11-12一元二次方程与一元二次方程的解法（一）

1.11.2一元二次方程与一元二次方程的解法（一）【推本溯源】1.用方程的关系表示正方形的面积是4，设正方形的边长为x，表示它们之间的关系。x²=42.认识一元二次方程回顾一下一元一次方程的概念一元一次方程：一个未知数，最高次数的为1的方程。因此，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.一元二次方程三要素：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数为2.3.一元二次方程的一般形。一般形式ax²+bx+c=0（a、b、c是常数，a≠0）项及项的系数二次项为ax²；二次项系数为a.一次项为bx；一次项系数为b.常数项为c.特点方程左边是关于未知数的二次整式，右边为0.4.一元二次方程的特殊形式特殊形式二次项系数一次项系数常数项ax²+bx=0（a≠0，b≠0）ab0ax²+c=0（a≠0，c≠0）a0cax²=0a005.一元一次方程的解概念使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.判断一个数是不是一元二次方程的根将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不相等，则该数不是这个返程的根。6.一元二次方程的解法（一）解x2=4（用平方根的方法）x=±2于是我们知道一元二次方程x2=4有两个根，它们分别记为x1=2，x2=2.像这种直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开方法.形如（h、k为常数，k≥0）的一元二次方程，可以用直接开方法求解.【解惑】例1：下列方程，是一元二次方程（其中，是未知数）的个数是（

）①，②，③，④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，进行判断即可．【详解】解：①是一元二次方程，②含有两个未知数，不是一元二次方程，③不是整式方程，不是一元二次方程，④当时，不是一元二次方程；综上：是一元二次方程（其中，是未知数）的个数是1个；故选A．【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握掌握一元二次方程的定义，是解题的关键．例2：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．1，4，5 B．0，， C．1，，5 D．1，，【答案】D【分析】一元二次方程的一般形式为：，其中称为二次项，a为二次项系数，称为一次项，b为一次项系数，c为常数项，根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可．【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，，，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次函数的一般形式，想要求出二次项系数、一次项系数和常数项就需要把函数转变为一般式：，其中称为二次项，a为二次项系数，称为一次项，b为一次项系数，c为常数项．例3：方程的解是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】根据直接开平方法可进行求解．【详解】解：，，解得：；故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．例4：已知关于的一元二次方程的根为，那么关于y的一元二次方程的解_____．【答案】和【分析】根据一元二次方程的解的定义可得，进而解关于的一元二次方程即可求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根为，∴关于y的一元二次方程可得，解得和．故答案为：和．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．例5：用开平方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）先方程两边同时乘以3，变形为，再开平方得，再解一元一次方程即可求解．（2）先把方程变形为，再开平方得，再解一元一次方程即可求解．【详解】（1）解：或，，；（2）解：或，．【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法是解题的关键．【摩拳擦掌】1.（2023·江苏·九年级假期作业）方程的解为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直接开平方解方程即可．【详解】解：直接开平方得：，∴方程的解为：，故选：C．【点睛】本题主要考查用直接开方法解一元二次方程，掌握如果方程化成的形式，那么可得是关键．2．（2023秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）一元二次方程可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直接开平方法解方程即可．【详解】解：∵，∴或，故选C【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．3．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）一元二次方程的根是（）A． B． C．， D．，【答案】B【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：，解得：．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点选择恰当的方法是解决此题的关键．4．（2020秋·广东清远·九年级期末）若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入得，然后解关于的一元二次方程即可．【详解】解：把代入得，解得，即的值为2．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．5．（2023·安徽宿州·统考三模）若是关于x的一元二次方程的解，则___________．【答案】2【分析】把代入到方程中得到关于k的方程，解方程即可．【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的解，∴，解得：，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．6．（2023·全国·九年级假期作业）写出一个以和5为两根且二次项系数为1的一元二次方程：___________．【答案】【分析】利用因式分解的形式解题即可．【详解】解：以和5为两根且二次项系数为1的一元二次方程可表示为：，化简后为：，故答案为：．【点睛】本题主要考查因式分解法解二次方程的逆用，能熟练运用因式分解法是解题关键．7．（2023·广东佛山·佛山市南海区南海执信中学校考三模）若是方程的根，则_________．【答案】【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入即可求解．【详解】解：∵是方程的根，∴解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．8．（2023·湖南长沙·统考三模）若是一元二次方程的根，则k的值等于________．【答案】2【分析】将代入得，，计算求解即可．【详解】解：将代入得，，解得，故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程的根．解题的关键在于对知识的熟练掌握．9．（2023·上海·八年级假期作业）下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)（为已知数）；(7)．【答案】(1)不是(2)不是(3)是(4)不是(5)不是(6)不是(7)是【分析】（1）根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程必须满足三个条件∶未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，并且是整式方程．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．（2）根据一元二次方程的定义判断即可；（3）根据一元二次方程的定义判断即可；（4）根据一元二次方程的定义判断即可；（5）根据一元二次方程的定义判断即可；（6）根据一元二次方程的定义判断即可；（7）根据一元二次方程的定义判断即可．【详解】（1）解：中两个未知数，是二元二次方程，故不是一元二次方程；（2）解：中对式子进行整理，两边项都消去了，剩下，为一元一次方程，故不是一元二次方程；（3）解：中对含有一个未知数，未知数的最高次数为1，故是一元二次方程；（4）解：中，分母里含有未知数，是分式方程，故不是一元二次方程；（5）解：不是整式方程，故不是一元二次方程；（6）解：中当是，原式化为，故不是一元二次方程；（7）解：化简即为，∴是一元二次方程．【点睛】本题利用了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．10．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）解方程：．【答案】【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：，，，．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．11．（2023·江苏·九年级假期作业）解关于的方程：．【答案】，【分析】整理方程，得，进而根据直接开平方法解一元二次方程JK【详解】整理方程，得，直接开平方法解方程，得：，即方程两根为，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【知不足】1．（2023春·江苏常州·九年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值是（

