上海市南汇中学2025届高二上数学期末联考试题含解析

上海市南汇中学2025届高二上数学期末联考试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线过点，，则直线的方程为（）A. B.C. D.2．已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.6 B.0.4C.0.3 D.0.23．设双曲线与椭圆：有公共焦点，.若双曲线经过点，设为双曲线与椭圆的一个交点，则的余弦值为（）A. B.C. D.4．过双曲线Ω：(a＞0，b＞0)右焦点F作x轴的垂线，与Ω在第一象限的交点为M，且直线AM的斜率大于2，其中A为Ω的左顶点，则Ω的离心率的取值范围为()A.(1,3) B.(3，＋∞)C.(1,) D.(，＋∞)5．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是（）A. B.C. D.6．“”是“方程表示双曲线”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．已知函数是定义在上奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（）A. B.C. D.8．抛物线的焦点坐标为（）A. B.C. D.9．等差数列的前项和为，若，，则（）A.12 B.18C.21 D.2710．若椭圆上一点到C的两个焦点的距离之和为，则（）A.1 B.3C.6 D.1或311．①直线在轴上的截距为；②直线的倾斜角为；③直线必过定点；④两条平行直线与间的距离为.以上四个命题中正确的命题个数为（）A. B.C. D.12．方程表示的曲线为（）A.抛物线与一条直线 B.上半抛物线（除去顶点）与一条直线C.抛物线与一条射线 D.上半抛物线（除去顶点）与一条射线二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．长方体中，，，已知点H，A，三点共线，且，则点H到平面ABCD的距离为______14．中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，为迎接2022年春节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂______盏灯笼15．已知抛物线C的方程为：，F为抛物线C的焦点，倾斜角为的直线过点F交抛物线C于A、B两点，则线段AB的长为________16．已知曲线与曲线有相同的切线，则________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线：（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为，直线l与曲线C的交点为A，B，求的值18．（12分）圆经过两点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）求圆与圆的公共弦的长.19．（12分）已知动点M到点F（0，）的距离与它到直线的距离相等（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过点P（，－1）作C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求直线AB的方程20．（12分）已知定圆，过的一条动直线与圆相交于、两点，（1）当与定直线垂直时，求出与的交点的坐标，并证明过圆心；（2）当时，求直线的方程21．（12分）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC上的动点，且.（1）求证：；（2）当时，求点A到平面的距离.22．（10分）篮天技校为了了解车床班学生的操作能力，设计了一个考查方案；每个考生从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成零件加工，规定：至少正确加工完成其中个零件方可通过．道备选题中，考生甲有个零件能正确加工完成，个零件不能完成；考生乙每个零件正确完成的概率都是，且每个零件正确加工完成与否互不影响（1）分别求甲、乙两位考生正确加工完成零件数的概率分布列（列出分布列表）；（2）试从甲、乙两位考生正确加工完成零件数的数学期望及两人通过考查的概率分析比较两位考生的操作能力

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.【详解】由直线的两点式方程可得，直线l的方程为，即故选：C2、A【解析】根据正态曲线的对称性即可求得答案.【详解】由题意，正态曲线的对称轴为，则与关于对称轴对称，于是.故选：A.3、A【解析】求出双曲线方程，根据椭圆和双曲线的第一定义求出的长度，从而根据余弦定理求出的余弦值【详解】由题得，双曲线中，所以，双曲线方程为：，假设在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义可得：，解得：，，所以根据余弦定理，故选：A4、B【解析】求点A和M的坐标，进而表示斜率，可得，整理得b2＞2ac＋2a2，从而可解得离心率的范围.【详解】F(c,0)，设M(c，yM)，(yM＞0)代入可解得yM＝，A(－a,0)，由于kAM＞2，即，整理得b2＞2ac＋2a2，又b2＝c2－a2，∴c2－a2＞2ac＋2a2，即c2－2ac－3a2＞0，∴e2－2e－3＞0，e＜－1(舍)或e＞3.答案：B【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.5、B【解析】由条件可得，即可得到答案.【详解】方程表示焦点在y轴上的双曲线所以，即故选：B6、A【解析】方程表示双曲线则，解得，是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A7、A【解析】构造函数，分析该函数的定义域与奇偶性，利用导数分析出函数在上为增函数，从而可知该函数在上为减函数，综合可得出原不等式的解集.