协作能力；观察、信息收集能力；分析总结能力。良好的职业道德和严谨的工作作风

教学

平面汇交力系合成与平衡的解析法

重点

逐

平面力偶系的合成与平衡条件

难点

理实一体

教学

实物讲解

手段

小组讨论、协作

教学

4

学时

教学内容与教学过程设计注释

第2章平面汇交力系和平面力偶系

【理论学习》

2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法

平面汇交力系是指各力的作用线在同一平面内，且汇交于一点的力系。

2.1.1平面汇交力系合成的几何法

设刚体受到平面汇交力系F1、F2、F3、F4作用，各力作用线汇交于点A,如图2T(a)

所示。根据刚体力的可传性，先将各力的作用点沿其作用线移至汇交点A,然后任取一点a,

应用力的多边形法则求得该力系的合力矢量，如图27(b)所示。比较图27(b)和图2-1(c)

可知，若改变各力的合成次序，力多边形的形状将发生改变，但封闭边合力矢FR则完全相同,

即矢序规则。

(a)(b)(c)

图27

2.1.2平面汇交力系平衡的几何条件

根据力的多边形法则，合力为零意味着力多边形封闭边长度为零，故得：平面汇交力系

平衡的几何必要和充分条件为力的多边形自行封闭。

按照几何法求解

求解平面汇交力系的合成与平衡问题时可用图解法，即按比例先画出力多边形，然后量

平衡问题的主要

得所要求的未知量；或根据图形的几何关系，用三角公式计算所要求的未知量，这种解题方

步骤解例27。

法称为几何法。

几何法求解平衡问题的主要步骤如下：

(1)选取研究对象。根据题意，选取适当的平衡物体作为研究对象。

(2)对隔离体进行受力分析。解除研究对象的所有约束，单独画出隔离体，并在隔离体上

依次画出所有主动力和约束力。

(3)选择适当的比例尺，将研究对象上的各个力依次首尾相连，作出封闭的力多边形。作

图时应从已知力开始，根据矢序规则和封闭特点可确定未知力的方位与指向。

(4)确定未知量。按选定的比例尺量取未知量，或利用三角公式求出未知量。

2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法

2.2.1力在平面正交直角坐标轴上的投影

力在某轴上的投影等于力的大小乘以力与该轴正向间夹角的余弦。

当力与轴向间的夹角为锐角时，其值为正；当夹角为钝角时，其值为负。在实际运算中，

通常可取力与坐标轴间的锐角来计算投影的大小，并通过观察来直接判定投影的正负号。

在直角坐标系中，两者之间的关系可表示为

F=F×+Fy=Fxi+Fyj(2-6)

其中，i、j分别为沿X轴和y轴正向的单位矢量。式(2-6)称为力的解析表达式。

2.2.2合力投影定理

由图2-4可得合力投影定理：合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代

数和，即

FRx=F1x+F2x+∙,∙+Fnx=ΣFiX

FRy=F1y+F2y+∙∙∙+Fny=ΣFiy(2-7)

