2020-2021学年广东省深圳某中学龙岗初级中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）（附详解）

2020-2021学年广东省深圳中学龙岗初级中学九年级（上）

月考数学试卷（12月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.（）分）

1.如图，在正方形ABCC中，对角线AC,BD相交于点0,点P是BC延长线上一点且BC=

CP,4P交BD于点E,交CD于点H,OP交CD于点F,下歹U结论:①AC=DP；@EF//DP^

@CF=^CD；④若力B=l,贝（］。尸=乎.正确的有（）

A.yB.yC.8D.10

C.8

D.10

4.2020年，受新冠肺炎疫情影响，口罩等医用物资供不应求，某网店二月份口罩销

量为256袋，三、四月份销量持续走高，四月份销量达400袋，则三、四月份这两

个月的月平均增长率是（）

A.10%B.20%C.25%D.30%

5.在平面直角坐标系中，二次函数丫=a/+bx+c（a。0）

的图象如图所示，下列给出的结论：@abc<0；（2）b-

2a=0；③a+6+c<0；④8a+c>0；（5）am2+bm>

a—b.其中正确的结论有（）

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

6.方程/-4x=0的解是()

A.X]=0,x2=4B.X[=0,x2=—4

C.x=4D.x=-4

7.如图，一个由圆柱和长方体组成的几何体水平放置，它的俯视图是O

()八1

A.

B.

8.抛物线y=(x—2>+2的顶点坐标为()

A.(-2,2)B.(2,-2)C.(2,2)D.(-2,-2)

9.下列说法正确的是()

A.顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定是菱形

B.反比例函数y=-5的图象是y随X的增大而增大

C.以原点。为位似中心，将△ABC放大到原来的两倍，若点A的坐标为(2,3),则4的

对应点A'的坐标为(4,6)

D.点C是线段4B的黄金分割点，且4c>BC,AB=200,则4c的长度为100(遥―

1)

10.如图，菱形4BCD中，E,F分别是4。，BD的中点，若EF=5,则菱形4BCD的周

长为()

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A.20B.30C.40D.50

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.小姚的身高为1.6米，他在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一栋教学楼的影长为

15米，则该教学楼的高度为米.

12.如图，面积为6的矩形OABC的顶点B在反比例函数

y=：（%<0）的图象上，则/c=.

13.对于两个非零的实数a,b,定义运算团如下：a团b=例如：304=；-i=

ba4312

若％13y=2,则言的值为______.

人y

14.若2x=3y,且％力0,则要的值为.

15.在中，AB=AC,ABAC=90°,点E是线段4c上一点，过E作EG1BC,

交BC于G,连接BE,点。是BE的中点，连接4D交BC于点凡若AD=2有，BF=3,

贝！JFG=.

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分）

16.在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明

的盒子中.

(1)搅匀后从中随机抽出1支签，抽至打号签的概率是;

(2)搅匀后先从中随机抽出1支签(不放回)，再从余下的2支签中随机抽出1支签，求

抽到的2支签上签号的和为奇数的概率.

18.如图，抛物线丫=(1/+以+<:经过点4(一3,0),8(1,0)和C(0,-3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点P是抛物线上一动点，且在直线4C的下方，连接OP,交AC于点Q,求

款<僵大值；

(3)如图2,点。是抛物线的顶点，点是抛物线在第二象限图象上的点，且

m+n=l,连接DM,BM,你能在线段CM上找到一点N,使得BN平分四边形“BCD

的面积吗？如果能，请算出它的坐标；如果不能，请说明理由.

第4页，共23页

19.(1)解方程：x2-4x-5=0；

(2)计算：2s讥45o-tcm6(T+2cos30。.

20.已知：如图，在四边形ABCD和Rt^EBF中，AB//CD,CD>AB,点C在EB上，

Z.ABC=乙EBF=90°,AB=BE=8cm,BC=BF=6cm,延长DC交EF于点M.点

P从点4出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方

向匀速运动，速度为lcm/s.过点P作GH,48于点H,交CD于点G.设运动时间为

t(s)(0<t<5).