）A． B．2 C．0 D．或2【答案】A【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．【详解】解：原方程，把代入可得到，解得或，当时，，一元二次方程不成立，故舍去，所以．故选：A．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．本题容易出现的错误是忽视二次项系数不等于0这一条件．2．（2022秋·七年级单元测试）若一个数的倒数恰好等于这个数本身，则这个数是（

）A．1 B． C．1， D．1，0，【答案】C【分析】根据倒数的定义，列出方程即可求解．【详解】解：设这个数为，依题意得，，即，解得：，经检验，是原方程的解，故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解一元二次方程，倒数的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．3．（2023春·安徽安庆·八年级统考期中）若关于x的一元二次方程两根为和3，则关于x的方程的实数根个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据关于x的一元二次方程两根为和3，可知或，分别解方程即可求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为和3，∴或，解，得，∴此方程无实数解；解，得，∴，∴关于x的方程的实数根个数为2个，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，以及解一元二次方程，根据方程的解得出或是解题的关键．4．（2023春·浙江杭州·八年级浙江师范大学附属杭州笕桥实验中学校考期中）用下列哪种方法解方程最合适（

）A．配方法 B．开平方法 C．因式分解法 D．公式法【答案】B【分析】由于方程可变形为，所以用直接开平方法解方程最合适．【详解】解：，，，所以，故选：B．【点睛】本题考查了解一元二次方程：根据方程特点选择合适的方法解方程是解决问题的关键．5．（2023·全国·九年级假期作业）若关于的一元二次方程的两个根分别是与，则的值是_________．【答案】1【分析】根据题意，可得两根互为相反数，进而得到，进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴方程的两个根互为相反数，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握直接开方法解一元二次方程，互为相反数的两数之和为0，是解题的关键．6．（2020·江苏扬州·中考真题）方程的根是_____．【答案】【分析】两边开方，然后解关于的一元一次方程．【详解】解：由原方程，得．解得．故答案是：．【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；，同号且；；，同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．7．（2023·山东枣庄·统考中考真题）若是关x的方程的解，则的值为___________．【答案】2019【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可．【详解】解：∵是关x的方程的解，∴，即：，∴；故答案为：2019．【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．8．（2023·全国·九年级假期作业）已知一元二次方程的两根为、，且，则的值为_________________．【答案】/【分析】先利用直接开平方法解方程得到，，然后把它们代入中计算即可．【详解】解：，，解得．，方程的两根为、，且，，，．故答案为：．【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．9．（2023·全国·九年级假期作业）设，是方程的两个根，则_______．【答案】【分析】根据一元二次方程的解的定义可得，，然后代入式子求值即可．【详解】解：由题意知，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．10．（2023·上海·八年级假期作业）将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数．(1)（、是常数，且）；(2)；(3)．【答案】(1)方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为0；常数项为；(2)方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为；常数项为(3)一般形式即为；方程二次项为，二次项系数为2；一次项为，一次项系数为；常数项为6【分析】（1）移项，将方程化为一般性质，即可得解；（2）移项，将方程化为一般性质，即可得解；（3）利用平方差公式，方程左边为，由此方程即为，方程展开化为一般形式即为，从而即可得解．【详解】（1）解：∵，∴方程一般形式为；∴方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为0；常数项为；（2）解：∵，∴方程一般形式为；∴方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为；常数项为；（3）解：∵，∴∴，∴；方程二次项为，二次项系数为2；一次项为，一次项系数为；常数项为6．