合力投影定理建立了合力投影与分力投影之间的关系。

教师讲解平面汇

交力系合成与平

衡的解析法。

图2-4

2.2.3平面汇交力系合成的解析法

2.2.4平面汇交力系平衡的解析条件——平衡方程

平面汇交力系有两个独立的平衡方程，可求解两个未知量。解题时，未知力的指向可随

意假设，若计算结果为正值，则表示假设力的指向与实际相同；若为负值，则表示假设力的

指向与实际相反。但投影坐标轴的正向可任意选择，以方便投影为宜。

解析法求解平衡问题的主要步骤如下：

(1)选取研究对象。

(2)分析研究对象的受力情况，画其受力图。

(3)选取适当的坐标系，列出平衡方程式并求解。

2.3平面力矩

2.3.1力对点之矩

如图2-8所示，用扳手转动螺母，在扳手上作用一力F,扳手和螺母将绕螺母中心0转

动。力F使扳手与螺母绕0转动的效应既与力F的大小有关，也与O点到力F的作用线的垂

直距离h有关。通常顺时针转动时，螺母被拧紧；逆时针转动时，螺母被松开。又如用手推

门，使得门板绕门轴转动也是这样。

人们通过归纳总结转动或有转动趋势的实例，形成一个抽象化的概念，即力对点之矩，

用来表示力使物体绕一点转动的效应。

如图2-9所示，设平面上作用一力F,在该平面内任取一点0,点O称为矩心，点O到力

F作用线或其延长线的垂直距离h称为力臂。

实物演示，说明力

对点之矩。

2.3.2合力矩定理

合力矩定理：平面汇交力系的合力对力系所在平面内任一点之矩等于各分力对该点之矩

的代数和。

合力矩定理建立了合力对某点的矩与各个分力对同一点之矩的关系。无论何种力系，只

要力系有合力，合力矩定理就适用。

2.4平面力偶系

2.4.1力偶

将这种由两个大小相等、方向相反，且不共线的平行力系组成的力系，称为力偶，用符

号(F,*)表示。力偶所在的平面称为力偶作用面，力偶中二力作用线间的垂直距离d称为力

偶臂。

2.4.2力偶矩

定义力偶(F,F')的矩来度量力偶对刚体的转动效应，简称力偶矩。

力偶矩的大小等于力偶中力的大小和力偶臂的乘积；正负号表示力偶在作用面内的转向，

通常规定逆时针转动为正，反之为负。

2.4.3力偶的性质

1.力偶不能与一个力等效或者平衡教师讲解力偶的

注意：构成力偶的两个力大小相等、方向相反，它们在任意坐标轴上投影的代数和均为性质。

零，因其不共线，故力偶本身并不能使刚体平衡。

2.力偶与矩心位置无关

构成力偶的两个力对其作用面内任一点之矩代数和恒等于力偶矩，故力偶与矩心位置无

2.4.4平面内力偶的等效定理

定理：在同平面内的两个力偶，只要力偶矩相等，则两力偶彼此等效。

此定理给出了同一平面内两个力偶等效的条件。由此可得下列推论：

(1)力偶可以在其作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用效应。

(2)只要保持力偶矩大小和转向不变，可同时任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，

而不改变它对刚体的作用效应。

2.4.5平面力偶系的合成与平衡条件

1.平面力偶系的合成

设平面力偶系由两个力偶(F1,*1)、(F2,*2)所组成，其力偶矩分别为MI=Fld1,

M2=-F2d2,如图277(a)所示，试求它们的合成结果。

根据同平面内力偶等效定理，在保持力偶矩不变的情况下，同时改变这两个力偶中力的

大小和力偶臂的长短，使它们具有相同的臂长d,并将它们在其作用面内移转，使得力的作教师讲解平面力

用线重合，如图277(b)所示。偶系的合成与平

衡条件。

知识目标：力的平移定理，平面任意力系向作用面内一点简化•主矢和主矩，平面任意力系的平衡条件•平

教学衡方程，物体系统的平衡，静定与超静定问题

目标能力目标：掌握静立学的核心内容

素质目标：沟通、协作能力；观察、信息收集能力；分析总结能力。良好的职业道德和严谨的工作作风

教学

平面任意力系简化结果的分析

重点

教学

平面任意力系的简化与平衡

难点

理实一体

教学

实物讲解

手段

小组讨论、协作

教学

8

学时

教学内容与教学过程设计注释

第3章平面任意力系

K理论学习】

3.1平面任意力系向作用面内一点简化

3.1.1力的平移定理

定理：作用在刚体上点A的力F可以平行移到刚体上任一点B,但必须同时附加一个力

偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。

逆定理：作用在刚体上同平面内的一个力和一个力偶，可与一个力等效，此力为原来力

系的合力。

教师证明力的平

移定理。

(b)(C)

