2024届海南省高三下学期高考数学全真模拟卷数学试题（八）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1海南省2024届高三下学期高考数学全真模拟卷数学试题（八）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第65百分位数为（）A6 B.7 C.9 D.11〖答案〗C〖解析〗已知一组数据：4，6，7，9，11，13，共6个数，则，所以这组数据的第65百分位数为从小到大排列的第四个数9.故选：C.2.下列方程中表示圆心在直线上，半径为2，且过原点的圆的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为圆心在上，所以设圆心为,因为圆的半径为2，所以设圆的标准方程为,因为该圆过原点，所以，解得,所以圆心为或,当圆心为时，圆的标准方程为，D对;当圆心为时，圆的标准方程为.故选：D.3.已知首项为1的等比数列的前项和为Sn，若，则（）A.24 B.12 C.20 D.15〖答案〗D〖解析〗设等比数列an的公比为，显然，否则，此等式不成立，则，由，整理得，即，因此，所以.故选：D.4.如图所示的沙漏由两个完全相同的圆锥组成，且圆锥的底面半径和高均为2.若沙漏的起始状态为上方圆锥中充满了沙子，下方圆锥中没有沙子，上方圆锥的沙子匀速漏到下方圆锥中，需要54分钟全部漏完，则经过52分钟后，沙漏上方圆锥中沙子的高度为（）A. B.23 C. D.43〖答案〗B〖解析〗因为沙子漏下来的速度是恒定的，上方圆锥的沙子匀速漏到下方圆锥中，则经过52分钟后，漏下来的沙子是全部沙子的，剩余的是全部沙子的，下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，所以可以单独研究下方圆锥，设为下方空白的圆锥的高，为沙漏的高，为下方空白部分的圆锥的体积，为下方沙漏的体积，，可得.故选：B.5.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，故选：A.6.若正数满足，则的最小值为（）A.3 B.6 C.9 D.12〖答案〗C〖解析〗因为为正数，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，所以或（舍去），所以，当且仅当时等号成立.故选：C.7.已知正方体的棱长为2，点为侧面四边形的中心，则四面体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图：四面体的面是直角三角形，为面与的中心，所以面，因为斜边的中点是三角形外心，所以球心在的直线上，面也为直角三角形，分别为与的中点，所以，面，所以面，因为斜边的中点是三角形外心，所以球心在的直线上，故球心为直线与直线的交点，正方体的棱长为2，所以球的半径为，所以四面体的外接球的表面积为：.故选：D.8.在平面直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别为，点是椭圆上异于的点，为平面内一点，且满足，过点作直线的垂线与直线交于点，则（）A.12 B.16 C.24 D.32〖答案〗C〖解析〗设坐标，则，根据题意知，，所以坐标为，直线斜率为，所以直线方程为，直线斜率为，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，所以直线方程为，联立直线方程与方程，求得点坐标为，则，，所以.故选：C.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知复数在复平面内所对应的点分别为，且点均在以坐标原点为圆心.2为半径的圆上，点在第四象限，则（）A.点在第一象限 B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗设，由题意可得，解得或，所以点或，因为点在第四象限，所以，从而可得，所以点在第一象限，故A正确；所以，故B正确；，，所以，所以与不垂直，故C错误；所以，故D错误.故选：AB.10.已知函数，则（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象为中心对称图形C.函数在上单调递增D.关于的方程在上至多有3个解〖答案〗AC〖解析〗当时，，函数在上递增，函数值从增大到1；在上递减，函数值从1减小到；当时，，函数在上递增，函数值从增大到；在上递减，函数值从减小到，函数在的图象，如图：对于A，，结合函数在的图象，得是的最小正周期，A正确；对于B，观察函数在的图象，函数在没有对称中心，又的最小正周期是，则函数的图象不是中心对称图形，B错误；对于C，由函数在上递增，的最小正周期是，得函数在上递增，C正确；对于D，观察函数在的图象，得当时，有4个解，D错误.故选：AC.11.已知函数定义域为R，其图象关于中心对称，若，则（）A. B.C.为奇函数 D.为偶函数〖答案〗ACD〖解析〗A选项，的定义域为R，其图象关于中心对称，故，故，A正确；B选项，由题意得，又，故，令得，即，B错误；C选项，由题意得，即，令，则，所以为奇函数，C正确；D选项，因为，所以，即，故，令，则，故为偶函数，D正确.故选：ACD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知集合，，若，则实数的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗由题可得，当时，，则，不满足条件；当时，，要使，则，当时，，要使，则，综上，实数的取值范围为.13.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为______.〖答案〗〖解析〗抛物线的焦点，设直线l的方程为：，联立方程，消去y得，，设，则，因为，所以，即，得.14.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，，若，则实数的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗由得，得，得，得，得,故或,又为锐角三角形，故，即,，由及正弦定理可得，故，，因，故恒成立，又,又为锐角三角形，故，，故当时取得最大值，故，即实数的取值范围为.