高考数学（北师大版文）讲义第四章　三角函数解三角形45　两角和与差及二倍角的三角函数第1课时

§4.5三角恒等变形最新考纲考情考向分析1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识．选择、填空、解答题均有可能出现，中低档难度.1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).

知识拓展1．降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.3．辅助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)(2)对任意角α都有1＋sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))2.(√)(3)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.(×)(4)公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．(×)题组二教材改编2．若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A．－eq\f(\r(2),10)B.eq\f(\r(2),10)C．－eq\f(7\r(2),10)D.eq\f(7\r(2),10)答案C解析∵α是第三象限角，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(3,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(7\r(2),10).3．sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝.答案eq\f(\r(2),2)解析sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝eq\f(\r(2),2).4．tan20°＋tan40°＋eq\r(3)tan20°tan40°＝.答案eq\r(3)解析∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝eq\f(tan20°＋tan40°,1－tan20°tan40°)，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)＝eq\r(3)－eq\r(3)tan20°tan40°，∴原式＝eq\r(3)－eq\r(3)tan20°tan40°＋eq\r(3)tan20°tan40°＝eq\r(3).题组三易错自纠5．化简：eq\f(cos40°,cos25°·\r(1－sin40°))＝.答案eq\r(2)解析原式＝eq\f(cos40°,cos25°\r(1－cos50°))＝eq\f(cos40°,cos25°·\r(2)sin25°)＝eq\f(cos40°,\f(\r(2),2)sin50°)＝eq\r(2).6．已知α是第二象限角，且sin(π－α)＝eq\f(3,5)，则sin2α的值为．答案－eq\f(24,25)解析由已知得sinα＝eq\f(3,5)，又α在第二象限，∴cosα＝－eq\f(4,5)，∴sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝－eq\f(24,25).7．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5)，则tan2α＝.答案－eq\f(4,3)解析由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5)知，cosα＝－eq\f(2\r(5),5)，所以tanα＝－eq\f(1,2)，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(－1,1－\f(1,4))＝－eq\f(4,3).

第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一和差公式的直接应用1．(2018·武汉模拟)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(3,7)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋β))＝eq\f(2,5)，则tan(α＋β)的值为()A.eq\f(29,41) B.eq\f(1,29)C.eq\f(1,41) D．1答案D解析∵taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(3,7)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋β))＝eq\f(2,5)，∴tan(α＋β)＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋β))))＝eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋β)),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))·tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋β)))＝eq\f(\f(3,7)＋\f(2,5),1－\f(3,7)×\f(2,5))＝1.2．(2017·山西太原五中模拟)已知角α为锐角，若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))等于()A.eq\f(2\r(6)＋1,6) B.eq\f(3－\r(2),8)C.eq\f(3＋\r(2),8) D.eq\f(2\r(3)－1,6)答案A解析由于角α为锐角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(2\r(2),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))coseq\f(π,6)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))sineq\f(π,6)＝eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(6)＋1,6)，故选A.3．计算eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)的值为．答案eq\f(1,2)解析eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)＝eq\f(sin70°sin20°,cos310°)＝eq\f(cos20°sin20°,cos50°)＝eq\f(\f(1,2)sin40°,sin40°)＝eq\f(1,2).思维升华(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．题型二和差公式的灵活应用命题点1角的变换典例(1)设α，β都是锐角，且cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq\f(3,5)，则cosβ＝.答案eq\f(2\r(5),25)解析依题意得sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(2\r(5),5)，因为sin(α＋β)＝eq\f(3,5)<sinα且α＋β>α，所以α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以cos(α＋β)＝－eq\f(4,5).于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－eq\f(4,5)×eq\f(\r(5),5)＋eq\f(3,5)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(2\r(5),25).(2)(2017·泰安模拟)已知cos(75°＋α)＝eq\f(1,3)，则cos(30°－2α)的值为．答案eq\f(7,9)解析cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝eq\f(1,3)，∴cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－eq\f(2,9)＝eq\f(7,9).