2024届辽宁省名校联盟高考模拟数学试卷（信息卷）（二）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省名校联盟2024届高考模拟卷（信息卷）数学（二）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可得，即，，故.故选：A.2.已知复数满足，则的虚部为（）A.6 B.3 C.6 D.15〖答案〗C〖解析〗设复数，由，得，化简得，则，解得，于是，所以的虚部为6．故选：C.3.在平行四边形中，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，由题意,可知是的中点，所以．故选：C．4.2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为（）A.167 B.168 C.169 D.170〖答案〗A〖解析〗将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，则既是3的倍数，也是4的倍数，故为12的倍数，所以是首项为0，公差为12的等差数列，所以，令，即，且，解得，且，又，所以恰好获得1对春联的人数为167．故选:A.5.设，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，.综上，．故选：B.6.现有含甲在内的5名游客来到江西旅游，分别准备从井冈山、庐山、龙虎山这3个5A级景区中随机选择1个景区游玩.在这5名游客中，甲不去井冈山，但每个景区均有人选择，则这5名游客不同的选择方案种数为（）A.52 B.72 C.76 D.100〖答案〗D〖解析〗若甲1个人一组，则其他两组人数分别为1，3或2，2，则不同的选择方案有种；若甲和另外1个人两人一组，则其他两组人数为1，2，则不同的选择方案有种；若甲和另外2个人三人一组，则其他两组人数为1，1，则不同的选择方案有种；所以共有种选择方案.故选：D.7.已知抛物线的焦点为，过点的的弦中最短的弦长为8，点在上，是线段上靠近点的五等分点，则（为坐标原点）的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为过点的弦中最短的弦长为8，所以，即的方程为．设，由是线段上靠近点的五等分点，得，所以，故，即，不妨设点在第一象限，易知为锐角，当取最大值时，直线的斜率也最大，又，当且仅当，即时取等号，此时，，，，即的最大值为．故选：B．8.若至少存在一条直线与曲线和均相切，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，设公切线与曲线相切于点，与曲线相切于点x2,3-tlnx2则切线方程分别为，，所以由①得，代入②得．令hx则，所以当时，，当时，，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，所以，又当时，，所以的值域为，所以的取值范围是．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗BD〖解析〗对于A项，若，则或与异面，A项错误；对于B项，因为，则，且，可得，又因为，所以，B项正确；对于C项，当时，或或或与相交，C项错误；对于D项，若，则，又，所以，D项正确．故选：BD．10.设函数的定义域为，若，记为在上的2次迭代，为在上的3次迭代，依次类推，为在上的次迭代，即，则（）A.若，则B.若，则C.若，则能被17整除D.若，则〖答案〗AC〖解析〗对于选项A：若，则，所以，故A项正确；对于选项B：由，得，所以，解得或，故B项错误；对于选项C：若，则，所以，所以能被17整除，故C项正确；对于选项D：若，则，，所以是以2为一个周期的迭代函数，所以，故D项错误．故选：AC．11.双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（）A.若直线的斜率存在，则的取值范围为B.当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6C.当时，的面积为12D.当时，〖答案〗ABD〖解析〗如图所示，过点分别作的两条渐近线的平行线，则的斜率分别为和，对于A中，由图可知，当点均在的右支时，或，所以A正确；对于B中，光线由经过点到达点所经过的路程为，所以B正确；对于C中，由，得，即，所以，设，则，因为，所以，整理得，解得或（舍去），所以，，所以的面积，所以C错误；对于D项，在直角中，，所以，所以D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若随机变量，且，则____________．〖答案〗0.1〖解析〗因为，且，则，所以．13.已知圆关于直线对称，圆与轴交于两点，则____________〖答案〗〖解析〗圆0，即，圆心，因为圆关于直线对称，所以，解得，所以圆，圆心，半径，则圆心到轴的距离，所以．14.已知函数满足，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围为____________．（用区间表示）〖答案〗〖解析〗由题意可知的最小正周期，因为，所以直线为图像的一条对称轴，则在直线右侧的零点依次为，若在区间上恰有2个零点，则．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的前项和为，且．（1）证明：是等比数列，并求其通项公式；（2）设，求数列的前100项和．（1）证明：数列中，，当时，，两式相减得，而，解得，所以是首项为2，公比为5的等比数列，通项公式为.