2024-2025学年广东省佛山市南海区高一上学期开学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省佛山市南海区2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列各式正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗对A：原式，所以A选项错误；对B：原式，所以B选项错误；对C：原式，所以C选项错误；对D：显然，所以原式，所以D选项正确.故选：D.2.如图，已知矩形中，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在矩形中，可得，所以，因为，且，所以，可得，所以，所以.故选：C3.化简，结果是（）A.6x-6 B.-6x+6 C.-4 D.4〖答案〗D〖解析〗∵，∴，∴，∴.故选：D.4.已知，则（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，则，即，则.故选：A.5.因式分解（）A.B.C.D.〖答案〗B〖解析〗由.故选：B.6.若，，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，，.故选：D.7.在中，，则的长为（）A. B.4 C. D.5〖答案〗C〖解析〗根据三角形内角和为，所以可知，则，根据正弦定理可知，代入解之可得.故选：C.8.一种产品今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该产品销售额平均每月的增长率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设销售额平均每月的增长率为，根据题意可得：，解得.故选：A.9.开口方向向上的二次函数的图象与轴相交于两点，则以下结论：①；②对称轴为；③；④.其中正确的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗由题意可知，所以，则，，，，即①③正确.故选：C.10.如图所示，在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图1，过⊙F圆心F作于E，于G，则四边形为正方形，设小圆半径为r，扇形半径为R，则，小圆周长为，扇形弧长为，∵剪下一个扇形和圆恰好围成一个圆锥，，解得，即，，∵正方形铁皮边长为，，，∴；在图2中，，由勾股定理得，圆锥的高.故选：B二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分.11.已知，则________．〖答案〗2或1〖解析〗将左右两边同时除以，可得.得，所以或2.12.如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是__________．〖答案〗〖解析〗，，四边形为的内接四边形，，.13.方程的两根为，且，则____________.〖答案〗-3〖解析〗∵方程的两根为，∴，，由题意得：；，∵，∴，，故.14.不等式：的解为______．〖答案〗或〖解析〗由，得或，解得或，所以不等式的解为或.15.在平面直角坐标系中，圆的圆心为点，半径为2，圆的圆心为点，半径为.若圆和圆有三条公切线，则半径的值为__________.〖答案〗〖解析〗因为圆和圆有三条公切线，所以两圆外切，所以，所以.16.已知，则__________.〖答案〗〖解析〗由配方得，，因，，故必须满足，此时.17.把抛物线向左平移__________个单位，得到抛物线的〖解析〗式为.〖答案〗〖解析〗注意到，与相比较可得向左平移个单位可满足题意.18.已知正整数n满足：则n＝______.〖答案〗6〖解析〗依题意，，解得.19.因式分解：_______.〖答案〗〖解析〗.20.已知实数x，y满足方程组，则____________．〖答案〗13〖解析〗，把代入，可得，，．三、解答题：本题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.21.已知关于的一元二次方程有实数根.（1）求的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为，且，求的值.解：（1）根据题意，，即，解得，所以的取值范围是.（2）由题，，，，，化简得，，解得或3（舍去），.22.已知函数，当时，；当时，.（1）求这个函数的〖解析〗式；（2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象，观察函数图象，写出该函数的一条性质；（3）若关于的方程有4个不同实数根，请直接写出的取值范围.解：（1）由题意可得，解得，，.（2），当时，随着的增大而增大（〖答案〗不唯一）.（3）方程有4个不同实数根，即函数与函数有4个不同的交点，由图象得.23.如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点，弦平分，交于点.（1）证明：平分；（2）证明：.解：（1）由与过点的切线垂直，垂足为点知：，且，则，又为等腰三角形，则，所以，即平分.（2）连接，由弦平分，则，所以，根据已知及圆的性质知，又等腰三角形，则，结合（1）知，所以，则.24.一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，常用符号表示，，第个位置上的数叫做这个数列的第项，常用符号表示.定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个数列，满足①②③：①都是正整数；②；③.（1）写出最小的“漂亮数”；（2）当时，求出所有的“漂亮数”.解：（1）若是“漂亮数”，设，满足，则，所以，即，故，得，则，所以，此时，假设，则，又，所以全部可能取值为，经验证，上述的取值都不等于1，不符合题意.所以，又，故6为“漂亮数”，所以最小的“漂亮数”是6.