图3-1

3.1.2平面任意力系向作用面内一点简化•主矢和主矩

设刚体受平面任意力系作用，此力系由F1,F2,…,Fn共n个力组成，如图3T(a)所示。

在力系作用平面内任选一点0,将力系向0点简化,并称点O为简化中心。按力的平移定理,

将力系中各力矢量向0点平移,如图3-3(b)所示。

平面任意力系等效为两个简单力系：平面汇交力系和平面力偶系。

力*R称为原平面任意力系的主矢，即力矢*R等于原力系各力的矢量和。举例说明什么是

主矩MO等于原力系中各力对简化中心0之矩代数和。固定约束。

平面任意力系向作用面内任一点简化，得到一个力和一个力偶，如图3-3(C)所示。这个

力称为该力系的主矢，作用线过简化中心，主矢与简化中心的位置无关；这个力偶的矩称为

该力系对简化中心的主矩，主矩一般与简化中心的位置有关。

车刀和工件分别夹持在刀架与卡盘上固定不动，这种约束为固定端或插入端约束。

(a)(b)(c)

图3-4

3.1.3平面任意力系简化结果的分析

1.平面任意力系简化为一个合力偶

当*R=0,M。*0时，说明原平面任意力系与一个平面力偶系等效，其简化结果为一个合

力偶，该合力偶的矩等于主矩，M=M0=ZM0(Fi)o

2.平面任意力系简化为一个合力教师论证二矩式

平面任意力系向一点简化，不论主矩是否等于零，只要主矢不等于零，此力系最终可以平衡方程也能满

简化为一个合力。足力系平衡的必

3.平面任意力系平衡要和充分条件。

,

FR-0,Mo-O1则原力系平衡。

3.2平面任意力系的平衡

3.2.1平面任意力系的平衡条件•平衡方程

平面任意力系平衡的充分必要条件：力系的主矢和对任意点的主矩均等于零。即

■R=0,Mo=O(3-4)显然，主矢等于零，表明作用于简化中心0的汇交力系为平衡力系；主

矩等于零，表明附加力偶矩也是平衡力系，所以原力系必为平衡力系。因此，式(3-4)为平面

任意力系平衡的充分条件。

3.2.2平面任意力系平衡方程的其他形式

1.二矩式平衡方程

ΣF×=0,ZMA(F)=0,ZMB(F)=O(3-6)学生自行证明三

适用条件：X轴不能与A、B两点连线垂直。矩式平衡方。

2.三矩式平衡方程

ZMA(F)=O,EMB(F)=O,ZMC(F)=O(3-7)

