13空间向量及其运算的坐标表示　讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性

1.3空间向量及其运算的坐标表示基础公式1空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量运算向量表示坐标表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b32空间向量的平行与垂直a平行（a∥a垂直（a⊥a⋅b=0⇔a1特别提醒：在a∥b(b≠0)⇔a1=λb1a23、向量长度的坐标计算公式若a=(a1，空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度4、两个向量夹角的坐标计算公式设a=(a15、两点间的距离公式若，，则①即：终点的坐标减去起点的坐标．②6、用空间向量表示点到直线的距离设AP=a，直线l的方向向量为u∴AP在直线l上的投影AQ=a垂线段当u=1时，AP在直线l上的投影向量AQ=在Rt∆APQ中，由勾股定理得垂线段PQ=考题专项训练[题型一]空间向量的坐标表示1．在空间直角坐标系中，若A1,-1,3，AB=(5,0,2)，则点B的坐标为（A．-4,-1,1B．6,-1,5C．4,1,-1 D．6,-1,-12．设点A4,2,-1，O0,0,0，M1,-1,2，若OM=ABA．-1,3,-3 B．1,-3,3 C．5,1,1 D．-5,-1,-13．在空间直角坐标系中，已知点A1,-2,3,B-3,0,1，则线段ABA．-1,-1,2B．1,1,-2C．2,2,-4 D．-2,-2,44．在空间直角坐标系中，已知点A4,-3,5，B-2,1,-7，则AB[题型二]空间向量的坐标运算1．已知向量：a=-3,2,5，b=1,5,-1，则A．-4,-3,4B．-5,-8,7C．-5,-8,3 D．-1,-3,62．已知向量a=(2,1,-3),b=(1,-1,2)，则aA．(16,0,4) B．(4,-1,1) C．(5,1,-4) D．(8,16,4)3．已知a=1,0,1，b=-2,-1,1，c=A．-9,-3,0B．0,2,-1C．9,3,0 D．9,0,04．已知向量AB=2,A．-2,-2,-2 B．（8C．（6，8，5．已知a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),则A．(0，34，10)B．(3，19，7)C．44D．236．已知空间向量a=(1,2,-3),b7．已知a=-3,2,5，b=1,5,-18．已知向量a=-3,2,4，b=1,-2,2，则A．210 B．40 C．69．向量a=2,-1,2，b=-4,2,x，a⊥A．9 B．3 C．1 D．310．设x,y∈R，向量a=x,1,1，b=1,y,1，c=2,-4,2A．22 B．10 C．3[题型三]空间向量共面求参数1．已知向量a=(-1,3,-2),b=(2,-1,3),A．-10 B．0 C．5 D．372．已知a=2,-1,3，b=-1,4,-2，c=λ,2,4，若aA．1 B．2 C．3 D．43．如果向量a=2,-1,3，b=-1,4,2，A．-1 B．1 C．-5 D．54．已知向量a→=(2,x,1)，b=(1,0,1)，c=(0,1,1)，若A．-1 B．1 C．1或-1 D．1或05．已知空间向量a=1,1,2，b=-3,1,1，c=-2,2,m，若a，b6．已知A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,0,1)，D(x,1,2)，若A，B，C，D四点共面，则x=．[题型四]空间向量平行与垂直运算1．已知a=1,-2,4，则下列向量中与A．1,1,1 B．-2,4,-8 C．2,-3,5 D．-2,-3,52．向量a=1,2x,3，A．x=-16,y=23 B．3．已知两个向量a=2,-1,2，b=6,mA．1 B．3 C．5 D．94．已知向量a=(3,-1,2),b=(x,A．4 B．8 C．-4 D．-85．已知空间向量a=1,n,2，b=-2,1,2，若A．532 B．352 C．376．已知空间向量a=A．a⊥b,a//c B．a⊥b7．设x,y∈R，向量a=x,1,1，bA．22 B．10 C．38．已知向量a=1,-1,3，b=2,2,3，c=m9．a=-2,1,3,b=-1,2,1，若10．已知向量a=(2,-3,5)与向量b=(4,x11．已知平面内有A2,3,1,B4,1,2,C6,3,12．已知空间向量a=(1,0,1(1)若(a+b(2)若ka+b与213．已知点A1,0,2，B-2,1,3(1)求向量a的单位向量a(2)求a(3)求cos[题型四]空间向量夹角1．已知a=(1,0,1)，b=(x,1,2)，且a⋅b=3，则向量aA．5π6 B．2π32．已知空间向量a=-1,0,1,b=x,1,1，且a⋅A．5π6 B．2π33．已知A3,3,3，B6,6,6，O为原点，则OA与BO的夹角是（A．0 B．π C．π2 D．4．若a=(3x,-5,4)与b=(x,2x,-2)的夹角为钝角，则x的取值不可能为（A．1 B．2 C．3 D．45．已知向量a=(3，1，2)，b=(-1，3，t)，且A．2 B．-2 C．4 D．-46．已知向量a=(-2,t,-1),b=(2,1,1)，若a与b的夹角为钝角，则实数t7．已知空间中直线l1的方向向量a=1,-1,1，直线l2的方向向量b=2,2,-1，则8．已知空间三点A-2,0,2，B-1,1,2，C-3,0,4，设a(1)求cos〈(2)ka+b与k[题型五]空间向量的投影1．已知A2,1,3，B2,-2,6，C3,6,6，则AC在ABA．(0,-1,1) B．(0,-2,2)2．已知a=3,0,4，b=-3,2,5，则向量a在向量