（2）若，设，满足，则，所以，即，而，所以，即，故，得，即，又，所以，而，故，即.若，则，所以.假设，则，矛盾.故，所以，得.故，则，得，又，所以.又，矛盾，故或.当时，有，得，则，得，即.由，得，分别代入，使得为正整数的有，对应的分别为.当时，有，得，则，得，即.由，得，分别代入，使得为正整数的有，对应的分别为.综上，满足条件的全部为.广东省佛山市南海区2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列各式正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗对A：原式，所以A选项错误；对B：原式，所以B选项错误；对C：原式，所以C选项错误；对D：显然，所以原式，所以D选项正确.故选：D.2.如图，已知矩形中，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在矩形中，可得，所以，因为，且，所以，可得，所以，所以.故选：C3.化简，结果是（）A.6x-6 B.-6x+6 C.-4 D.4〖答案〗D〖解析〗∵，∴，∴，∴.故选：D.4.已知，则（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，则，即，则.故选：A.5.因式分解（）A.B.C.D.〖答案〗B〖解析〗由.故选：B.6.若，，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，，.故选：D.7.在中，，则的长为（）A. B.4 C. D.5〖答案〗C〖解析〗根据三角形内角和为，所以可知，则，根据正弦定理可知，代入解之可得.故选：C.8.一种产品今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该产品销售额平均每月的增长率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设销售额平均每月的增长率为，根据题意可得：，解得.故选：A.9.开口方向向上的二次函数的图象与轴相交于两点，则以下结论：①；②对称轴为；③；④.其中正确的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗由题意可知，所以，则，，，，即①③正确.故选：C.10.如图所示，在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图1，过⊙F圆心F作于E，于G，则四边形为正方形，设小圆半径为r，扇形半径为R，则，小圆周长为，扇形弧长为，∵剪下一个扇形和圆恰好围成一个圆锥，，解得，即，，∵正方形铁皮边长为，，，∴；在图2中，，由勾股定理得，圆锥的高.故选：B二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分.11.已知，则________．〖答案〗2或1〖解析〗将左右两边同时除以，可得.得，所以或2.12.如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是__________．〖答案〗〖解析〗，，四边形为的内接四边形，，.13.方程的两根为，且，则____________.〖答案〗-3〖解析〗∵方程的两根为，∴，，由题意得：；，∵，∴，，故.14.不等式：的解为______．〖答案〗或〖解析〗由，得或，解得或，所以不等式的解为或.15.在平面直角坐标系中，圆的圆心为点，半径为2，圆的圆心为点，半径为.若圆和圆有三条公切线，则半径的值为__________.〖答案〗〖解析〗因为圆和圆有三条公切线，所以两圆外切，所以，所以.16.已知，则__________.〖答案〗〖解析〗由配方得，，因，，故必须满足，此时.17.把抛物线向左平移__________个单位，得到抛物线的〖解析〗式为.〖答案〗〖解析〗注意到，与相比较可得向左平移个单位可满足题意.18.已知正整数n满足：则n＝______.〖答案〗6〖解析〗依题意，，解得.19.因式分解：_______.〖答案〗〖解析〗.20.已知实数x，y满足方程组，则____________．〖答案〗13〖解析〗，把代入，可得，，．三、解答题：本题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.21.已知关于的一元二次方程有实数根.（1）求的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为，且，求的值.解：（1）根据题意，，即，解得，所以的取值范围是.（2）由题，，，，，化简得，，解得或3（舍去），.22.已知函数，当时，；当时，.（1）求这个函数的〖解析〗式；（2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象，观察函数图象，写出该函数的一条性质；（3）若关于的方程有4个不同实数根，请直接写出的取值范围.解：（1）由题意可得，解得，，.（2），当时，随着的增大而增大（〖答案〗不唯一）.（3）方程有4个不同实数根，即函数与函数有4个不同的交点，由图象得.23.如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点，弦平分，交于点.（1）证明：平分；（2）证明：.解：（1）由与过点的切线垂直，垂足为点知：，且，则，又为等腰三角形，则，所以，即平分.（2）连接，由弦平分，则，所以，根据已知及圆的性质知，又等腰三角形，则，结合（1）知，所以，则.24.一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，常用符号表示，，第个位置上的数叫做这个数列的第项，常用符号表示.定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个数列，满足①②③：①都是正整数；②；③.（1）写出最小的“漂亮数”；（2）当时，求出所有的“漂亮数”.解：（1）若是“漂亮数”，设，