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，关于x的方程，（，a，b，c，为常数）称为一元二次方程的一般形式，叫二次项，是一次项，c是常数项，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．11．（2023·上海·八年级假期作业）关于的方程．(1)当取何值时，方程为一元二次方程？(2)当取何值时，方程为一元一次方程？【答案】(1)(2)【分析】（1）令二次项系数不为零即可求解；（2）令二次项系数为零且一次项系数不为0即可求解．【详解】（1）要使方程为一元二次方程，则，即时，原方程是一元二次方程；（2）要使方程为一元一次方程，则，，即且，可知时，原方程是一元一次方程．【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的概念，解题关键是掌握它们的概念，将一个方程化简后如果形如，则它为一元二次方程，而一元一次方程则应抓住两个关键：①只含有一个未知数，②未知数的次数是1的整式方程．12．（2023·北京海淀·北京市十一学校校考模拟预测）已知a是一元二次方程的根．求代数式的值．【答案】6【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算原式，然后根据方程根的定义可得，再结合化简后的式子整体代入求解即可．【详解】解：，∵a是一元二次方程的根，∴，即，∴原式．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义、整式的乘法运算和代数式求值，熟练掌握整式的运算法则、掌握整体代入的方法是解题关键．【一览众山小】1．（2023·全国·九年级假期作业）解一元二次方程，四名同学分别得到下列四个答案，你认为正确的一个答案是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】利用直接开平方法解方程即得答案.【详解】解：∵，∴，解得：，；故选：C.【点睛】本题考查了利用直接开平方法解方程，属于基础题，掌握求解的方法是关键.2．（2023·全国·九年级假期作业）已知方程的一个根是，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把代入原方程得出，求出k的值即可．【详解】解：∵方程的一个根是，∴，解得：，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查方程的根的概念及有理数的混合运算，掌握概念正确代入计算是解题关键．3．（2023春·安徽阜阳·九年级阶段练习）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】利用一元二次方程根的定义，确定出的值即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为，∴且，解得：．故选：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为为常数且，理解一元二次方程的定义是解题的关键．4．（2022春·八年级单元测试）下列哪个是一元二次方程的解（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】两边同时除以2，再两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：，，，解得，，，故选：C【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，类型有：；（同号且）；；同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解．5．（2023·全国·九年级假期作业）将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用多项式乘法把括号去掉，再移项合并同类项即可．【详解】解：，，故选：B．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．6．（2023·广东深圳·深圳实验学校校考模拟预测）若是一元二次方程的一个根，则的值是______________.【答案】【分析】由题意可得即可求解．【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想是本题的关键．7．（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）关于x的方程的解是，（a、k、b均为常数，）问题：（1）关于x的方程的根是________；（2）关于x的方程的根为________．【答案】，，【分析】（1）先根据方程的解是，，得到即，结合得到方程的根为，代入计算即可．（2）仿照（1）计算即可．【详解】（1）∵，∴，∵方程的解是，，∴，∵，∴，∴，解得，，故答案为：，．（2）∵，∴，∵方程的解是，，∴，∵，∴，∴，∴，，故答案为：，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，灵活变形是解题的关键．8．（2022秋·广西柳州·九年级统考期中）若关于x的方程是一元二次方程，求m的值．【答案】m的值为．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【详解】解：由题意得，，由①得，，由②得，，所以，m的值为．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．