2020～2021南通市海门区高三年级上册数学期末试卷及答案

海门2020〜2021学年第一学期期末测试

高二数学

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1.本试卷共5页，包括单项选择题（第1〜8题）、多选题（第9〜12题）、填空题（第13〜

16题）和解答题（第17〜22题）四部分。本次考试满分为150分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2.答题前，请务必将自己的姓名、考试号、考位号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写

在答题卡上。

3.请认真核对答题卡表头规定填写或填涂的项目是否准确。

4.作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦

干净后，再选涂其它答案。作答填空题和解答题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写

在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题绐出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.已知集合A={R%2一无一2＜。},3={%卜AB=A,则实数根的取

值范围为（）

A.（2,+8）B.（-1,2）C.[2,+8）D.（-1,2]

【答案】C

2已知复数Z=（l+2/）（2-。（其中i为虚数单位），则复数Z的共辗复数在复平面

内对应的点为（）

A.（3,4）B.（3,-4）C.（4,3）D.（4,-3）

【答案】D

3.““〈I”是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

4.2021年春节临近在河北省某地新冠肺炎疫情感染人数激增，为防控需要，南通

市某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离点进行

核酸检测采样工作，则选派的三人中至少有1名女医生的概率为()

235152

A.—B.—C.—D.-

2814567

【答案】A

5.若(父+之］的二项式展开式中17项的系数为15,则〃=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

6.已知向量满足忖=2,b=(l,l),Qb=-2,则cos<”,。+b>=()

A.1B.-1C.变D.一也

2222

【答案】C

7.已知函数若曲线>=/(%)在点处的切线与直线

丁=2%平行:，贝ija=()

A.-2B.-2或-1C.-1或2D.-1

【答案】A

解：/'(x)=2xe'“T+die3।—a

⑴=2e"M+ae“M-a=2

令名(4=(4+2)六_“_2

g(-l)=l-(-l)-2=0,a=-1可取但此时在点处的锤子数学切线为

y=2x,故舍去.

g(-2)=0+2-2=0,。=一2可取，选A.

8.已知实数A,满足把q=§=--—,b>1,则a,b,c的大小关系为()

eaeec

A.a>b>cB.a>c>hC.b>c>aD.b>a>c

【答案】D

卜r*

解：b>l,:.—>0,--->0,.•.(?<(),

ebec

而。〉0力>1,「.c最小

令/(%)==，，。)=二=o，％=i

ee

了⑴在(F,l),(l,+8)

\nab,八pm,

---=—>0,/.Intz>0,即a>l

ee

aInab

>:.b>a>c

7eaeh

综上：Z?>a>c.选D.

二、多项选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分。在每个小题给出的

四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有

选错的得0分。)

X

9.某同学在研究函数/(©MLyCreR)时，给出下面几个结论中正确的有()

1+国

人./(%)的图象关于点(-1,1)对称BJ(%)是单调函数

C./(%)的值域为(-1,1)D.函数g(尤)=/(%)-%有且只有一个零点

【答案】BCD

10.南通某大型汽车配件厂为提高对汽车配件生产的质量产品要求，对现有某种

型号产品进行抽检，由抽检结果可知，该型号汽车配件质量指标J服从正态分布

N(200,224),则()

A.尸(185.03<J<200)=0.6826

B.P(200<^<229.94)=0.4772

C.尸(185.03<]<229.94)=0.9544

D.任取10000件该型号配件，其质量指标值位于区间(185.03,229.94)内件数约为

8185件.

(附：V224®14.97»若JN(〃Q2),

贝ijP(忻一“<°)=().6826,尸(除一”<2cr)=0.9544)

【答案】BD

11.已知函数〃%)=sin(s+0)(Q〉0,附<5),其图象相邻两条对称轴之间

的距离为四，且直线x=-2是其中一条对称轴，则下列结论正确的是()

412

A.函数/(x)的最小正周期为3

B.函数/(%)在区间「二二]上单调递增

612

C.点-昔,0是函数图象的一个对称中心

D.将函数八％)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得

到的图象向左平移二个单位长度，可得到g(%)=sin2x的图象

【答案】AC

解：相邻两对称轴间的距离叼

.•.3=工即T=工，A正确

242

2471

T=—=—,:.co=4,/(%)=sin(4%+0)

CD2

%=-三是一条对称轴，:.--+(p=—+k7r,(P=三九+k冗，keZ

1232

71兀

时行，(0=----/(x)=sin4x----

6I6

71兀

了(%)在,B错

6512

“冗,71k7T5冗

4%----=K7T,X二一，左GZ,攵=一1时,X—,

624424

--工方,。］是一个对称中心，C对

I24)、

/(x)图象上所有点横坐标伸长为锤子数学原来的2倍变为sin2%-£

16

再向左平移工个单位变为sin2x+—71I-7-1=sin|2x+~7Csin2x,D错

66667

选AC.