适用条件：A、B、C三点不能共线。

3.2.3平面平行力系的平衡方程

平面平行力系是力系中各力的作用线在同一平面内，且相互平行的力系。

3.3物体系统的平衡、静定与超静定问题

3.3.1物体系统的平衡

物体系统是指若干个物体通过适当的约束相互连接而组成的系统。

当整个物体系统处于平衡状态时，组成该系统的每一个物体必然处于平衡。此时可选取

整个物体系统作为研究对象，也可将整个物体系统拆开，取系统的局部作为研究对象。

无论如何选取研究对象，在平面任意力系作用下，n个物体所组成的系统仅能列出3n个

独立平衡方程，求解3n个未知量。若系统受平面汇交力系或平面平行力系作用，独立的平衡

方程数目会相应减少。按上述方法求解物体系统的平衡问题理论上并无困难，但在实际问题

中，并不需要求解全部未知量。

3.3.2静定与超静定问题

若未知量的数目小于或等于独立平衡方程的数目，则应用刚体静力学的理论就可以求出

全部的未知量，这种问题称为静定问题。若未知量的数目超过独立平衡方程的数目，单独应

用刚体静力学的理论不能求出全部的未知量，这样的问题称为超静定问题。未知量数目与独

立平衡方程数目差值称为超静定次数。

判断系统静定与否的方法：将系统全部拆成单个物体，计算未知量的总数目与独立平衡

方程的总数目，并加以比较。

知识目标：直接投影法，间接投影法，空间力对点之矩矢，空间力对轴之矩，空间力对轴之矩的合力矩

教学定理，空间汇交力系的平衡方程，空间任意力系的平衡方程，空间平行力系的平衡方程。

目标能力目标：理解物体在空间力系作用下的平衡问题

素质目标：沟通、协作能力；观察、信息收集能力；分析总结能力。良好的职业道德和严谨的工作作风

教学

空间力系的平衡方程

重点

教学

空间力对轴之矩的合力矩定理

难点

理实一体

教学

实物讲解

手段

小组讨论、协作

教学

3

学时

教学内容与教学过程设计注释

第4章空间力系

K理论学习》

4.1力在空间正交直角坐标轴上的投影

4.1.1直接投影法

若力F与x、yZ轴正向夹角为a、0、Y,如图47所示。则由力的投影定义，力F

在三个轴上的投影等于力F的大小与各轴正向夹角余弦的乘积，即

Fx=Fcos(F,i)=Fcosa

Fy=Fcos(F,j)=FcosB

Fz=Fcos(F,k)=FcosY(4-1)

教师讲解直接投

4.1.2间接投影法

影法和间接投影

若力F与坐标轴x、y间的夹角不易确定，可将力F先投影到坐标平面OXy上，得到力F

法。

在坐标平面OXy上的投影Fxy,然后再将FXy投影到x、y轴上，这种方法称为二次投影法。

如图4-2所示，已知力F与Z轴正向的夹角为y,投影FXy与X轴正向的夹角为中，则由二

次投影法，力F在三个坐标轴上的投影分别为

Fx=FsinγcosΦ

Fy=FsinγsinΦ

Fz=FcosY(4-2)

4.2空间力对点之矩矢和空间力对轴之矩

4.2.1空间力对点之矩矢

力对刚体的转动效果取决于力与矩心构成平面的方位、力矩在该平面内的转向及力矩大

小三个要素。如图4-5所示，三要素可用这样一个矢量表示：矢量的模表示力对点之矩的大

小；矢量的方位与该力和矩心构成平面的法线方位相同；矢量的指向按右手螺旋法则确定，

该矢量称为力对点之矩矢，简,i称力矩矢，记作Mo(F)。

图4-5

MO(F)=rXF(4-4)

即力对点之矩矢等于矩心到力作用点的矢径与该力的矢量积，式(4-4)称为力矩矢的矢积表达

式。

4.2.2空间力对轴之矩

力对轴之矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是一个代数量，其大小等于该力在垂直

于该轴平面上的投影对该轴与此平面交点的矩；其正负号由右手螺旋法则确定，即将右手四

指顺着力矩的转向去握转轴，大拇指指向与Z轴正向一致为正，反之为负。

力对轴之矩也可用解析表达式表示。如图4-7所示，力F在三个轴上的投影为Fx、Fy、

Fz1力作用点A的坐标为(x,y,z)o

依据合力矩定理，得用右手定则判断

Mz(F)=M0(Fxy)=M0(Fx)+Mo(Fy)=xFy-yFx力对轴之矩的正

同理可得其余二式，将此三式合写为负。

Mx(F)=yFz-zFy

My(F)=zF×-×Fz

MZ(F)=×Fy-yFx(4-8)

图4-7

4.2.3空间力对轴之矩的合力矩定理

空间力系的合力对某一轴之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和，即

Mz(FR)=ZMz(Fi)(4-9)