四、解答题（本题共5小题、共77分.解题应写出文字说明、证明过程及演算步骤）15.已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上.（1）求双曲线的标准方程；（2）过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求.解：（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得：；又因为点在双曲线上，所以，解得：，所以双曲线的标准方程为：.（2）设，Qx2由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即，联立，消去可得：，所以，，所以.16.如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，.（1）证明：;（2）若直线AB与平面所成角的正弦值为，点为线段BD上一点，求点到平面的距离.（1）证明：因为，，所以，所以,因为为直四棱柱，所以,因为，平面，所以平面，因为，所以平面，因为平面，所以.（2）解：由（1）及题意知，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系因为，.设，所以，所以,设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，设直线AB与平面所成的角为，则，解得，所以，所以点到平面的距离为，因为，所以，因为不在平面，所以平面，因为M在线段上，所以点M到平面的距离等价于点到平面的距离，为，故点M到平面的距离.17.某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱、箱中放有8折、8.5折、9折、9.5折的奖券各3张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取3张奖券，最终餐厅将在结账时按照3张奖券中最优惠的折扣进行结算.（1）求一位顾客抽到的3张奖券的折扣均不相同的概率；（2）若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为，求的分布列及数学期望.解：（1）从12张中任选3张有种方法，取到的折扣均不相同的取法有，所以一位顾客抽到的3张奖券的折扣均不相同的概率；（2）的所有取值为，，，，，所以的分布列为.18.已知函数.（1）若，求函数极值；（2）若曲线y=f(x)与曲线有唯一的交点，求实数的取值范围.解：（1）时，，令解得，所以在区间上单调递减，在区间0,+∞上单调递增，所以的极小值为，无极大值.（2）由分离得，令，令，所以hx在R上单调递减，，所以在区间上，单调递增，在区间0,+∞上，单调递减，，当时，gx=3x+2-要使曲线y=f(x)与曲线有唯一的交点，则的取值范围是.19.定义：已知数列为有穷数列，①对任意（），总存在，使得，则称数列为“乘法封闭数列”；②对任意（），总存在，使得，则称数列为“除法封闭数列”，（1）若，判断数列是否为“乘法封闭数列”.（2）已知递增数列，为“除法封闭数列"，求和.（3）已知数列是以1为首项的递增数列，共有项，，且为“除法封闭数列”，探究：数列是否为等比数列，若是，请给出说明过程；若不是，请写出一个满足条件的数列的通项公式.解：（1）由题意知，数列为：.由，不是数列中的项，故数列不是“乘法封闭数列”；（2）由题意数列递增可知，则，且，又数列为“除法封闭数列”，则都是数列中的项，所以，即①；且，即②，联立①②解得，；（3）数列是等比数列.证明：当时，设数列为，由题意数列递增可知，则有，由数列为“除法封闭数列”，则这个数都是数列中的项，所以有，则有，③；同理由，可得，则有，即④；由③④可得，，故是等比数列.当时，由题意数列递增可知，则有，由数列为“除法封闭数列”，则这个数都是数列中的项.所以有.所以有，即⑤；同理由，可得，所以.则，即⑥，联立⑤⑥得，，则，所以有，所以，故数列是等比数列.综上所述，数列是等比数列.海南省2024届高三下学期高考数学全真模拟卷数学试题（八）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第65百分位数为（）A6 B.7 C.9 D.11〖答案〗C〖解析〗已知一组数据：4，6，7，9，11，13，共6个数，则，所以这组数据的第65百分位数为从小到大排列的第四个数9.故选：C.2.下列方程中表示圆心在直线上，半径为2，且过原点的圆的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为圆心在上，所以设圆心为,因为圆的半径为2，所以设圆的标准方程为,因为该圆过原点，所以，解得,所以圆心为或,当圆心为时，圆的标准方程为，D对;当圆心为时，圆的标准方程为.故选：D.3.已知首项为1的等比数列的前项和为Sn，若，则（）A.24 B.12 C.20 D.15〖答案〗D〖解析〗设等比数列an的公比为，显然，否则，此等式不成立，则，由，整理得，即，因此，所以.故选：D.4.如图所示的沙漏由两个完全相同的圆锥组成，且圆锥的底面半径和高均为2.若沙漏的起始状态为上方圆锥中充满了沙子，下方圆锥中没有沙子，上方圆锥的沙子匀速漏到下方圆锥中，需要54分钟全部漏完，则经过52分钟后，沙漏上方圆锥中沙子的高度为（）A. B.23 C. D.43〖答案〗B〖解析〗因为沙子漏下来的速度是恒定的，上方圆锥的沙子匀速漏到下方圆锥中，则经过52分钟后，漏下来的沙子是全部沙子的，剩余的是全部沙子的，下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，所以可以单独研究下方圆锥，设为下方空白的圆锥的高，为沙漏的高，为下方空白部分的圆锥的体积，为下方沙漏的体积，，可得.故选：B.5.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，故选：A.6.若正数满足，则的最小值为（）A.3 B.6 C.9 D.12〖答案〗C〖解析〗因为为正数，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，所以或（舍去），所以，当且仅当时等号成立.