2025届河南省高三新未来九月大联考高三上学期开学数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省2025届高三新未来九月大联考高三上学期开学数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知单位向量的夹角为，则（）A. B. C.0 D.1〖答案〗C〖解析〗由题知，所以.故选：C.2.双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以.故选：C.3.以点为圆心的圆截直线所得的弦长为，则圆的半径为（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知：圆心到直线的距离，所以圆的半径为.故选：D.4.随着暑假的来临，中国各地旅游市场也迎来旺季.小明和小王都计划在南京､北京､西安､厦门､杭州这5个城市中选2个城市去旅游，则小明和小王不会去相同城市的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗两人从5个城市中各选2个城市去旅游共有种选法，若两人不去相同城市，则有种选法，所以小明和小王不会去相同城市的概率为.故选：B.5.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为角的终边经过点，所以，所以，故选：D.6.如图所示是一个无盖瓶子，该瓶子由上部分圆柱和下部分圆台构成，圆柱的底面圆的半径为1，圆台的下底面圆的半径为2，圆柱和圆台的高相等，若该瓶子的侧面积为，则瓶子的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设圆柱和圆台的高为，圆台的母线为，则.瓶子的侧面积，解得.瓶子的体积.故选：A.7.已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以函数的图象关于点对称.故选：C.8.在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，则的最小值为（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗A〖解析〗由题知，由正弦定理得，即，因为，所以，又，所以，得，所以最多有一个是钝角，所以，因为，由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则（）A.B.C.复数是方程的一个根D.复数在复平面内所对应的点位于第二象限〖答案〗BC〖解析〗对A，因为，所以，A错误；对B，，B正确；对C，，因为，所以复数是方程的一个根，C正确；对D，对应点为，位于第一象限，D错误.故选：BC.10.已知函数的最大值为1，则（）A.B.当时，C.D.当时，〖答案〗ACD〖解析〗对A，，当时，f'x>0，当时，f'所以在上单调递增，在单调递减，所以当时取得最大值，解得，A正确；对B，由上可知，在上单调递增，在0,+∞单调递减，因为，所以，B错误；对C，因，所以，所以，C正确；对D，当时，，不等式成立，当时，，记，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在0,1上单调递减，所以当时，取得最大值，综上，当时，不等式成立，D正确.故选：ACD.11.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点且不与轴垂直的直线与抛物线相交于两点，过原点作直线的平行线与抛物线交于另一点，则（）A.B.线段的中点和线段的中点的连线与轴平行C.以点为顶点的四边形可能为等腰梯形D.〖答案〗ABD〖解析〗对A，因为焦点到准线的距离为2，所以，A正确；对B，由题知，直线的斜率存在且不为0，抛物线交点坐标为，设直线的方程为，，则直线的方程为，联立，得，则，联立，得，则，或，则，记线段和线段的中点分别为，则，所以平行于轴，B正确；对C，若点为顶点的四边形为等腰梯形，则，与平行于轴，不垂直于轴矛盾，故C错误；对D，因为，，所以，D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，若，则实数的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，当时，，不满足题意；当时，由解得，依题意有，解得，即实数取值范围为.13.已知函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗因为，fx有且仅有2个零点，则,即.14.如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），若平面，则点的轨迹的长度为__________.〖答案〗〖解析〗由题知，两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，记的中点为，连接，因为为正方形，为中点，所以，且，所以为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，记点的轨迹与交于点，由题知平面，因为是平面内的相交直线，所以平面平面，所以即为点的轨迹，因为，所以，设，则，设为平面的法向量，则，令得，因为，所以，解得，则，又所以，所以.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.已知函数在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）求函数的单调区间和极值.解：（1）的定义域为0,+∞，由题知，，即①，又，所以，即②，联立①②解得.（2）由（1）知，，，当时，f'x<0，当时，f所以的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,+∞，所以当时，取得极小值，无极大值.16.某学校对高三（1）班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，其中且1分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为.（1）求与的样本相关系数；（2）从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间的人数.附：①回归方程中：；②样本相关系数；③若，则；④.解：（1）因为，所以，又，所以，所以.（2）因为，，所以，解得，即，因为，所以，所以数学成绩服从正态分布，因为，所以该校高三学生数学成绩位于区间大约有人.17.如图，在正三棱柱中，.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.（1）证明：记的中点为，连接，因为分别为的中点，为正三棱柱，所以平面，又平面，所以，因为为正三角形，所以，以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，因为，所以，又平面，所以平面.（2）解：因为，所以，所以，由（1）知，是平面的一个法向量，记直线与平面所成角为，则，令，则，当且仅当，即时等号成立，所以，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.18.已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点在椭圆上（点不在坐标轴上），证明：直线与椭圆相切；（3）设点在直线上（点在椭圆外），过点作椭圆的两条切线，切点分别为为坐标原点，若和的面积之和为1，求直线的方程.解：（1）由题知，，解得，所以椭圆的标准方程.