（人教A版）2021年新高二数学暑假讲义-第七讲 幂函数和二次函数

第七讲幕函数和二次函数

【基础知识】

1.幕函数

⑴备函数的定义

一般地，形如y=Y的函数称为幕函数,其中x是自变量，a为常数.

⑵常见的5种事函数的图象

(3)基函数的性质

①基函数在(0,十8)上都有定义；

②当a>0时，基函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上单调递增;

③当a<0时，曙函数的图象都过点(1,1),且在(0,+8)上单调递减.

2.二次函数

⑴二次函数解析式的三种形式：

一般式：

顶点式：.*x)=a(x—/n)2+〃(aW0),顶点坐标为(〃?，〃).

零点式：./U)=a(x—xi)(x—X2)(aW0),x\,X2为_/U)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

函数y=axL+bx+c(a>0)y=aj2+bx+c(a<0)

图象

(抛物线)

定义域R

Aac-b11(4ac-/

-8.

值域[4a，+叼1'4a」

b

对称轴x=一五

(b_Aac—b1y

顶点「2屋4a)

坐标

奇偶性当8=0时是偶函数，当匕#0时是非奇非偶函数

(bl(-8,%

在上是减函数；在上是增函数；

1,2a」

单调性

V+63,+£

在上是增函数在上是减函数

【考点剖析】

考点一幕函数的图象和性质

【典例1-1】（2021•河南高三月考（文））已知&=3.939,6=3.938,c=3.83-9,J=3.838»则。，b,

c,d的大小关系为（）

A.d<c<b<aB.d<b<c<a

C.b>d>c>aD.b<c<d<a

【答案】B

【详解】

构造函数_/（x）=也，则/（“=匕9，

XX

当xe（e,+oo）时，/,（x）<0,

故在（e,e）上单调递减,

所以/（3.9）</（3.8）,

所以即3.81n3.9<3.91n3.8，

3.93.8

所以In3.9"<In38*9,

所以39s<38”；

因为y=%3-8在（0,+纥）上单调递增，

所以3.8"<3.93,，

同理3.83<3.93,9,

所以3.8相<3.938<3.839<3.93-9，

即d</?<c<a.

【典例1-2】(2020•全国高三专题练习)若/(工)=(1。82根+1)/用为幕函数，则，(3))

【详解】

山题意10g2"2+1=1，

解得ZM=1,

所以/(X)=X2，

所以/(3)=9

故选：C.

【跟踪训练1】(2020•四川眉山市•仁寿一中高三月考(文))己知/-~-(«>1).函数g(x)为幕

函数且过点则函数〃(x)=〃x>g(x)的图象大致为

【答案】A

【详解】

因为函数g(x)为基函数，所以设g(x)=xa,则g]£|=]£|=2,a=-l所以函数g(x)=g.由已知

f(x}=a+1(a>l),/(-x)=-/(x),故f(x)为奇函数，且函数g(x)=L为奇函数，则函数

ax-1x

〃(x)=/(x)-g(x)为偶函数，排除B,D.又X->O时,y(X)->+oo,^(x)->-K)o,〃(%)—+<»,故选

A.

【跟踪训练2】(2021•新疆阿勒泰地区•布尔津县高级中学高三三模(理))已知a=/,/,=3",c=»",

下列说法正确的是()

A.b>a>cB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【详解】

解：••,基函数y=x"在(0,+8)上单调递增，又3<%，

:.3X<乃"，即8<c,

构造f(x)=l^,则/8)=上3,当xe(e,+«)时，rU)<0;

XX

/(X)在(e,+8)上单调递减，

•二3v万,

In3\n7r,…

--->----，U|nJn7In3>3In4，

371

**-In3">In万3,

3”>，即b>。,

综上，c>h>a,

故选：D.