命题点2三角函数式的变换典例(1)化简：eq\f(1＋sinθ＋cosθ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2))),\r(2＋2cosθ))(0<θ<π)；(2)求值：eq\f(1＋cos20°,2sin20°)－sin10°eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tan5°)－tan5°)).解(1)由θ∈(0，π)，得0<eq\f(θ,2)<eq\f(π,2)，∴coseq\f(θ,2)>0，∴eq\r(2＋2cosθ)＝eq\r(4cos2\f(θ,2))＝2coseq\f(θ,2).又(1＋sinθ＋cosθ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2)＋2cos2\f(θ,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2)))＝2coseq\f(θ,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2\f(θ,2)－cos2\f(θ,2)))＝－2coseq\f(θ,2)cosθ.故原式＝eq\f(－2cos\f(θ,2)cosθ,2cos\f(θ,2))＝－cosθ.(2)原式＝eq\f(2cos210°,2×2sin10°cos10°)－sin10°eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cos5°,sin5°)－\f(sin5°,cos5°)))＝eq\f(cos10°,2sin10°)－sin10°·eq\f(cos25°－sin25°,sin5°cos5°)＝eq\f(cos10°,2sin10°)－sin10°·eq\f(cos10°,\f(1,2)sin10°)＝eq\f(cos10°,2sin10°)－2cos10°＝eq\f(cos10°－2sin20°,2sin10°)＝eq\f(cos10°－2sin30°－10°,2sin10°)＝eq\f(cos10°－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)),2sin10°)＝eq\f(\r(3)sin10°,2sin10°)＝eq\f(\r(3),2).引申探究化简：eq\f(1＋sinθ－cosθ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2))),\r(2－2cosθ))(0<θ<π)．解∵0<eq\f(θ,2)<eq\f(π,2)，∴eq\r(2－2cosθ)＝2sineq\f(θ,2)，又1＋sinθ－cosθ＝2sineq\f(θ,2)coseq\f(θ,2)＋2sin2eq\f(θ,2)＝2sineq\f(θ,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)＋cos\f(θ,2)))∴原式＝eq\f(2sin\f(θ,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)＋cos\f(θ,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2))),2sin\f(θ,2))＝－cosθ.思维升华(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))等．跟踪训练(1)(2018·广州质检)eq\f(sin47°－sin17°cos30°,cos17°)等于()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)答案C解析原式＝eq\f(sin30°＋17°－sin17°cos30°,cos17°)＝eq\f(sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°,cos17°)＝eq\f(sin30°cos17°,cos17°)＝sin30°＝eq\f(1,2).(2)已知sin(α－45°)＝－eq\f(\r(2),10)，0°<α<90°，则cosα＝.答案eq\f(4,5)解析∵0°<α<90°，∴－45°<α－45°<45°，∴cos(α－45°)＝eq\r(1－sin2α－45°)＝eq\f(7\r(2),10)，∴cosα＝cos[(α－45°)＋45°]＝cos(α－45°)cos45°－sin(α－45°)sin45°＝eq\f(7\r(2),10)×eq\f(\r(2),2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),10)))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(16,20)＝eq\f(4,5).用联系的观点进行三角变形典例(1)设α为锐角，若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))的值为．(2)(1＋tan17°)·(1＋tan28°)的值为．(3)已知sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则eq\f(cos2α,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝.思想方法指导三角变形的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变形中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的．解析(1)∵α为锐角且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)>0，∴α＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－\f(π,4)))＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))coseq\f(π,4)－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))sineq\f(π,4)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－1))＝eq\r(2)×eq\f(3,5)×eq\f(4,5)－eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2－1))＝eq\f(12\r(2),25)－eq\f(7\r(2),50)＝eq\f(17\r(2),50).(2)原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°＝1＋tan45°(1－tan17°·tan28°)＋tan17°·tan28°＝1＋1＝2.(3)eq\f(cos2α,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝eq\f(cos2α－sin2α,\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinα＋\f(\r(2),2)cosα)))＝cosα－sinα，∵sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosα＝－eq\f(4,5)，∴原式＝－eq\f(7,5).答案(1)eq\f(17\r(2),50)(2)2(3)－eq\f(7,5)1．(2017·山西五校联考)若cosθ＝eq\f(2,3)，θ为第四象限角，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))的值为()A.eq\f(\r(2)＋\r(10),6) B.eq\f(2\r(2)＋\r(10),6)C.eq\f(\r(2)－\r(10),6) D.eq\f(2\r(2)－\r(10),6)答案B解析由cosθ＝eq\f(2,3)，θ为第四象限角，得sinθ＝－eq\f(\r(5),3)，故coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)(cosθ－sinθ)＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋\f(\r(5),3)))＝eq\f(2\r(2)＋\r(10),6).故选B.2．sin20°cos10°－cos160°sin10°等于()A．－eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)答案D解析sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝eq\f(1,2).3．