天津市河东区2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学

河东区2023~2024学年度第二学期期末质量检测高一数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共32分）一、选择题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求）1.下列调查方式较为合适的是（）A.为了了解灯管的使用寿命，采用普查的方式B.为了了解我市中学生的视力状况，采用抽样调查的方式C.调查一万张面值为100元的人民币中有无假币，采用抽样调查的方式D.调查当今中学生喜欢什么体育活动，采用普查的方式2.为确保食品安全，某市质检部门检查1000袋方便面的质量，抽查总量的.在这个问题中，下列说法正确的是（）A.总体是指这1000袋方便面 B.个体是1袋方便面C.样本是按抽取的20袋方便面 D.样本容量为203.下列条件中，能判断平面与平面平行是A.内有无穷多条直线都与平行B.与同时平行于同一条直线C.与同时垂直于同一条直线D.与同时垂直于同一个平面4.在一次随机试验中，事件A，B，C彼此互斥，它们的和为必然事件，则下列说法正确的是（）A.A与C是互斥事件，也是对立事件B.与B是互斥事件，也是对立事件C.与B是互斥事件，但不是对立事件D.A与是互斥事件，也是对立事件5.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（）﹒A.平面PAC B. C. D.平面平面PBC6.在正方体，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）A. B. C. D.7.若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据，，…，的平均数为4，则下列说法错误的是（）A.值为 B.乙组样本数据的方差为36C.两组样本数据的样本中位数一定相同 D.两组样本数据的样本极差不同8.如图，正方体中，点E、F、G、H分别为棱的中点，点M为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是（）①AM与异面；②平面AEM；③平面AEM截正方体所得截面图形始终是四边形；④平面平面.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个第Ⅱ卷（非选择题）注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共两大题，二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）9.中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计.将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示.则这400名学生视力的众数为________10.对某自行车赛手在相同条件下进行了次测试，测得其最大速度（单位：m/s）数据如下：，则他的最大速度的第一四分位数是________11.一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本，抽出的男运动员平均身高为，抽出的女运动员平均身高为.估计该田径队运动员的平均身高是________cm12.某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照，，…，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为________13.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：________时，平面.14.在三棱锥中，平面，是等腰直角三角形，，，，垂足为H，D为的中点，则当的面积最大时，_________.三、解答题：（本大题5个题，共44分）15.某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：（1）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；（2）已知该地区有,两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租型车，高一级学生都租型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租型车的概率.16.如图，四棱锥的底面为正方形，为的中点.（1）证明：平面；（2）若平面，证明：.17.某中学400名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）由频率直方图求样本中分数的中位数；（2）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；（3）已知样本中男生与女生的比例是，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为12，请计算出总体的方差．18.如图，在三棱锥中，，底面.（1）求证：平面平面；（2）若，，是的中点，求与平面所成角的正切值.19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点．（1）求证：平面；（2）求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值；（3）在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由．河东区2023~2024学年度第二学期期末质量检测高一数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共32分）一、选择题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求）1.下列调查方式较为合适的是（）A.为了了解灯管的使用寿命，采用普查的方式B.为了了解我市中学生的视力状况，采用抽样调查的方式C.调查一万张面值为100元的人民币中有无假币，采用抽样调查的方式D.调查当今中学生喜欢什么体育活动，采用普查的方式【答案】B【解析】【分析】根据实际情况选择合适的调查方式即可判断.