(1)如图1,求MF的长；

(2)如图2,连接PQ,作QNJ.4产于点N,当四边形PQN”为矩形时，求t的值；

（3）如图3,点P在运动过程中，是否存在某一时刻3使点P在乙4FE的平分线上？

若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

21.深圳市龙岗区某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为16元，投放市场进

行了试销.经过调查得到每月销售量y（万个）与销售单价”（元/个）之间关系是一次

函数的关系，部分数据如表：

销售单价%（元/个）20253035

每月销售量y（万个）60504030

（1）求y与x之间的函数关系；

（2）当该公司获得一定利560万元时，公司销售单价应定为多少？

（3）该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定（一件产品的利润率不得高于

50%）,请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最大利润.

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22.如图，一次函数y=x+l的图象交y轴于点4与反比

例函数y=>0)的图象交于点8(m,2).

(1)求反比例函数的表达式；

(2)求AAOB的面积；

(3)直接写出：当x+l>(时，x的取值范围是

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：如图,

■：AD//BP,AD=CP,

二四边形4CP。是平行四边形,

.-.AC=DP,

故①正确，

作OQUCD交CB于Q,

:.—OP=—CQ=—1,

FPCP2

•:AD”BP,

•••△PBE,

tAE_AD_1

EPBP2

tAE_OF

“EP-FP'

・•・EF//AC//DP,

故②正确，

由“//OQ得，

△PFCfPOQ,

.CF_CP_2

,・OQ~PQ~3，

•••OQ=^CD,

：.CF=-CD,

3

③不正确，

在RMPOQ中，OQ=；CD=；,PQ=：,

第8页，共23页

OP=y/OQ2+PQ2="

CF//OQ,

OF_CQ_1

OP~PQ3

.・.O八F「=—Vio

6

故④不正确,

故选：B.

①可证四边形4CP。是平行四边形，②可证爷=黑，从而确定正确，@CF=|CD,

④0F=—

6

本题考查了正方形性质，平行四边形判定和性质，相似三角形判定和性质，勾股定理等

知识，解决问题的关键是注意问题间的关系，层层递进.

2.【答案】D

【解析】解：在RMABC中,Z-C=90°,cosA=

mJC3口63

则一=-，即0一=-

AB5AB5

解得，AB=10,

故选：D.

根据余弦的定义列式计算即可.

本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做乙4的余弦是解

题的关键.

3.【答案】D

【解析】解：AB//CD//EF,

CFDE

"AFBE

口口36

即一=—

5BE

・•・BE=10,

故选：D.

根据平行线分线段成比例定理得到比例式，然后代入已知条件即可得到BE的长.

本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

4.【答案】C

【解析】解：设三、四月份这两个月的月平均增长率为X,

依题意，得：256（1+久产=400,

解得：右=0.25=25%,x2=-2.25（不合题意，舍去）.

答：三、四月份这两个月的月平均增长率是25%.

故选：C.

设三、四月份这两个月的月平均增长率为无，根据二月份及四月份口罩的月销售量，即

可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

5.【答案】A

【解析】解：①由图象可知：a>0,b>0,c<0,abc<0,故①正确；

②,•・对称轴为x=-1,

b,

-----=-],

2a

:.b=2a,

b—2a=0,故②正确；

③由图象可知：当％=1时，y=Q+b+c>0,故③错误；

④v当％>0时，y>0,

・•・x=2时，y=4Q+2b+c>0,

vb=2a,

・・.8Q+C>0,故④正确；

⑤当x=-l时，y的值最小.此时，y=Q-b+c,

而当x=m时，y=am2+bm+c,

所以。机2+bm+C?Q—b+c,B|Jam2+bm>a—b,故⑤正确.

故①②④⑤正确・

故选：A,

由抛物线的开口方向判断。的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称

轴及抛物线与％轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

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本题考查了考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符

号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定.