合力矩定理计算力对轴之矩比较方便，具体方法是：先将力正交分解，然后计算各个分解例4-3,4-3,掌

力对该轴的矩，最后求这些力矩的代数和，即得力对该轴之矩。握力对轴之矩。

4.2.4空间力对点之矩矢与空间力对通过该点的轴之矩关系

空间力对点之矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于空间力对该轴之矩。

4.3空间力系的平衡方程

4.3.1空间汇交力系的平衡方程

ΣFi×=0

ZFiy=O

EFiZ=O(4-13)

空间汇交力系平衡的必要且充分解析条件为：力系中所有力在三个坐标轴上投影的代数

和同时等于零。式(4-13)称为空间汇交力系的平衡方程。

4.3.2空间任意力系的平衡方程

当一个空间任意力系平衡时，必须满足下面的六个平衡方程，即

ZFiX=O

ΣFiy=0

ZFiZ=O

ΣMx(F)=0

ΣMy(F)=0

ΣMz(F)=0(4-14)

上式表明，空间任意力系平衡的必要且充分解析条件为：力系中各力在三个坐标轴上投

影的代数和以及各力对三个坐标轴的矩的代数和均同时等于零。

4.3.3空间平行力系的平衡方程

空间平行力系的平衡方程为

ZFiZ=O

ΣMxF=O

ZMyF=O(4-15)

上式表明，空间平行力系平衡的必要且充分解析条件为：力系中各力在与力作用线平行的坐

标轴上投影的代数和以及各力对与力线垂直的两个轴之矩的代数和同时等于零。

知识目标：静滑动摩擦力，最大静滑动摩擦力，动滑动摩擦力，摩擦角，自锁现象，摩擦时物体的平衡

教学问题

目标能力目标：理解静滑动摩擦力和动滑动摩擦力

素质目标：沟通、协作能力；观察、信息收集能力；分析总结能力。良好的职业道德和严谨的工作作风

教学

考虑摩擦时物体的平衡问题的注意点

重点

教学

考虑摩擦时物体的平衡问题的注意点

难点

理实一体

教学

实物讲解

手段

小组讨论、协作

教学

2

学时

教学内容与教学过程设计注释

第5章摩擦

【理论学习》

5.1滑动摩擦

5.1.1静滑动摩擦力

重为P的物体放在有摩擦的粗糙面上时，在接触面的切线方向施加水平拉力F,当拉力F

由零逐渐增加但不很大时，物体仅有相对滑动趋势但仍保持静止。可见，粗糙接触面对物体

沿切线方向的位移也有限制作用，故沿切线方向也产生约束反力，记为Fs,如图5-1(b)所示。

切线约束力是由于两个物体在接触面上发生摩擦而产生的，其作用是限制物体沿接触面相对

滑动，故称为静滑动摩擦力。

图5-1

静滑动摩擦力的方向与物体相对滑动趋势相反。所谓"相对滑动趋势"，是指假设不存在

区分静滑动摩擦

摩擦时，物体在主动力作用下相对于接触物体滑动的方向。

力与动滑动摩擦

5.1.2最大静滑动摩擦力

力。

对于图57(b)所示的物体，不改变法线方向主动力P的大小，逐步增大水平切线方向主

动力F的值。在物体处于平衡状态时，摩擦力FS=F也随之增大。当力F增大到某一值时，如

果再继续增大，物体的平衡状态就将被破坏而产生相对滑动。这种物体即将滑动而尚未滑动

的平衡状态称为临界平衡状态。这时，摩擦力达到最大值，即为最大静滑动摩擦力，简称最

大静摩擦力，以FmaX表示。此后，如果主动力F再继续增大，而静滑动摩擦力不能再随之增

大，物体将失去平衡而滑动，这就是静滑动摩擦力的特点。

法国科学家库伦对干燥接触面做了大量的实验，结果表明，最大静滑动摩擦力的大小与

相接触两物体间的正压力成正比，即

Fmax=fsFN(5-2)