.,14/—

12.已知正数a,b满足一+—=J^,贝lj()

ab

A.M+'-的最小值为2B.M的最小值为4

ab

C.a+4。的最小值为8D.4a+Z?的最小值为8

【答案】BD

(-Jab)2>4,即

aZ?+—1=—,A错，B对

l"人ni4

/?+4tz=(V^)3>23=8,D对

。=1乃=4时锤子数学满足已+:=而

ab

此时a+4〃=17>8,C错

选BD.

三、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的

相应位置。)

13.若数列｛%｝满足：%+%+|=2〃+1，4=1,则%021=-

【答案】2021

14.已知/(%)是定义在R上的奇函数，满足.f(l—x)=/(l+x).若/⑴=2,贝IJ

/⑴+/(2)+〃3)++/(2021)=.

【答案】1

2222

15.设椭圆6：点+£=1(。>6>())与双曲线。2言一]=1(加>0,〃>())的公共焦

点为耳，鸟，将G，G的离心率记为弓,2，点A是在第一象限的公共点，若

22

点A关于c2的一条渐近线的对称点为耳，则4+*4=.

e\e2

【答案】4

解A£+AF2-2aAF]=a+m

AF｝-AF2=2mAF-,=a—m

A£关于渐近线对称，设锤子数学中点为M

则是中位线，OMAF2

OM±AFi,AF1±AF2

AF^+AF^=4c2

:.(a+m)2+(a-m)2=4c2,/.a1+nr=2c2

222

22222a+2m4cA

~+~~~+-------2----==4•

e；c~ccc

16.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角

形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”.

如图，三棱柱ABC-AgG为一个“堑堵”，底面AA3C是

以A8为斜边的直角三角形，且AB=5,AC=3,点尸在

棱BB］上,且PCJLPG，当AAPq的面积取最小值时，三

棱锥P-ABC的外接球的表面积为.

【答案】45不

解：法一：由“堑堵”的锤子数学定义可知，AABC为直角三角形，故

BC=」AB。-AC。=4,

易知AC_LPC；,又PCLPQ,所以PC；_L平面APC,于是得AP_LPC；

设B4=z,BP=t,则B/=zT,

贝1」4尸=14牙+5产=j25+7,PQ=JgC：+g尸=J16+(z-I,

AC,=Jg+cc：=79+z2,

由APLPG，得9+Z2=25+〃+16+(ZT)2,整理得Z=/+3,

所以尸G?=16+(z-r)*2=16+^-

所以S2为代=*6+料25+/)=2》+小等

22,41+2『拳=18,当且仅当『=誓，即1=2逐时AA7Y；的锤子数学面积

取得最小值18,止匕时AP=j25三诉甫=3石，

设三棱P-ABC锥的外接球半径为R,由图可知，线段AP为外接球的直径

故所求外接球的表面积S=4^-x一=45%.

4

法二：令4PCB=e=4C\PB、,

则c/=±,CP=^—,不二

sin(9cos。v(cos6Jvcos_0

又因为AC_L平面CBgC，所以AC_LC/,

又CP上GP,所以G尸，平面AC尸，所以NC『A=90。,

-I14

AAPG的面积氏因"/尸"在前

二产「上呸?尸5]-J卜京值+码*)

=J164+100+64tan261,当且仅当=64tan?6时,5®.取最小值，

Vtair。tan*MPC,

此时tan。=且，AP=」9+—^=J25+I6tan2°=35

2Vcos2^

在三棱锥尸-ABC中，因为NACP=NAB尸=90。,

取AP中点为O,则OC=O3=」"=Q4=OP,故O为三棱锥尸-ABC的锤子数

2

学外接球的球心，所以”为外接球直径，5.球O=4成2=九4产=45乃.

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤。

123nn

17.已知数列｛%｝满足-----+------+------H--------------——

2。1—52a之一52a3—52an-53

1

（1）求数列｛凡｝的通项公式；（2）设数列.＞的前〃项和为7＞求却

J

111+.••+1n.