6.【答案】A

【解析】解：方程分解因式得：x(x-4)=0,

可得x=0或x—4=0,

解得：Xi=0,x2=4,

故选：A.

方程利用因式分解法求出解即可.

此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间是一个圆.

故选：C.

找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中.

本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.

8.【答案】C

【解析】解：•.•抛物线y=(%-2)2+2,

抛物线y=(x-2/+2的顶点坐标为：(2,2),

故选：C.

根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可.

此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出顶点坐标是考查重点同学们应熟练掌

握.

9.【答案】D

【解析】解：4、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定是矩形，

本选项说法错误，不符合题意；

B、反比例函数y=的图象是在每个象限y随x的增大而增大，本选项说法错误，不符

合题意；

C、以原点。为位似中心，将△ABC放大到原来的两倍，若点4的坐标为(2,3),则4的对

应点4的坐标为(4,6)或(-4,-6),本选项说法错误，不符合题意；

。、点C是线段48的黄金分割点，S.AC>BC,AB=200,则AC的长度为200x且■=

2

100(75-1).本选项说法正确，符合题意；

故选：D.

根据菱形和矩形的判定定理、反比例函数的性质、位似变换的性质、黄金分割的概念判

断即可.

本题考查的是菱形和矩形的判定定理、反比例函数的性质、位似变换的性质、黄金分割

的概念，掌握它们的概念和性质是解题的关键.

10.【答案】C

【解析】解：•./，F分别是AC,BD的中点，

••EF是△4BD的中位线，

EF=-AB=5,

2

:.AB=10,

•••四边形ABCD是菱形，

AB=BC=CD=AD=10,

二菱形ABCD的周长=4AB=40；

故选：C.

由三角形中位线定理可求4B=10,由菱形的性质即可求解.

本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，灵活应用三角形中位线性质是解决问题的

关键.

11.【答案】12

【解析】解：根据题意得蟹=”，

152

解得：楼高=12,

故答案为：12.

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根据同一时刻物高与影长成正比列式计算即可.

本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根

据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题.

12.【答案】-6

【解析】解：•.・面积为6的矩形04BC的顶点B在反比例函数y=：(%<0)的图象上，

•••|fc|=6,k=±6,

・••反比例函数y=2<0)的图象经过第二象限，

••・k=—6.

故答案为：—6.

根据反比例函数系数k的儿何意义可得网=6,再根据函数所在的象限确定Z的值.

本题主要考查了反比例函数y=3中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂

线，所得矩形面积为|k|,是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做

此类题一定要正确理解k的几何意义.

13.【答案】1

【解析】解：根据题中的新定义化简得：

yx

通分化简得：爰=2,

喘=P

故答案为：T

已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出所求.

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

14.【答案】|

【解析】解：•・•2x=3y,且xHO,

3

・•・%=/

.x+y_|y+4_5

「y-y-2

故答案为：|.

直接利用比例的性质得出x=|y,进而代入求出答案.

此题主要考查了比例的性质，正确得出％=|y是解题关键.

15.【答案】5

【解析】解：连接4G,将△4CG绕点4逆时针旋转90。得到aABM,连接MG,MF,

・・•EG1BC,Z-BAC=90°,

・•・Z.BAC4-Z.BGE=180°,

・•・点4、B、G、E四点共圆，

・•・Z.GBE=Z-GAEf

又•・•点。是BE的中点，目SB=4C,Z.BAC=90°,

・•・AD=BD,

:.Z-ABE=/.BAD,

・・・^LBAD+Z-GAE=乙ABE+乙GBE=45°,

・•・/.FAG=45°,

由旋转性质可得：/-MAG=90°,AM=AG,MB=CG,Z-MBA=zC=45°,

・•・乙MAF=Z.FAG=45°,乙MBF=90°,

在AMAF和△G/F中，

(AM=AG

UMAF=Z.GAF,

Qf=AF

/.△MAF^^GZF(SAS),

:.MF=FG,

vEG1BC,ZT=45。，

・•・EG=GC=MB,

第14页，共23页

在AMBG和AEGB中,

MB=EG

乙MBG=乙EGB,

BG=GB

**•△MBG三2EGB(SAS),

：.MG=BE=2AD=475.