【详解】对A，为了了解灯管的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故A错误；对B，为了了解我市中学生的视力状况，采用抽样调查的方式，故B正确；对C，调查一万张面值为100元的人民币中有无假币，采用抽样普查的方式，故C错误；对D，调查当今中学生喜欢什么体育活动，采用抽样普查的方式，故D错误.故选：B.2.为确保食品安全，某市质检部门检查1000袋方便面的质量，抽查总量的.在这个问题中，下列说法正确的是（）A.总体是指这1000袋方便面 B.个体是1袋方便面C.样本是按抽取的20袋方便面 D.样本容量为20【答案】D【解析】【分析】根据总体，个体，样本，样本的定义逐一判断即可得解.【详解】对于A，总体是指这1000袋方便面的质量，故A错误；对于B，个体是指1袋方便面的质量，故B错误；对于C，样本是指按照抽取的20袋方便面的质量，故C错误；对于D，样本容量为，故D正确.故选：D.3.下列条件中，能判断平面与平面平行的是A内有无穷多条直线都与平行B.与同时平行于同一条直线C.与同时垂直于同一条直线D.与同时垂直于同一个平面【答案】C【解析】【分析】利用面面平行的判定直接判断即可．【详解】解：对于，若内有无穷多条平行直线与平行，则不能说明平行；对于，平行于同一条直线的两个平面可能不平行，还可以相交；对于，垂直于同一条直线的两平面平行；对于，垂直于同一平面的两个平面不一定平行，还可以垂直．综上，选项正确．故选：．【点睛】本题考查空间中面面平行的判定，考查空间直线、平面间的位置关系，属于基础题．4.在一次随机试验中，事件A，B，C彼此互斥，它们的和为必然事件，则下列说法正确的是（）A.A与C是互斥事件，也是对立事件B.与B是互斥事件，也是对立事件C.与B是互斥事件，但不是对立事件D.A与是互斥事件，也是对立事件【答案】D【解析】【分析】根据互斥与对立事件的意义逐个辨析即可.【详解】由于A,B,C彼此互斥,且是必然事件,所以A与C是互斥事件,但不是对立事件,A错误；与B可以同时发生,不是互斥事件,也不是对立事件,B错误；任何一个事件与其余两个事件的和事件必然是对立事件,故C错误,D正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了互斥与对立事件的辨析,属于基础题型.5.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（）﹒A.平面PAC B. C. D.平面平面PBC【答案】C【解析】【分析】结合空间中点、线、面的位置关系，对选项逐个分析判断即可.【详解】对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而底面圆面，则，又由圆的性质可知，且，平面，则平面，所以A正确；对于B，由A可知平面，又平面，所以，又，且，平面，所以平面，而平面，所以，所以B正确；对于C，假设成立，由平面，且平面，所以，而，且平面，所以平面，由A可知平面，所以，显然不成立，故假设错误，即C不正确；对于D，由B可知，平面，因为平面，所以平面平面，所以D正确.故选：C.【点睛】本题考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生的推理能力与空间想象能力，属于中档题.6.在正方体，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角正切值，在中进行计算即可.【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，如图设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则.故选:C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角.向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.7.若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据，，…，的平均数为4，则下列说法错误的是（）A.的值为 B.乙组样本数据的方差为36C.两组样本数据的样本中位数一定相同 D.两组样本数据的样本极差不同【答案】C【解析】【分析】结合平均数公式、方差公式、中位数和极差的定义，逐个选项判断即可.【详解】甲组样本数据，，，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，又乙组样本数据，，，的平均数为4，，解得，故A正确，乙组样本数据方差为，故B正确，设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为，两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C错误，甲组数据的极差为，则乙组数据的极差为，两组样本数据的样本极差不同，故D正确．故选：C．8.如图，正方体中，点E、F、G、H分别为棱的中点，点M为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是（）①AM与异面；②平面AEM；③平面AEM截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面平面.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】根据正方体的几何性质逐项分析.【详解】对于①，连接，四边形是平行四边形，平面，平面，平面，平面，又，所以与AM是异面直线，正确；对于②，连接EH，则四边形是平行四边形，，又平面AEM，平面AEM，平面AEM，正确；对于③，取的中点T，当M与T重合时，连接，则有四点共面，即平面AEM截正方体的图形是四边形，如下图：当M点在线段上时，在平面内作直线，交的延长线于U，交于V，连接UM，四点共面，平面，，即平面AEM截正方体的图形是五边形，如下图：错误；对于④，在正方形ABCD内，所以，又平面ABCD，平面ABCD，，平面，平面，平面AEM，平面平面，正确；故选：C.【点睛】难点点睛：本题的难点在于当M点移动时，平面AEM与正方体的交面需要在平面内寻找到与直线EM平行的直线AV，从而确定交面的形状.第Ⅱ卷（非选择题）注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共两大题，二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）9.