（2）解：由（1）知，，所以．16.如图，在三棱柱中，侧面底面，底面三角形是以为斜边的等腰直角三角形，侧面是边长为2的菱形，且．（1）求点到平面的距离；（2）求直线与平面所成角的余弦值．解：（1）取的中点，连接，因为侧面为菱形，且，所以为等边三角形，所以．又平面平面平面，平面平面，所以平面，所以的长即为点到平面的距离，又，故点到平面的距离为．（2）连接，因为，所以，则两两垂直．以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题可知，则．由，得．设平面的法向量为，，则，取，得．设直线与平面所成角为，则，所以，即直线与平面所成角的余弦值为．17.已知函数．（1）求的极值；（2）设，若关于的不等式在区间内有解，求的取值范围．解：（1），令，得．当时，由，得，由，得，故在区间内单调递减，在区间内单调递增，所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值；当时，由，得，由，得，故在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以在处取得极大值，且极大值为，无极小值．综上，当时，的极小值为，无极大值；当时，的极大值为，无极小值．（2）时，等价于，则在区间内有解．令，则，令，则在上单调递增，有，所以在区间内单调递增，即，所以在区间内恒成立，所以在区间内单调递增，即，即，故的取值范围是．18.第十四届全国冬季运动会（简称冬运会）于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区举办，这是历届全国冬运会中规模最大、项目最多、标准最高的一届，也是内蒙古自治区首次承办全国综合性运动会.为迎接这一体育盛会，内蒙古某大学组织大学生举办了一次主题为“喜迎冬运会，当好东道主”的冬运会知识竞赛，该大学的一学院为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表该学院参加该大学的冬运会知识竞赛.（1）初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛大学生最多有7次答题机会，累计答对4道题或答错4道题即终止比赛，答对4道题则进入决赛，答错4道题则被淘汰.已知大学生甲答对每道题的概率均为，且回答各题的结果相互独立；（i）求甲至多回答了5道题就进入决赛的概率；（ii）设甲在初赛中答题的道数为，求的分布列和数学期望.（2）决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出，代表学院参加学校比赛；否则被淘汰已知大学生乙进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为，3道题全答对的概率为，且回答各题的结果相互独立，设他能参加学校比赛的概率为，求的最小值.解：（1）（i）由题可得甲回答了4道题进入决赛的概率为，甲回答了5道题进入决赛的概率为，所以甲至多回答了5道题就进入决赛概率为.（ii）由题可知X的可能取值为4，5，6，7，则，，，，所以X的分布列为X4567P则.（2）设乙答对第3道题的概率为y，则，所以，，则，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.19.设动点到点的距离与它到直线的距离之比为，记点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）为与轴的负半轴的交点，为直线与在第一象限的交点，直线过点，且与相交于两点，过点作垂直于轴的直线分别与直线相交于点，分别记与的面积为与，求证：．（1）解：由已知可得，整理得，即的方程为．（2）证明：由的方程可知，将，可求得，由题意知直线的斜率一定存在，故可设，，联立得，Δ=[8所以．因为，所以直线的方程是，联立，得，即，直线的方程为，联立，得，即，则，又，所以，所以为的中点，所以．辽宁省名校联盟2024届高考模拟卷（信息卷）数学（二）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可得，即，，故.故选：A.2.已知复数满足，则的虚部为（）A.6 B.3 C.6 D.15〖答案〗C〖解析〗设复数，由，得，化简得，则，解得，于是，所以的虚部为6．故选：C.3.在平行四边形中，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，由题意,可知是的中点，所以．故选：C．4.2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为（）A.167 B.168 C.169 D.170〖答案〗A〖解析〗将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，则既是3的倍数，也是4的倍数，故为12的倍数，所以是首项为0，公差为12的等差数列，所以，令，即，且，解得，且，又，所以恰好获得1对春联的人数为167．故选:A.5.设，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，.综上，．故选：B.6.现有含甲在内的5名游客来到江西旅游，分别准备从井冈山、庐山、龙虎山这3个5A级景区中随机选择1个景区游玩.在这5名游客中，甲不去井冈山，但每个景区均有人选择，则这5名游客不同的选择方案种数为（）A.52 B.72 C.76 D.100〖答案〗D〖解析〗若甲1个人一组，则其他两组人数分别为1，3或2，2，则不同的选择方案有种；若甲和另外1个人两人一组，则其他两组人数为1，2，则不同的选择方案有种；若甲和另外2个人三人一组，则其他两组人数为1，1，则不同的选择方案有种；所以共有种选择方案.