解・(1)-----+------+------2a-5-3®

械2q-52a2-52a.-5

123〃—1_〃—1ZTX

〃N2时，--—+——+—2M-5=亍°

2%—52a2—52a3—5

n13/1+6

①-②=------=-=>«,=（北2）

2an-53”2

在①式中，令〃=1=>——-——=-=>(2=4,也满足上式

2a,-53

3«+5

a=------

"2

⑵—14411

3HF53nF8-(3〃+5)(3/7+8)-3(3〃+53n+8

4%zz

22

_4111111411n

-381111143n+53〃+83183H+8j2(3n+8)

18.在平面四边形ABC。中，已知A5=2遥，AO=3,

7T

/ADB=2/ABD，ABCD=—

3

(1)求BD;

解:

ADAB32屈V6

(1)--------=---------=---------=----------=cosZABD=—

sin/AB。sinZADBsmZABDsin2NAB。3

2

:.smZABD=—,cosZADfi=cos2ZABZ)=l-/—|=|,sinZAQB=2V2

333

"的Xin(W+ZA网4xg+率苧=竽

在AABD中由锤子数学正弦定理得半=2=BD=5.

5V3V3

93

(2)设3C=%,CD=y,

x2+y2-2xy-=25=>x2+y2-AY=25(x+y)2-3xy=25

2

%+y；

(%+炉—25=3-W3-=(%+»<2510

.•.△38的周长的最大值为10+5=15.

jr\

19.如图1,在直角梯形A3CO中，ADI1BC,/BAD=-,AB=BC=—AD=a,E

22

是A。的中点，O是AC与3石的锤子数学交点，将A48E沿3七折起到图2中

A4,B石的位置，得到四棱锥A-3C。石.

（1）证明：CD_L平面A。。；（2）当平面ABEL平面5CDE时，四棱锥村一BCDE的

体积为360,求。的值.

图1图2

解：（1）证明：原直角梯形中A。BC,

BC=-AD,E为A。的中点

2

:.DE=-AD,BC=DE,四边形BCQE为平行四边形

2

AB=BC=AE,AE=BC,/BAD=90。,

.•・四边形ABC石为正方形

/.AOA.BE,AC±CD

在翻折过后的锤子数学图形中，BEA.A.O,BEA.CO

而C£>BE,CDLA.O,CDICO,A.O8=0

.,.CO_L平面A"

(2)当平面平面BCL出时，平面AB石平面BCDE=BE

AOu平面A3£，AOkBE,.•.40_1平面3。。石，A]O=^a

1

_BCD£=—■a--^-a=36A/2,/=216=。=6.

32

20.甲、乙两人组成“龙队”代表班级参加学校体育节的足球射门比赛活动，每

轮活动由甲、乙两人各射门一次，在一轮活动中，如果两人都射中，则“龙队”

得3分；如果只有一个人射中，则“龙队”得1分；如果锤子数学两人都没射中,

则“龙队”得0分.已知甲每轮射中的概率是士，乙每轮射中的概率是N；每轮

43

活动中甲、乙射中与否互不影响.各轮结果亦互不影响.

(1)假设“龙队”参加两轮活动，求：“龙队”至少射中3个的概率；

(2)①设“龙队”两轮得分之和为X,求X的分布列；

②设“龙队”〃轮得分之和为X",求X”的期望值.

(参考公式E(x+r)=£x+Ey)

31?，3191A5

解：(1)两轮活动射中3个概率为C；x±x±x±X-+-X-\=—

~43(43312

两轮活动射中4个的概率为士3x4?x±3x±?=L1

43434

二“龙队”至少射中3个概率为尸=9+工=§=2.

124123

（2）①X的所有可能取值为6,4,3,2,1,0

(32?1532111

—X—二一p(X=4)=—，P(X=3)=C*x-x-x-x-=—

(43)122434312

(3121Y25

P(X=2)=—x—H--X—=----

(4334)144

11<312n5

P(X=1)=C；x—x—x—x—H——x—

43(4334)72

(11V1

P(X=O)=-x-

(43J144

・•・X的分布列如下:

X012346

152515]_

P

144五144124

15193

②一轮得分X1的期望为」•xO+2xl+Lx3=/

11212212

・・・〃轮得分和X”的期望E（X„）=—

丫3

21.已知函数/（力=1—

（1）讨论/（X）的单调性；

(2)若对任意xe［0,+oo),-sinx恒成立，求a的锤子数学取值范围.

解：(1)八%)=；%2—。

当aWO时，/r(x)>0,/(%)在R上单调递增

当a〉0时，令,1(%)=0=>%=±j2a

且当％时，/'(无)>0,f(x);当一时，f'(x)<0,/(x)；

当%〉\［2a时，/'(%)>0，f(x).

r3_

(2)-----ar+sin%20在［0,+00)上怛成立

6

/I

令尸(x)=-----ar+sinx,F(x)>F(0),F'(x)=—x2-a+cosx

62

.•.7'(0)之0=l-aN0,a<\(必要性)

下证充分性，当aWl时,F(x)>------%+sin%

6

令g(x)-%+sinx,^'(%)=—%2-1+co