设CG=x,FG=y,则MB=x,FM=y,

在Rtz\MBG中，x2+(3+y)2=(4V5)2(T),

在Rt△MBF中，x2+32=y2@,

联立①②，解得匕i：七俨2］噂(不合题意，舍去)，仔3：一产(不合题意，舍去

)，匕，二；4(不合题意，舍去)，

综上，FG=5,

故答案为：5.

通过证明点4、B、G、E四点共圆，可得NG8E=NG4E,然后利用等腰直角三角形的性

质可得/凡4G=45。，将AAGC绕点4逆时针旋转90。，通过证明8E=MG,然后结合勾

股定理列方程组求解.

本题考查四点共圆，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋

转的性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键.

16.【答案】解：(1)共有3种可能出现的结果，其中“抽至打号”的有1种,

因此“抽到1号”的概率为

故答案为：*

(2)用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

次

第2^\123

134

235

345

共有6种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4种,

.P—i—£

••卜(夜为奇数)一6一3，

【解析】(1)共有3种可能出现的结果,其中“抽到1号”的有1种，可求出概率;

(2)用列表法表示所有可能出现的结果，找出“和为奇数”的情况，进而求出相应的概

率.

本题考查列表法和树状图求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况，是

正确解答的关键.

17.【答案】(1)证明：•••四边形4BCD是矩形，

■■■AB//CD,

•••Z.DFO=/-BEO,

又因为NDOF=乙BOE,0D=0B,

.-.^DOF=^BOE(ASA),

•••DF—BE,

又因为DF〃BE,

••・四边形BED『是平行四边形；

(2)解：DE=DF,四边形BEDF是平行四边形

••・四边形BEDF是菱形，

DE=BE,EF1BD,0E=OF,

设4E=x,则DE=BE=8-x

在RtzMDE中，根据勾股定理，有4E2+4D2=DE2

•••x2+62=(8—x)2,

解之得：%=：，

4

725

：.DE=8--=-,

44

在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB?+=B£)2

:.BD=V62+82=10-

OD=-2BD=5,

在RtADOE中，根据勾股定理，WDE2-OD2=0E2,

第16页，共23页

【解析】(1)根据矩形的性质得到4B〃CD,由平行线的性质得到乙DF0=4BE0,根据

全等三角形的性质得到OF=BE,于是得到四边形BEDF是平行四边形；

(2)推出四边形BEDF是菱形，得到。E=8E,EFJ.BD,OE=OFf设4E=x,则。E=

BE=8-%根据勾股定理即可得到结论.

本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定

理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.

18.【答案】解：(1)将/(一3,0)，8(1,0)、以0,—3)代入、=。/+加；+小

(9a—3b4-c=0

得a+b+c=0,

c=-3

a=1

解得b=2,

c=-3

Ay=x24-2%—3；

(2)过点P作PG1x轴交AC于点G,

设直线AC的解析式为y=kx+b,

.(-3k+b=0

..U=-3

解瞰二，

・•・y=r_3,

设P(t,±2+2t-3),则G(t,—t—3),

**.PG=-t-3—±2—2t+3=-t?—3t,

•・•PG〃OC,

.PQ_PG

**OQ-OCf

PQ__t2_3t_1,32,3

,•访■一乂t+0+?

•••当”号时，监的最大值为.