【跟踪训练3】(2021•江西高三其他模拟(文))已知函数>=一以〃+〃一1是惠函数，直线

n4-1

〃比一改+2=0(m>0,〃>0)过点(a,b),则----的取值范围是()

/%+1

儿(一扪朋B.(L3)C.圉D,加

【答案】D

【详解】

由y=-ax"+/?—l是哥函数，知：a=-l,b=l,又(。,6)在皿一〃3+2=0上,

|I4__|

Am+n=2^即〃=2一相＞0,贝U------=--------=----------1且0＜相＜2,

m+1m+\m+1

〃+1e(1,3).

m+1

考点二二次函数的解析式

【典例2-1】(2021.全国高三其他模拟(文))已知/(x)为二次函数，且/(%)=炉+/(力—1,则〃x)=

()

A.—2x+1B.x"4-2x+1

C.2X2-2X+1D.2X2+2X-1

【答案】B

【详解】

设/(x)="2+区+《4w0),则/=(x)=2or+b,

由/(x)=x2+，(力-1可得or2+bx+c=x1+2or+(/?-l),

a=l{a=\

所以，＜h=2a,解得＜。=2,因此，/(x)=x2+2x4-1.

c-b-\[c=l

故选：B.

【典例2・2】(2020•麻城市第二中学高三月考(文))已知二次函数y=ax2+法+1的图象的对称轴是尤=1,

并且通过点P(T,7),则凡。的值分别是()

A.2,4B.-2,4C.2,-4D.—2,—4

【答案】C

【详解】

,**y=ax2+Z?x+1图象的对称轴是x=l,

2a

又图象过点P（T7）,...a—匕+1=7,即a—Z?=6②，

联立①②解得a=2,b=4

故选：C.

【跟踪训练1】（2017.铜梁一中高三月考（文））如果二次函数^=/+云+1的图象的对称轴是x=l,

并且通过点4—1,7）,则（）

A.a=2,b=4B.a=2,b=—4C.a=-2,b=4D.a=—2,b=—4

【答案】B

【详解】

_2=i

由题得｛2a,解之得a=2,b=-4.

7=a-Z?+1

【跟踪训练2】（2020•山东高三专题练习）已知二次函数的图象的顶点坐标为（1,1）,且过点（2,2）,则该二

次函数的解析式为（）

A.y=x2+1B.y=+1

C.y=+1D.y=（%-1）'—1

【答案】C

【详解】

设二次函数的解析式为y=a（x—lp+1,

将（2,2）代入上式，2=a（2—iy+l得a=I,

所以y=（x—l）2+]

【跟踪训练3】（2020•全国高三其他模拟（文））已知二次函数/（0=/+瓜+0,且“X+2）是偶函数,

若满足了（2—。）＞/（4）,则实数。的取值范围是（）

A.（-2,2）B.（―00,—2）U（2,+℃）

C.由〃的范围决定D.由b,c的范围共同决定

【答案】B

【详解】

2)是偶函数，

/(-x+2)=/(x+2),.■.函数/(x)关于x=2对•称，

:.—=2b=-4,/(x)=x--4x+c,

/(2—«)>/(4)=>(2—a)2-4(2-a)+c>c=>a>2或a<-2,

故选：B.

考点三二次函数的图象及应用

【典例3-1】(2020.全国高三其他模拟)函数/@)=以2+瓜+«4。0)和函数g(x)=c.r(x)(其中

【答案】B

【详解】

易知/'(%)=2以+人，则g(x)=2acx+Z?c.

/、(ac>0

由①②中函数g(x)的图象得N<0,

a<0,、b

若c<0,贝叶，c，此时/(O)=c<O,——>0,

b>0'2a

又。<0,所以的图象开口向下，此时①②均不符合要求;

«>0..b

若c>0,则〈八，此时"0=。>0,——>0,

b<Q2a

乂a>0,所以7(x)的图象开口向上，此时②符合要求，①不符合要求；

/、[ac<0

由③④中函数g(x)的图象得Jbc〉0，

a<0.、b

若c>0,则〈八，此时〃0)=c>0,-->0,

0>02a

又。<0,所以/(x)的图象开口向下，此时③符合要求，④不符合要求：

a<Q/、h

若c<0,则，此时/(0)=c<0,>0,

b>Q2a

又a>0,所以/(x)的图象开口向上，此时③④均不符合要求.

综上，②③符合题意，

故选：B.