故选：D.7.已知抛物线的焦点为，过点的的弦中最短的弦长为8，点在上，是线段上靠近点的五等分点，则（为坐标原点）的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为过点的弦中最短的弦长为8，所以，即的方程为．设，由是线段上靠近点的五等分点，得，所以，故，即，不妨设点在第一象限，易知为锐角，当取最大值时，直线的斜率也最大，又，当且仅当，即时取等号，此时，，，，即的最大值为．故选：B．8.若至少存在一条直线与曲线和均相切，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，设公切线与曲线相切于点，与曲线相切于点x2,3-tlnx2则切线方程分别为，，所以由①得，代入②得．令hx则，所以当时，，当时，，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，所以，又当时，，所以的值域为，所以的取值范围是．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗BD〖解析〗对于A项，若，则或与异面，A项错误；对于B项，因为，则，且，可得，又因为，所以，B项正确；对于C项，当时，或或或与相交，C项错误；对于D项，若，则，又，所以，D项正确．故选：BD．10.设函数的定义域为，若，记为在上的2次迭代，为在上的3次迭代，依次类推，为在上的次迭代，即，则（）A.若，则B.若，则C.若，则能被17整除D.若，则〖答案〗AC〖解析〗对于选项A：若，则，所以，故A项正确；对于选项B：由，得，所以，解得或，故B项错误；对于选项C：若，则，所以，所以能被17整除，故C项正确；对于选项D：若，则，，所以是以2为一个周期的迭代函数，所以，故D项错误．故选：AC．11.双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（）A.若直线的斜率存在，则的取值范围为B.当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6C.当时，的面积为12D.当时，〖答案〗ABD〖解析〗如图所示，过点分别作的两条渐近线的平行线，则的斜率分别为和，对于A中，由图可知，当点均在的右支时，或，所以A正确；对于B中，光线由经过点到达点所经过的路程为，所以B正确；对于C中，由，得，即，所以，设，则，因为，所以，整理得，解得或（舍去），所以，，所以的面积，所以C错误；对于D项，在直角中，，所以，所以D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若随机变量，且，则____________．〖答案〗0.1〖解析〗因为，且，则，所以．13.已知圆关于直线对称，圆与轴交于两点，则____________〖答案〗〖解析〗圆0，即，圆心，因为圆关于直线对称，所以，解得，所以圆，圆心，半径，则圆心到轴的距离，所以．14.已知函数满足，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围为____________．（用区间表示）〖答案〗〖解析〗由题意可知的最小正周期，因为，所以直线为图像的一条对称轴，则在直线右侧的零点依次为，若在区间上恰有2个零点，则．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的前项和为，且．（1）证明：是等比数列，并求其通项公式；（2）设，求数列的前100项和．（1）证明：数列中，，当时，，两式相减得，而，解得，所以是首项为2，公比为5的等比数列，通项公式为.（2）解：由（1）知，，所以．16.如图，在三棱柱中，侧面底面，底面三角形是以为斜边的等腰直角三角形，侧面是边长为2的菱形，且．（1）求点到平面的距离；（2）求直线与平面所成角的余弦值．解：（1）取的中点，连接，因为侧面为菱形，且，所以为等边三角形，所以．又平面平面平面，平面平面，所以平面，所以的长即为点到平面的距离，又，故点到平面的距离为．（2）连接，因为，所以，则两两垂直．以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题可知，则．由，得．设平面的法向量为，，则，取，得．设直线与平面所成角为，则，所以，即直线与平面所成角的余弦值为．17.已知函数．（1）求的极值；（2）设，若关于的不等式在区间内有解，求的取值范围．解：（1），令，得．当时，由，得，由，得，故在区间内单调递减，在区间内单调递增，所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值；当时，由，得，由，得，故在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以在处取得极大值，且极大值为，无极小值．综上，当时，的极小值为，无极大值；当时，的极大值为，无极小值．（2）时，等价于，则在区间内有解．令，则，令，则在上单调递增，有，所以在区间内单调递增，即，所以在区间内恒成立，所以在区间内单调递增，即，即，故的取值范围是．18.第十四届全国冬季运动会（简称冬运会）于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区举办，这是历届全国冬运会中规模最大、项目最多、标准最高的一届，也是内蒙古自治区首次承办全国综合性运动会.为迎