(2017·西安检测)已知α是第二象限角，且tanα＝－eq\f(1,3)，则sin2α等于()A．－eq\f(3\r(10),10) B.eq\f(3\r(10),10)C．－eq\f(3,5) D.eq\f(3,5)答案C解析因为α是第二象限角，且tanα＝－eq\f(1,3)，所以sinα＝eq\f(\r(10),10)，cosα＝－eq\f(3\r(10),10)，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(\r(10),10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))＝－eq\f(3,5)，故选C.4．(2017·河南六市联考)设a＝eq\f(1,2)cos2°－eq\f(\r(3),2)sin2°，b＝eq\f(2tan14°,1－tan214°)，c＝eq\r(\f(1－cos50°,2))，则有()A．a<c<b B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b答案D解析由题意可知，a＝sin28°，b＝tan28°，c＝sin25°，∴c<a<b.5．已知sinα＝eq\f(3,5)且α为第二象限角，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))等于()A．－eq\f(19,5)B．－eq\f(5,19)C．－eq\f(31,17)D．－eq\f(17,31)答案D解析由题意得cosα＝－eq\f(4,5)，则sin2α＝－eq\f(24,25)，cos2α＝2cos2α－1＝eq\f(7,25).∴tan2α＝－eq\f(24,7)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝eq\f(tan2α＋tan\f(π,4),1－tan2αtan\f(π,4))＝eq\f(－\f(24,7)＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(24,7)))×1)＝－eq\f(17,31).6．已知sin2α＝eq\f(2,3)，则cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)答案A解析因为cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),2)＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2))),2)＝eq\f(1－sin2α,2)，所以cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1－sin2α,2)＝eq\f(1－\f(2,3),2)＝eq\f(1,6)，故选A.7.eq\f(2sin235°－1,cos10°－\r(3)sin10°)的值为()A．1B．－1C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)答案D解析原式＝eq\f(2sin235°－1,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)))＝eq\f(－cos70°,2sin20°)＝－eq\f(1,2).8．已知锐角α，β满足sinα－cosα＝eq\f(1,6)，tanα＋tanβ＋eq\r(3)tanαtanβ＝eq\r(3)，则α，β的大小关系是()A．α<eq\f(π,4)<β B．β<eq\f(π,4)<αC.eq\f(π,4)<α<β D.eq\f(π,4)<β<α答案B解析∵α为锐角，sinα－cosα＝eq\f(1,6)>0，∴eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2).又tanα＋tanβ＋eq\r(3)tanαtanβ＝eq\r(3)，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3)，∴α＋β＝eq\f(π,3)，又α>eq\f(π,4)，∴β<eq\f(π,4)<α.9．若sin2α＝－sinα，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则tan2α＝.答案eq\r(3)解析∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα≠0，∴cosα＝－eq\f(1,2)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinα＝eq\f(\r(3),2)，tanα＝－eq\r(3)，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(－2\r(3),1－－\r(3)2)＝eq\r(3).10.eq\f(sin250°,1＋sin10°)＝.答案eq\f(1,2)解析eq\f(sin250°,1＋sin10°)＝eq\f(1－cos100°,21＋sin10°)＝eq\f(1－cos90°＋10°,21＋sin10°)＝eq\f(1＋sin10°,21＋sin10°)＝eq\f(1,2).11．已知sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，则sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝.答案eq\f(17,18)解析由sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，两边平方得1＋sin2α＝eq\f(1,9)，解得sin2α＝－eq\f(8,9)，所以sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α)),2)＝eq\f(1－sin2α,2)＝eq\f(1＋\f(8,9),2)＝eq\f(17,18).12．(2018·吉林模拟)已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝eq\f(3,5)，β是第三象限角，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(5π,4)))＝.答案eq\f(7\r(2),10)解析依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sinβ＝eq\f(3,5)，sinβ＝－eq\f(3,5).又β是第三象限角，所以cosβ＝－eq\f(4,5).所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(5π,4)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))＝－sinβcoseq\f(π,4)－cosβsineq\f(π,4)＝eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7\r(2),10).13．(2017·河北衡水中学调研)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且3cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，则sin2α的值为()A．－eq\f(1,18)B.eq\f(1,18)C．－eq\f(17,18)D.eq\f(17,18)答案C解析由3cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))可得3(cos2α－sin2α)＝eq\f(\r(2),2)(cosα－sinα)，又由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))可知cosα－sinα≠0，于是3(cosα＋sinα)＝eq\f(\r(2),2)，所以1＋2sinα·cosα＝eq\f(1,18)，故sin2α＝－eq\f(17,18).故选C.14．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝eq\f(1,4)，则sin4θ＋cos4θ的值为．答案eq\f(5,8)解析因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cosθ－\f(\r(2),2)sinθ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cosθ＋\f(\r(2),2)sinθ))＝eq\f(1,2)(cos2θ－sin2θ)＝eq\f(1,2)cos2θ＝eq\f