【典例3-2】(2019•浙江高三专题练习)不等式加—bx+c>0的解集为{2—2<x<l},则函数

y=+Z>x+c的图像大致为()

【答案】C

【详解】

Y不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<1},

-2+1=-

ah=-a

.二v—2x1=—,.*.*c=-2cl

a

八a<0

y=ax2+bx+c=ax2-ax-2a=a(x2-x-2),图象开口向下，两个零点为2,-1.

故选：C.

【跟踪训练1】(2020•六安市城南中学高三月考(文))如果函数/(0=/+笈+。对任意的实数x,都

有〃-1+%)=/(-X),那么()

A./(O)</(2)</(-2)B./(())</(-2)</(2)

C./(2)</(O)</(-2)D./(-2)</(0)</(2)

【答案】B

【详解】

；=+bx+C对任意的实数X,都有/(-l+x)=f(-x),

函数y=/+力x+c的对称轴方程为x=-].

•.•抛物线开口向上，称轴方程为X=-；,%=0距离X=-；最近，x=2距离X=-；最远，

,-./(0)</(-2)</(2).

【跟踪训练2】(2019•江西省信丰中学高三月考(文))已知函数/(x)=(尤一a)(x-。)(其中份的图

象如图所示，则函数g(x)=a'+。的图象是()

【答案】c

【详解】

由函数的图象可知,一1<。<0,a>l,则g(x)=a*+b为增函数,g(0)=l+6>0,g(x)过定点(0,1+b),

故选：C.

【跟踪训练3】(2020•通辽第五中学高三月考(文))已知函数/(x)=In|x|,g(x)=mx2,若方程

/(幻一8。)=0在％6(7,-1]31,小)有四个不同的解，则加的取值范围为()

A.(0,—)B.(—,+co)C.(0,—)D.(―,+°0)

【答案】A

【详解】

因为函数/(%)=也冈，g(x)=g2都是偶函数,

所以方程)(X)—g(X)=0在》«-00,-11[1,”)有四个不同的解，

只需在口,”)上，=Inx,g⑺=荷的图象在两个不同的交点,

〃2<0不合题意,

当机>0时，如2>0,当/(x)=lnx>0nx>l,

即交点横坐标在[1,”)上,

假定两函数的图象在点P(XO,y0)处相切，

即两函数的图象在点P(x0,y0)处有相同的切线,

则有g'(x)=2/叫/'(x)=L则有2m/=上,解得片=，一

x/2m

则有g(%)=*=g,/(xo)=ln/=ln工」，

2m22m

可得，=J_]n」一，则有「一二e,解得加=」-

222m2m2e

因为加越小开口越大，

所以要使得/(x)，g(x)在[1,”)匕恰有两个不同的交点,

则。的取值范围为(0,，

此时，/(x)=lnN，g(x)=/ra?的图象在卜jp+oo)四个不同的交点,

方程/(x)-g(x)=0在X«YO,-1]U[L”)有四个不同的解,

所以。的取值范围是(0,，)

故选：A.

考点四二次函数的性质

【典例3-1】(2021.安徽高三其他模拟(理))定义在xe[0,2]的单调函数/(X)对任意xw[0,l]恒有

/(l-x)+/(l+x)=0,且xe[0,l]时，/(x)=x2-/nr+2/n-l,则实数，"的取值范围是()

A.[0,2]B.(9,0]U[2,+oo)C.(-<x),-2ju[0,+oo)D.R

【答案】B

【详解】

由/(I-X)+f(1+X)=0,可知函数f(x)关于点(1,0)中心对称.

因为对任意的xe[0,2],f(x)是单调函数，所以xw[0,l)时，〃0=%2—皿+2机-1是单调的，而二次

函数开口向上，对称轴为工=—,

2

故当丝21时，即加22,./")在XG[0,1]时是单调递减的，根据对称性可知，函数f(x)在(1,2]上也是单

调递减的，又由/(1)=〃，22>0,知/1(x)在xw[0,2]上是单调递减的；

当令<0,即加<0，〃x)在xe[0,l]时是单调递增的，根据对称性可知，函数/(x)在(1,2]上也是单调

递增的，又由/(l)=〃?W0,知/(x)在xe[0,2]上是单调递增的.

