空间向量在立体几何中的应用练习版

空间向量在立体几何中的应用导语：空间向量对于立体几何而言，是把复杂的位置关系进行数据化，把几何的内容转化为数据的计算从而进行解题，因此与空间的观察分析有着截然不同的解题策略题型一——求空间中的夹角题型一——求空间中的夹角点拨：空间向量应用中最常见的问题，解题的注意点在于：1、坐标系的准确性2、坐标的正确性3、法向量的计算4、公式的解读与运用1—1、如图，圆锥的高，底面直径是圆上一点，且，若与所成角为，则（

）A． B． C． D．1—2、已知二面角为直二面角，，，，，则与，所成的角分别为，，与所成的角为___________.1—3、如图，三棱锥中，为线段的中点.（1）证明：平面平面；（2）设，求直线与平面所成角的正弦值.1—4、已知三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，为的重心，.（1）求证：；（2）已知，平面，且平面.①求证：；②求与平面所成角的正弦值.1—5、如图，在五面体中，底面为平行四边形，平面，为等边三角形，．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．1—6、如图，在多面体中，底面是平行四边形，为的中点，．（1）证明：；（2）若多面体的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．1—7、如图，已知四棱台中，，，，，，，且，为线段中点，（1）求证：平面；（2）若四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.1—8、如图，在正四棱台中，.

(1)求证：平面ABCD⊥平面；(2)若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的正弦值.题型二——距离问题题型二——距离问题点拨：解决距离问题的关键在于围绕公式对向量的灵活运用，计算平面的法向量以及创造两点之间的线向量就成了最重要的部分2—1、如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点G在棱AD上，，直线AB与平面相交于点H.（1）从下面两个结论中选一个证明：①；②直线HE，GF，AC相交于一点；注：若两个问题均作答，则按第一个计分.（2）求直线BD与平面的距离.2—2、如图，在四棱锥中，平面，，，，，点E为的中点.(1)证明：平面；(2)求点到直线的距离；(3)求直线与平面所成角的正弦值.2—3、如图，直四棱柱的底面为平行四边形，分别为的中点.(1)证明：平面；(2)若底面为矩形，，异面直线与所成角的余弦值为，求到平面的距离.题型三——动点问题题型三——动点问题点拨：解决动点问题的关键在于对动点的假设，分为点在线上在面上在空间中三种情况，而考试的侧重则是在线段上的动点问题3—1、如图所示，在梯形中，，，.四边形为矩形，且平面.(1)求证：平面；(2)若直线与所成角的正切值为，点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.3—2、已知四棱柱如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面内的投影为点，且．（1）求证：平面平面；（2）已知点在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．题型四——存在性问题题型四——存在性问题点拨：存在性问题与动点问题类似，假设存在，再通过计算确定数值的合理性4—1、如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，D，E分别为，的中点，，，.(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点F，使得平面与平面的夹角为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．4—2、在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面．

(1)求证：；(2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．4—3、如图,在三棱柱中,直线平面ABC,平面平面.(1)求证:;(2)若,在棱上是否存在一点,使二面角的余弦值为?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.题型五——综合问题题型五——综合问题5—1、在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，则（）A．与是异面直线B．存在点，使得，且平面C．与平面所成角的余弦值为D．点到平面的距离为5—2、已知直三棱柱中，且，直线与底面所成角的正弦值为，则（）A.线段上存在点，使得B.线段上存在点，使得平面平面C.直三棱柱的体积为D.点到平面的距离为5—3、如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，则下列结论正确的序号是．

①棱上一定存在点，使得；②三棱锥的外接球的表面