人教B版高中数学必修第二册6.1.5向量的线性运算-专项训练【含解析】

人教B版高中数学必修第二册6.1.5向量的线性运算-专项训练【原卷版】1．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是()A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λb2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a3．已知正六边形ABCDEF中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＝()A．eq\o(AF,\s\up7(→)) B．eq\o(BE,\s\up7(→))C．eq\o(CD,\s\up7(→)) D．04．已知平面内一点P及△ABC，若eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，则点P与△ABC的位置关系是()A．点P在线段AB上B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上D．点P在△ABC外部5．已知向量a和b不共线，向量eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋mb，eq\o(BC,\s\up7(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝－3a＋3b，若A，B，C三点共线，则m＝()A．3 B．2C．1 D．－26．(多选)给出下列命题，其中假命题为()A．向量eq\o(AB,\s\up7(→))的长度与向量eq\o(BA,\s\up7(→))的长度相等B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反D．若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同7．(多选)在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法正确的是()A．eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up7(→)) B．eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up7(→))C．eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→)) D．eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(5,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))8．若|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))|＝2，则|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝________．9．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________．10．一条河的两岸平行，河的宽度d＝4km，一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，已知船的速度|v1|＝10km/h，水流速度|v2|＝2km/h，那么行驶航程最短时，所用时间是________h．(附：eq\r(6)≈2．449，精确到0．01)11．(多选)已知A，B，C是同一平面内三个不同的点，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a－b，eq\o(OB,\s\up7(→))＝2a－3b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝3a－5b，则下列结论正确的是()A．eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(AB,\s\up7(→)) B．eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))C．eq\o(AC,\s\up7(→))＝3eq\o(BC,\s\up7(→)) D．A，B，C三点共线12．直线l上有不同的三点A，B，C，O是直线l外一点，对于向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1－cosα)eq\o(OB,\s\up7(→))＋sinαeq\o(OC,\s\up7(→))(α是锐角)总成立，则α＝________．13．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，点E在线段CD上，若eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋μeq\o(AB,\s\up7(→))，则μ的取值范围是________．人教B版高中数学必修第二册6.1.5向量的线性运算-专项训练【解析版】1．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是()A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λb解析：D因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，所以a与b共线同向，故选D．2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a解析：B对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反，故A不正确，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定，故C不正确；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．3．已知正六边形ABCDEF中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＝()A．eq\o(AF,\s\up7(→)) B．eq\o(BE,\s\up7(→))C．eq\o(CD,\s\up7(→)) D．0解析：D如图，连接AD，BE，设AD与BE交于点O，则eq\o(BO,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))，eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\o(EF,\s\up7(→))，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BO,\s\up7(→))＋eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\o(AO,\s\up7(→))＋eq\o(OA,\s\up7(→))＝0．故选D．4．已知平面内一点P及△ABC，若eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，则点P与△ABC的位置关系是()A．点P在线段AB上B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上D．点P在△ABC外部解析：C由eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，得eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))－eq\o(PA,\s\up7(→))，即eq\o(PC,\s\up7(→))＝－2eq\o(PA,\s\up7(→))，故点P在线段AC上．5．已知向量a和b不共线，向量eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋mb，eq\o(BC,\s\up7(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝－3a＋3b，若A，B，C三点共线，则m＝()A．3 B．2C．1 D．－2解析：A因为A，B，D三点共线，所以存在实数λ，使得eq\o(BD,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))，因为eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝2a＋6b，所以2a＋6b＝λa＋mλb，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,6＝mλ，))解得m＝3．故选A．6．(多选)给出下列命题，其中假命题为()A．向量eq\o(AB,\s\up7(→))的长度与向量eq\o(BA,\s\up7(→))的长度相等B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反D．若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同解析：BCD对于A，向量eq\o(AB,\s\up7(→))与向量eq\o(BA,\s\up7(→))，长度相等，方向相反，命题成立；对于B，当a＝0时，不成立；对于C，当a，b之一为零向量时，不成立；对于D，当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同．7．(多选)在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法正确的是()A．eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up7(→)) B．eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up7(→))C．eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→)) D．eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(5,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))解析：AC易证△DEN∽△BAN，又OB＝OD，N是线段OD的中点，∴DE＝eq\f(1,3)AB，∴eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))，∴D说法错误；∵eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))，∴C说法正确；∵eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\o(AO,\s\up7(→))＋eq\o(ON,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\f(1,4)(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))，∴A说法正确，B说法错误．故选A、C．8．若|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))|＝2，则|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝________．解析：因为|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝2eq\r(3)．答案：2eq\r(3)9．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________．解析：∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝μ，,1＝2μ，))解得λ＝μ＝eq\f(1,2)．答案：eq\f(1,2)10．一条河的两岸平行，河的宽度d＝4km，一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，已知船的速度|v1|＝10km/h，水流速度|v2|＝2km/h，那么行驶航程最短时，所用时间是________h．(附：eq\r(6)≈2．449，精确到0．01)解析：要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度v必须垂直于对岸，如图所示，|v|＝eq\r(|v1|2－|v2|2)＝eq\r(96)(km/h)，所以t＝eq\f(d,|v|)＝eq\f(4,\r(96))＝eq\f(\r(6),6)≈0．41(h)．答案：0．4111．(多选)已知A，B，C是同一平面内三个不同的点，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a－b，eq\o(OB,\s\up7(→))＝2a－3b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝3a－5b，则下列结论正确的是()A．eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(AB,\s\up7(→)) B．eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))C．eq\o(AC,\s\up7(→))＝3eq\o(BC,\s\up7(→)) D．A，B，C三点共线解析：ABD由题可得eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝a－2b，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝2a－4b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝a－2b，∴eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(AB,\s\up7(→))，故A正确；eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))，故B正确；eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(BC,\s\up7(→))，故C错误；由eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(AB,\s\up7(→))可得eq\o(AC,\s\up7(→))∥eq\o(AB,\s\up7(→))，A为公共点，故A，B，C三点共线，故D正确．故选A、B、D．12．直线l上有不同的三点A，B，C，O是直线l外一点，对于向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1－cosα)eq\o(OB,\s\up7(→))＋sinαeq\o(OC,\s\up7(→))(α是锐角)总成立，则α＝________．解析：因为直线l上有不同的三点A，B，C，所以存在实数λ，使得eq\o(BA,\s\up7(→))＝λeq\o(BC,\s\up7(→))，所以eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝λ(eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OB