比例系数fs称为静滑动摩擦因数，此规律称为静滑动摩擦定律或库仑摩擦定律。

5.1.3动滑动摩擦力

当滑动摩擦力达到最大值时，若主动力F再继续增大，接触面之间将出现相对滑动。此

时，接触物体之间仍作用有阻碍滑动的阻力，这种阻力称动滑动摩擦力，简称动摩擦力，用

Fd表示。实验表明，动摩擦力的大小与接触体间的正压力(即法向反力)成正比，即

Fd=fR(5-3)

式中，f为动摩擦因数，它与接触物体的材料和表面情况有关，可通过工程手册查出。

一般情况下，动摩擦因数略小于静摩擦因数。

在机械中，往往用降低接触面的粗糙度或加入润滑剂等方法来减小动摩擦因数f,从而

减小摩擦和损耗。

5.2摩擦角和自锁现象

5.2.1摩擦角

当物体处于平衡的临界状态时，如图5-2所示。静摩擦力达到最大静滑动摩擦力时，偏教师讲解摩擦角

角Φ达到最大值Φf,全约束力与接触面型胆竺角最大值Φf称为摩擦角。的概念。

J尸max

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图5-2

摩擦角的正切等于静摩擦因数。可见，摩擦角与摩擦因数一样，都与相互接触的物体材

料的表面性质有关。

当物块的滑动趋势方向改变时，全约束力作用线的方位也随之改变；在临界状态下，全

约束力FRA的作用线将画出一个以接触点A为顶点的锥面，称为摩擦锥。当物块与支承面间

沿任何方向的摩擦因数都相同时，摩擦锥将是一个顶角为20f的圆锥。

5.2.2自锁现象

由于静滑动摩擦力不可能超过最大值，因此全约束力FRA的作用线也不可能超出摩擦角以说一说你遇到的

外，即全约束力必在摩擦角之内。由此可知：自锁现象。

(1)当作用于物体的全部主动力的合力FR的作用线位于摩擦角0f以内时，无论主动力的

合力多大，约束力都可与之平衡，物块必保持静止，此现象称为自锁现象。

(2)当全部主动力的合力Fif作用线落在摩擦角0f以外时，无论主动力合力多小，物块一

定不能保持平衡而滑动。

5.3考虑摩擦时物体的平衡问题

考虑摩擦的平衡问题，求解时需要注意以下几个方面：

(1)受力分析时，不光滑接触面上除考虑法向反力外，还增加了切线反力即摩擦力Fs。

因此，不仅需要写出平衡方程，还要对未知摩擦力写出补充方程：FSWfSF"。此时，不计摩

擦时的静定问题，在考虑摩擦时也同样是静定的。

为避免求解不等式方程，对考虑摩擦的平衡问题，只研究临界平衡状态。这时，受力图

上的摩擦力为最大静滑动摩擦力FmaX,补充方程为

FmaX=fsFt∣

(2)平衡时静滑动摩擦力在O~Fmax范围内取值，这就意味着考虑摩擦的平衡问题，其解

是有范围的，而不是确定的值。工程实际问题中，往往在求出临界平衡状态下的解之后，再

分析平衡状态下解的取值范围。结合例5-2,5-3

*5.4滚动摩阻讲解。

设车轮重P,半径为r,在轮心作用一个水平力F。当力F的值很小时，车轮静止不动。

由平衡方程可求得法向反力和静滑动摩擦力的大小分别为FN=P与Fs=Fo显然，法向反力FN

与重力P构成一对平衡力系，而静滑动摩擦力Fs与主动力F组成一个力偶。在此力偶的作用

下，车轮本应发生滚动，而车轮实际并不滚动而保持静止。主要原因是车轮与地面实际上并

非刚体，它们在力的作用下都会产生变形，车轮在与地面接触处受到分布力的作用，向接触

点简化，可得一个力FS和一个力偶，该力偶的矩为Mf。该力FR可分解为法向约束力FN和

切向摩擦力Fs,该力偶则为限制车轮滚动的约束反力偶，如图5-7(b)所示。该约束反力偶称

为滚动摩阻力偶，其力偶矩可由平衡方程Mf=Fr求出。

(a)(b)