故选：C.7.已知正方体的棱长为2，点为侧面四边形的中心，则四面体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图：四面体的面是直角三角形，为面与的中心，所以面，因为斜边的中点是三角形外心，所以球心在的直线上，面也为直角三角形，分别为与的中点，所以，面，所以面，因为斜边的中点是三角形外心，所以球心在的直线上，故球心为直线与直线的交点，正方体的棱长为2，所以球的半径为，所以四面体的外接球的表面积为：.故选：D.8.在平面直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别为，点是椭圆上异于的点，为平面内一点，且满足，过点作直线的垂线与直线交于点，则（）A.12 B.16 C.24 D.32〖答案〗C〖解析〗设坐标，则，根据题意知，，所以坐标为，直线斜率为，所以直线方程为，直线斜率为，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，所以直线方程为，联立直线方程与方程，求得点坐标为，则，，所以.故选：C.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知复数在复平面内所对应的点分别为，且点均在以坐标原点为圆心.2为半径的圆上，点在第四象限，则（）A.点在第一象限 B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗设，由题意可得，解得或，所以点或，因为点在第四象限，所以，从而可得，所以点在第一象限，故A正确；所以，故B正确；，，所以，所以与不垂直，故C错误；所以，故D错误.故选：AB.10.已知函数，则（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象为中心对称图形C.函数在上单调递增D.关于的方程在上至多有3个解〖答案〗AC〖解析〗当时，，函数在上递增，函数值从增大到1；在上递减，函数值从1减小到；当时，，函数在上递增，函数值从增大到；在上递减，函数值从减小到，函数在的图象，如图：对于A，，结合函数在的图象，得是的最小正周期，A正确；对于B，观察函数在的图象，函数在没有对称中心，又的最小正周期是，则函数的图象不是中心对称图形，B错误；对于C，由函数在上递增，的最小正周期是，得函数在上递增，C正确；对于D，观察函数在的图象，得当时，有4个解，D错误.故选：AC.11.已知函数定义域为R，其图象关于中心对称，若，则（）A. B.C.为奇函数 D.为偶函数〖答案〗ACD〖解析〗A选项，的定义域为R，其图象关于中心对称，故，故，A正确；B选项，由题意得，又，故，令得，即，B错误；C选项，由题意得，即，令，则，所以为奇函数，C正确；D选项，因为，所以，即，故，令，则，故为偶函数，D正确.故选：ACD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知集合，，若，则实数的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗由题可得，当时，，则，不满足条件；当时，，要使，则，当时，，要使，则，综上，实数的取值范围为.13.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为______.〖答案〗〖解析〗抛物线的焦点，设直线l的方程为：，联立方程，消去y得，，设，则，因为，所以，即，得.14.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，，若，则实数的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗由得，得，得，得，得,故或,又为锐角三角形，故，即,，由及正弦定理可得，故，，因，故恒成立，又,又为锐角三角形，故，，故当时取得最大值，故，即实数的取值范围为.四、解答题（本题共5小题、共77分.解题应写出文字说明、证明过程及演算步骤）15.已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上.（1）求双曲线的标准方程；（2）过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求.解：（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得：；又因为点在双曲线上，所以，解得：，所以双曲线的标准方程为：.（2）设，Qx2由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即，联立，消去可得：，所以，，所以.16.如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，.（1）证明：;（2）若直线AB与平面所成角的正弦值为，点为线段BD上一点，求点到平面的距离.（1）证明：因为，，所以，所以,因为为直四棱柱，所以,因为，平面，所以平面，因为，所以平面，因为平面，所以.（2）解：由（1）及题意知，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系因为，.设，所以，所以,设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，设直线AB与平面所成的角为，则，解得，所以，所以点到平面的距离为，因为，所以，因为不在平面，所以平面，因为M在线段上，所以点M到平面的距离等价于点到平面的距离，为，故点M到平面的距离.17.某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱、箱中放有8折、8.5折、9折、9.5折的奖券各3张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取3张奖券，最终餐厅将在结账时按照3张奖券中最优惠的折扣进行结算.（1）求一位顾客抽到的3张奖券的折扣均不相同的概率；（2）若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为，求的分