(3)存在点N,使得BN平分四边形MBCD的面积，理由如下：

连接0C,

・•・M点在抛物线上，M(?n,n)且m+九=1,

/.1—m=m24-2m—3，

解得M=1(舍)或?n=-4,

由y=%2+2%一3可得顶点为(一1,一4),

设直线MD的直线解析式为

y—krx+瓦,

(―4k]+瓦=5

,••口1+打=-4，

解得废:了,

:.y=—3%—7,

设直线MD与x轴的交点为

F,贝产(一(0),

。

：•BDFL=可1，

S四边形MDCB=S^MBF+S^DOF+^hDoc+^ABOC=5*了*5+5*§*4+5*3*1+

1

-x1x3=16,

2

...8N平分四边形M8CD的面积，

JS&MNB=8,

0110-25

•••S&MBF=2XTX5=T，

・•・N点在F点上方，

AS&MNB=S&MBF—S^BNF，

设N点的纵坐标为九，

8c=-2-5----1x—10h,，

323

Ah=I，

121

【解析】(1)将4-3,0),8(1,0)、。(0,-3)代入丫=。/+以+的即可求函数解析式；

(2)过点P作PG1x轴交AC于点G,求出直线AC的解析式y=-x-3,设P(t,t?+2t-3),

则G(t,—1—3),由PG〃OC,则胎=臆，要求鄢勺最大值，只需求器的最大值即可；

(3)连接0C,先求出M(—4,5),顶点。(一1,一4),直线MD的直线解析式为y=-3x—7,

设直线MD与x轴的交点为F,贝炽一1,0),贝IJS那边用MDCB=SAMBF+SADOF+SADOC+

SABOC=16,再由BN平分四边形MBCD的面积，设N点的纵坐标为九，可得为“相=8=

求出八即可求点N的坐标.

第18页，共23页

本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用平行线的性

质，利用分割法求四边形的面积是解题的关键.

19.【答案】解：(1)V%2-4X-5=0,

・•.(%—5)(%+1)=0,

则％-5=0或1+1=0,

解得％1=5,%2--1；

(2)原式=2Xy-V3+2Xy

=V2—V3+V3

=V2.

【解析】(1)将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于X的一元一次方程，分

别求解即可得出答案；

(2)代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可.

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接

开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解

题的关键.

20.【答案】解：(1)如图1中，在RtAEBF中,乙EBF=9。。,BE=8cm,BF=6cm,

EF=\tBE2+BF2=V82+62=10(cm).

■■AB//CD,

•••△ECM—AEBF,

.CM_CE_EM

"'BF~~BE~~EF'

8-6CMEM

:.----=----=----,

8610

•••CM—|(cm),EM=j(cm),

二FM=EF-EM=10-1=T(cm)；

(2)如图，过点Q作QN1AF于点N,

E

・•.AC=ylAB2+BC2=V82-F62=10cm，EF=10cm,

vsinZ.PAH=sinZ.Ci4F,

BCPH

：・一=—,

ACAP

•6•一=PH—,

102t

PH=*t,

同理可求QN=6—gt,

•・•四边形PQNH是矩形，

：,PH=NQ,

・•・t=3,

即当t=3时，四边形PQNH为矩形;

(3)存在.

理由：如图，连接P凡延长AC交E尸于点K,

vAB=BE=8cm,BC=BF=6cm,AC=EF=10cm,

••△ABCZAEBFISSS),

・•・乙E=Z.CAB,

又•・•/.ACB=乙ECK,

第20页，共23页

・•・/.ABC=乙EKC=90°,

•••SACEM=.CK，

2x16

：・CK=V=±

2

...PF平分Z4FE,PH1AF,PK1EF,

PH=PK,

11=10—2t+1，

■1.t=-2.

••・存在某一时刻3使点P在NAFE的平分线上此时t的值为?

【解析】(1)首先利用勾股定理求出EF,由△ECM-ZkEBF,求出CM,EM的长，可得

结论；

(2)根据sinNP4H=sinNa4B得PH=gt,同理可求QN=6-gt,由四边形PQN”是矩

形，贝iJPH=NQ,即可得出方程解决问题；

(3)延长4C交EF于点K,由AABC三ZkEBF,可证NEKC=