（2）因为点在椭圆上，所以，即，联立消去整理得，即，即，显然方程有唯一解，所以直线与椭圆相切.（3）设，将代入，解得，因为点在椭圆外，所以或，所以，由（2）可得，切线的方程分别为，因为点在切线上，所以，所以点在直线，即直线的方程为，联立得，，则，所以记点到直线的距离分别为，则，因为和的面积之和为1，所以，解得，所以的方程为或.19.欧几里得在《几何原本》中证明算术基本定理：任何一个大于1的自然数，可以分解成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么这个乘积形式唯一的.对于任意正整数，记为的所有正因数的个数，为的所有正因数的和.（1）若数列，求数列的前项和；（2）对互不相等的质数，证明：，并求的值.（1）解：由题意可知：的正因数有，则，可得，所以.（2）证明：若为质数，则，因为为质数，可知：的正因数组成的集合为，；的正因数组成的集合为，；的正因数组成的集合为，；的正因数组成的集合为，则，且，所以.因为，则，所以.河南省2025届高三新未来九月大联考高三上学期开学数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知单位向量的夹角为，则（）A. B. C.0 D.1〖答案〗C〖解析〗由题知，所以.故选：C.2.双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以.故选：C.3.以点为圆心的圆截直线所得的弦长为，则圆的半径为（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知：圆心到直线的距离，所以圆的半径为.故选：D.4.随着暑假的来临，中国各地旅游市场也迎来旺季.小明和小王都计划在南京､北京､西安､厦门､杭州这5个城市中选2个城市去旅游，则小明和小王不会去相同城市的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗两人从5个城市中各选2个城市去旅游共有种选法，若两人不去相同城市，则有种选法，所以小明和小王不会去相同城市的概率为.故选：B.5.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为角的终边经过点，所以，所以，故选：D.6.如图所示是一个无盖瓶子，该瓶子由上部分圆柱和下部分圆台构成，圆柱的底面圆的半径为1，圆台的下底面圆的半径为2，圆柱和圆台的高相等，若该瓶子的侧面积为，则瓶子的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设圆柱和圆台的高为，圆台的母线为，则.瓶子的侧面积，解得.瓶子的体积.故选：A.7.已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以函数的图象关于点对称.故选：C.8.在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，则的最小值为（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗A〖解析〗由题知，由正弦定理得，即，因为，所以，又，所以，得，所以最多有一个是钝角，所以，因为，由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则（）A.B.C.复数是方程的一个根D.复数在复平面内所对应的点位于第二象限〖答案〗BC〖解析〗对A，因为，所以，A错误；对B，，B正确；对C，，因为，所以复数是方程的一个根，C正确；对D，对应点为，位于第一象限，D错误.故选：BC.10.已知函数的最大值为1，则（）A.B.当时，C.D.当时，〖答案〗ACD〖解析〗对A，，当时，f'x>0，当时，f'所以在上单调递增，在单调递减，所以当时取得最大值，解得，A正确；对B，由上可知，在上单调递增，在0,+∞单调递减，因为，所以，B错误；对C，因，所以，所以，C正确；对D，当时，，不等式成立，当时，，记，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在0,1上单调递减，所以当时，取得最大值，综上，当时，不等式成立，D正确.故选：ACD.11.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点且不与轴垂直的直线与抛物线相交于两点，过原点作直线的平行线与抛物线交于另一点，则（）A.B.线段的中点和线段的中点的连线与轴平行C.以点为顶点的四边形可能为等腰梯形D.〖答案〗ABD〖解析〗对A，因为焦点到准线的距离为2，所以，A正确；对B，由题知，直线的斜率存在且不为0，抛物线交点坐标为，设直线的方程为，，则直线的方程为，联立，得，则，联立，得，则，或，则，记线段和线段的中点分别为，则，所以平行于轴，B正确；对C，若点为顶点的四边形为等腰梯形，则，与平行于轴，不垂直于轴矛盾，故C错误；对D，因为，，所以，D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，若，则实数的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，当时，，不满足题意；当时，由解得，依题意有，解得，即实数取值范围为.13.已知函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗因为，fx有且仅有2个零点，则,即.14.如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），若平面，则点的轨迹的长度为__________.〖答案〗〖解析〗由题知，两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，记的中点为，连接，因为为正方形，为中点，所以，且，所以为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，记点的轨迹与交于点，由题知平面，因为是平面内的相交直线，所以平面平面，所以即为点的轨迹，因为，所以，设，则，设为平面的法向量，则，令得，因为，所以，解得，则，又所以，所以.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.已知函数在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）求函数的单调区间和极值.解：（1）的定义域为0,+∞，由题知，，即①，又，所以，即②，联立①②解得.（2）由（1）知，，，当时，f'x<0，当时，f所以的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,+∞，所以当时，取得极小值，无极大值.16.某学校对高三（1）班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，其中且1分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为.（1）求与的样本相关系数；（2）从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间的人数.附：①回归方程中：；②样本相关系数；③若，则；④.解：（1）因为，所以，又，所以，所以.（2）因为，，所以，解得，即，因为，所以，所以数学成绩服从正态分布，因为，所以该校高三学生数学成绩位于区间大约有人.17.如图，在正三棱柱中，.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.（1）证明：记的中点为，连接，因为分别为的中点，为正三棱柱，所以平面，又平面，所以，因为为正三角形，所以，以为原点，分别为轴的正方向建