图5-7

随着主动力F的逐渐增大,滚动摩阻力偶矩Mf的值也随之增大。当力F增大到某一值时,

车轮处于将滚而未滚动的临界平衡状态，滚动摩阻力偶矩Mf达到最大值，称为最大滚动摩阻

力偶矩，以MmaX表示。此时，若继续增大主动力F,车轮就会发生滚动。滚动摩阻力偶矩Mf

的范围为OWMfWMmax。

实验表明，最大滚动摩阻力偶矩的值与法向约束力成正比，即

MmaX=δFN(5-6)

式中，5是长度量纲的常数，mm,称为滚动摩阻系数。式(5-6)称为滚动摩阻定律。

知识目标：点的运动方程，点的速度及加速度，点的速度在直角坐标轴上的投影，点的加速度在直角坐

教学标轴上的投影，自然轴系，点的速度在自然轴上的投影，点的加速度在自然轴上的投影。

目标能力目标：能够用三种不同的方法描述点的曲线运动规律

素质目标：沟通、协作能力；观察、信息收集能力；分析总结能力。良好的职业道德和严谨的工作作风

教学

点的运动方程

重点

教学

点的运动方程、速度和加速度

难点

理实一体

教学

实物讲解

手段

小组讨论、协作

教学

3

学时

教学内容与教学过程设计注释

第6章点的运动学

K理论学习】

6.1点的运动方程、速度和加速度

6.1.1点的运动方程

点在空间运动时所经过的路线称为点的运动轨迹。如果点的运动轨迹为直线，则点为直

线运动；如果点的运动轨迹为曲线，则点为曲线运动。

若点M做直线运动，如图67所示。可取此直线为参考轴，直线上任一点。作为坐标原

点，规定沿直线的某一方向为X轴的正向。利用点的坐标X来确定点在空间的位置。当点运

动时，点的位置，即坐标X随时间t发生变化，故可将坐标X表示为时间t的单值连续函数,

即x=f(t)(6-1)

若函数x=f(t)已知，则动点在每一瞬时的位置便可唯一确定。式(67)称为点M的直线

教师讲解描述点

运动方程。

曲线运动规律的

当点M做曲线运动时，虽相对于直线运动更为复杂，但同样可用函数描述其几何位置随

常用方法。

时间运动的规律。描述点的曲线运动规律可有多种表达方式，下面介绍几种常用的方法。

1•矢量法

动点M在任一瞬时的位置均可由矢径r唯一确定，这种用矢量确定点位置的方法称为矢

量法。当点M运动时，矢径r的大小和方向随时间t发生变化，r是时间的单值连续矢量函

数，即

r=r(t)(6-2)

式(6-2)称为以矢量表示的点的运动方程。

矢量法描述点的运动，只需要选择一个参考点，无须建立参考系就可表示点的运动方程。

在点的运动轨迹未知的情况下，该方法形式简单，主要用于概念的定义及公式理论推导和证

明。

2.直角坐标法

学生分析几种方

法的异同点。

图6~3

x=f1(t),y=f2(t),Z=f3(t)(6-3)

方程(6-3)描述了点在空间直角坐标系中的运动规律，称为以直角坐标法表示的点的运动方

程。点在空间的运动轨迹未知的情况下，采用直角坐标法描述其运动状况，该方法简便易操

作，主要用于实际计算。

3.自然法

弧长S为代数量，称为点M在轨迹上的弧坐标。

当点M运动时，其弧坐标S随时间不断变化，是时间t的单值连续函数，即

s=f(t)(6-5)