中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计.将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示.则这400名学生视力的众数为________【答案】##【解析】【分析】根据频率分布直方图中众数的求法求解即可.【详解】由图可知，众数为.故答案为：.10.对某自行车赛手在相同条件下进行了次测试，测得其最大速度（单位：m/s）的数据如下：，则他的最大速度的第一四分位数是________【答案】##【解析】【分析】利用第一四分位数的定义求解即可.【详解】首先，我们把这些数字从小到大排列，可得次测试的速度应为，且第一四分位数即为第百分位数，由可得，第百分位数即为第三项和第四项的平均数，则该数为.故答案为：11.一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本，抽出的男运动员平均身高为，抽出的女运动员平均身高为.估计该田径队运动员的平均身高是________cm【答案】【解析】【分析】根据平均数的求法求得该田径队运动员的平均身高【详解】依题意，估计该田径队运动员的平均身高为.故答案为：.12.某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照，，…，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为________【答案】【解析】【分析】根据频率分布直方图中平均数的求法求解即可.【详解】由题意，，解得，平均数为.故答案为：.13.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：________时，平面.【答案】答案表述不唯一)【解析】【分析】当为的中点，为的中点时，根据三角形中位线的性质即可判断，从而可得平面，由此可得出点满足条件的结论.【详解】连接交于O，连接OE，平面平面，平面平面，.又底面为平行四边形，为对角线与的交点，故为的中点,为的中点，故当满足条件:时，面.故答案为:答案表述不唯一)14.在三棱锥中，平面，是等腰直角三角形，，，，垂足为H，D为的中点，则当的面积最大时，_________.【答案】【解析】【分析】由线面垂直的判定和性质定理可得，结合基本不等式确定面积取得最大值时，设，由等面积法解得，即可得出答案．【详解】因为平面，面，所以，又，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，平面，所以平面，又面，所以，，连接CD,是等腰直角三角形,易知，，则，当且仅当等号成立，此时取得最大值，设，则在中，，由等面积，即，解得故答案为：．三、解答题：（本大题5个题，共44分）15.某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：（1）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；（2）已知该地区有,两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租型车，高一级学生都租型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租型车的概率.【答案】（1）2，3；（2）【解析】【分析】（1）利用各年级的比例，抽样即可；（2）列举出基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解.【小问1详解】依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为，高二学生的人数为:；【小问2详解】记抽取的2名高一学生为，3名高二的学生为，则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：，(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)，共10种可能；其中至少有1人在市场体验过程中租型车的有：，共9种，故所求的概率16.如图，四棱锥的底面为正方形，为的中点.（1）证明：平面；（2）若平面，证明：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，设与交于点，连接，由线面平行的判定定理即可证明；（2）由线面垂直的性质定理及判定定理即可得证.【小问1详解】设与交于点，连接，因为底面是正方形，所以为的中点，又因为为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】因为底面是正方形，所以，又因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以.17.某中学400名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）由频率直方图求样本中分数的中位数；（2）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；（3）已知样本中男生与女生的比例是，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为12，请计算出总体的方差．【答案】（1）72.5（2）20人（3）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图数据求解；（2）由频率分布直方图数据求解；（3）由总样本的均值与方差的公式计算求解即可.【小问1详解】由频率分布直方图，设分数中位数为，则有，解得，所以分数的中位数为72.5；【小问2详解】由频率分布直方图知，分数在的频率为，在样本中分数在的人数为（人），在样本中分数在的人数为95人，所以估计总体中分数在的人数为（人），总体中分数小于40的人数为20人；【小问3详解】总样本的均值为，所以总样本的方差为．18.如图，在三棱锥中，，底面.（1）求证：平面平面；（2）若，，是的中点，求与平面所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；（2）在平面内，过点作，连接，证明出平面，可得出与平面所成角为，计算出的边、的长，由此可计算出与平面所成角的正切值.【详解】（1）证明：在三棱锥中，底面，平面，，又，即，，平面，平面，因此，平面平面.（2）解：在平面内