【详解】令，则函数的定义域为，且，则函数为偶函数，所以，，当时，，所以，函数在上为增函数，故函数在上为减函数，由等价于或：当时，由可得；当时，由可得.综上所述，不等式的解集为.故选：A.8、C【解析】先把抛物线方程化为标准方程，求出即可求解【详解】由，有，可得，抛物线的焦点坐标为故选：C9、B【解析】根据等差数列的前项和为具有的性质，即成等差数列，由此列出等式，求得答案.【详解】因为为等差数列的前n项和，且，，所以成等差数列，所以，即，解得=18，故选：B.10、B【解析】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案.【详解】若，则由得（舍去）；若，则由得故选：B.11、B【解析】由直线方程的性质依次判断各命题即可得出结果.【详解】对于①，直线，令，则，直线在轴上的截距为-，则①错误；对于②，直线的斜率为，倾斜角为，则②正确；对于③直线，由点斜式方程可知直线必过定点，则③正确；对于④，两条平行直线与间的距离为，则④错误.故选：B.12、B【解析】化简得出或，由此可得出方程表示的曲线.【详解】由可得或，所以，方程表示的曲线为上半抛物线（除去顶点）与一条直线，故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】在长方体中，以点A为原点建立空间直角坐标系，利用已知条件求出点H的坐标作答.【详解】在长方体中，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，因点H，A，三点共线，令，点，则，又，则，解得，所以点到平面ABCD的距离为.故答案为：14、【解析】根据给定条件，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列，利用等比数列前n项和公式计算作答.【详解】依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列，公比，前9项和为1533，于是得，解得，所以内部塔楼的顶层应挂3盏灯笼.故答案为：315、8【解析】根据给定条件求出抛物线C的焦点坐标，准线方程，再求出点A，B的横坐标和即可计算作答.【详解】抛物线C：焦点，准线方程为，依题意，直线l的方程为：，由消去x并整理得：，设，则，于是得，所以线段AB的长为8.故答案为：816、0【解析】设切点分别为，．利用导数的几何意义可得，则．由，，计算可得，进而求得点坐标代入方程即可求得结果.【详解】设切点分别为，由题意可得，则，即因为，，所以，即，解得，所以，则，解得故答案为：0三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】【小问1详解】由,得.两边同乘,即.由,得曲线的直角坐标方程为【小问2详解】将代入,得,设A,B对应的参数分别为则所以.由参数的几何意义得18、（1）（2）【解析】（1）设圆的方程为，代入所过的点后可求，从而可求圆的方程.（2）利用两圆的方程可求公共弦的方程，利用垂径定理可求公共弦的弦长.【小问1详解】设圆的方程为，，，所以圆的方程为；【小问2详解】由圆的方程和圆的方程可得公共弦的方程为：，整理得到：，到公共弦距离为，故公共弦的弦长为：.19、（1）（2）【解析】（1）根据抛物线的定义或者直接列式化简即可求出；（2）方法一：设切线的方程为：，与抛物线方程联立，由即可求出的值，从而得出点的坐标，即可求出直线方程【小问1详解】设M（x，y），则解得．所以该抛物线的方程为【小问2详解】［方法一］：依题意，切线的斜率存在，设切线的方程为：，与抛物线方程联立，得，令，得或．从而或，解得或，所以切点A（－1，），B（2，2），直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，整理得．［方法二］：由可得，所以，设切点为（），则切线的斜率，又切线过点P（，－1），所以，整理得，解得或，所以切点的坐标为A（－1，），B（2，2），所以直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，整理得20、（1），证明见解析；（2）或.【解析】（1）根据题意可设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，可求得的值，再将直线、的方程联立，可得出这两条直线的交点的坐标，将圆心的坐标代入直线的方程可证得结论成立；（2）利用勾股定理可求得圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线方程，利用点到直线的距离公式求出参数的值，即可得出直线的方程.【小问1详解】解：当直线与定直线垂直时，可设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程可得，则，此时，直线的方程为，联立可得，即点，圆心的坐标为，因为，故直线过圆心.【小问2详解】解：设圆心到直线的距离为，则.当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即，由题意可得，解得，此时直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.21、（1）证明见解析（2）【解析】(1)如图，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求出和，再证明即可；(2)利用空间向量的数量积求出平面的法向量，结合求点到面距离的向量法即可得出结果.【小问1详解】证明：如图，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，故，所以；【小问2详解】当时，，，，，则，，，设是平面的法向量，则由，解得，取，得，设点A到平面的距离为，则，所以点A到平面的距离为.22、（1）分布列见解析（2）甲的试验操作能力较强，理由见解析【解析】（1）设考生甲、乙正确加工完成零件的个数分别为、，则的可能取值有、、，的可能取值有、、、，且，计算出两个随机