式(6-5)表示点沿已知轨迹的运动规律，称为以弧坐标表示的点的运动方程。若已知s=f(t),

则点在轨迹上的位置便可唯一确定。这种利用点的运动轨迹建立弧坐标，并利用弧坐标来描

述和分析点的运动的方法称为自然法。在点的运动轨迹为已知的情况下，采用自然法描述点

的运动较为便利，该方法也主要用于实际计算。

6.1.2点的速度

「----------------V

O

图6-5

点的速度矢等于点的矢径对于时间的一阶导数，其方向为Ar或MM'取极限时的方向，理解点的速度及

亦即轨迹曲线的切线方向，并与点的运动方向一致，如图6-5所示。点的加速度的含

6.1.3点的加速度义。

点的加速度矢等于该点的速度矢对时间的一阶导数，亦是点的矢径对时间的二阶导数。

在空间任取一定点0,把动点M在t1,t2,-,tn各瞬时的速度矢量v1,v2,-,vn都平行地移

动到点0,如图6-7所示。一

图6-7

连接各速度矢量端点得到的曲线称为动点M的速度矢端曲线。由加速度的概念可知，加

速度矢的方向沿着点的速度矢端曲线的切线方向。

加速度矢量a的模a即为加速度的大小。在国际单位制中，加速度的单位是m/s2。

6.2点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影

6.2.1点的速度在直角坐标轴上的投影

动点的速度矢在直角坐标轴上的投影等于其各相应坐标对时间的一阶导数。

6.2.2点的加速度在直角坐标轴上的投影

动点的加速度矢在直角坐标轴上的投影等于其各相应坐标对时间的二阶导数。

应用直角坐标法求解实际问题，通常有以下两种类型：

(1)已知动点运动的部分条件，求动点的运动方程、轨迹、速度和加速度；或已知机械系

统中主动构件的运动规律，求从动部件上某一点的运动规律。

(2)已知动点的加速度及其运动的初始条件(当t=0时，动点的位置坐标和速度)，求动

点运动方程。数学上是求已知函数的积分问题。

6.3点的速度和加速度在自然轴系上的投影

6.3.1自然轴系结合例题说明点

当点的运动轨迹已知时，采用自然法描述点的运动较为方便。因此，为表示点的速度和运动的直角坐标

加速度前需建立自然轴系。系。

设任意空间曲线AB,如图672所示，在该曲线上任取两点M与W,并分别作曲线在此

两点的切线MT、M，「。若过M点作直线MQ平行于M，「，则直线MT与MQ确定一个平面。

当Μ点逐步趋近于M点时，该平面将绕MT旋转而不断改变它在空间的方位。当M，无限趋

近于M点时，此平面趋近于某一极限位置，这个极限平面P称为曲线AB在M点处的密切面。

显然，空间曲线上各点的密切面随点的位置不同而变化。过M点垂直于切线MT的平面I

称为曲线在M点的法平面，如图6-13所示。法平面与密切面的交线MN称为曲线在M点的主

法线。令主法线的单位矢量为n,n指向曲线内凹的一侧，即指向曲率中心。

过M点且垂直于密切面的法线MB称为曲线在M点的副法线，其单位矢量为b。设曲线上

M点切线的单位矢量为T,其指向与弧坐标正向一致。则矢量b的指向与T、n构成右手系，

即b=TXn。MB既垂直于MN,又垂直于MT,即为密切面的法线。以点M为原点，以切线、主

法线和副法线为坐标轴组成一个正交坐标系，称为曲线在点M的自然轴系，如图613所

示，其三个坐标轴称为自然轴。必须特别指出的是，单位矢量τ,n,b的方位和指向随点位置

的变动而变化。因此，自然轴系是一个游动坐标系。

图6-12图6-13

6.3.2点的速度在自然轴上的投影

6.3.3点的加速度在自然轴上的投影

1.反映速度大小变化的加速度at

结论：切向加速度反映点的速度大小对时间的变化率，它的代数值等于速度的代数值对

时间的一阶导数，或弧坐标对时间的二阶导数，方向沿轨迹切线。教