综上可得，实数，”的取值范围是(F,0]U[2,+8).

【典例3-2】(2021.全国高三月考(理))设/(x)=e2-a,g(x)=/〃(x+a)(awR),若不等式

/(g(x))-g(/(x))>0恒成立，则。的取值范围为()

A.[0,1]B.(1,-KO)C.[-U]D.(^0,1]

【答案】B

【详解】

令y=/(g(x))_g(/(x))(x>_a),根据题意得

y=e如("*")—a—=(x+a)2—a-2x=A：2+(2a-2)x+〃2—a>0恒成立，即丫而>0成立，因为函

数y=f+(2a-2)x+a2一。(%>一。)的对称轴为*=1一。>一々，所以函数的最小值

Vmin=(1—。)+(2a—2)(1—a)+a〜一a=a-1>0>解得a>1.

故选：B.

【跟踪训练1】(2021.全国高三专题练习(文))在同一直角坐标系中，指数函数y=,二次函数

=。工一法的图象可能是(

y2)

【答案】B

【详解】

指数函数丁=图象位于X轴上方，据此可区分两函数图象.二次函数丁=融2一"=（姓一切工，有零

X,

点2,0.A,B选项中，指数函数yI在R上单调递增，故2>1,故A错误、B正确.C,D选项

a।a

中，指数函数y=在R上单调递减，故0<2<1,故c,D错误.

）a

故选：B

2x2-8ax+5(x<1)

【跟踪训练2】（2021•山西运城市♦高三其他模拟（理））函数/（%）=<,"在xwR内单

log“x(x>1)

调递减，则a的取值范围是（）

£7

A.B.C.D.

°4p12,8

【答案】C

【详解】

2x2—8ax+5(x<1)

解:因为函数y（x）=<在xeR内单调递减,

logux(x>l)

-^>1

417

所以《，解得

loga1W2-8。+5

17

所以〃的取值范围为

2o

故选：C

【跟踪训练3】(2021•陕西安康市•高三月考(理))已知函数/(x)=一_3加，则“机>2”是"/(X)<0

对XG[1,3]恒成立”的()

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】

/(l)=2-4m<0,

若/(x)<0对xe[l,3]恒成立，则</⑶=18-6，〃<。解得机>3,

｛m\m>3｝是｛m\m>2｝的真子集，所以“加>2”是“/(x)<0对xe[1,3]恒成立”的必要不充分条件.

【真题演练】

1.(2021•浙江杭州市•杭州高级中学高三其他模拟)已知函数，(x)=(x-a)(x-加+X,其中

则下列不等式不成立的是()

A.—B.f(4ab)>4abC./^―<^

【答案】B

【详解】

f(a)=a,f(b)=b,且函数/(x)是开口向上的抛物线,

如图,

•：Q<a<b<\,:.Q<a<y[ab<Z?<1，且

呼是点C对应的函数值，一定大于f(&万),即/(方)<等，故A正确；

设g(x)=/(x)-x=(x-a)(x-。),

­：G<a<b<\,:.Q<a<y[ab<Z?<1»

/.g(y[ab^=f^\/ah^-yfah<0

即/(J拓)<J茄，即B不正确.

/(x)=(x-a)(x-Z?)+x=x2一(a+h-l)x+",

«cib—\

对称轴是x=------，

2

空2与对称轴间的距离是!，a与对称轴间的距离是"一"+1<),8与对称轴间的距离是

2222

b—a+11

-------〉一，

2--2

那么比较/(审]与/(a),的大小，即比较与自变量与对称轴间的距离，离对称轴越远，函数值

越大，即=</(0)=人，故CD正确.

2.(2021•浙江杭州市•杭十四中高三其他模拟)已知二次函数/(x)=d+依+。(4力€/?)有两个不同的

零点，若/(Y+Zx-1)=0有四个不同的根〈天〈%,且玉,工2，马,匕成等差数列，则G—力不可能是

()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【详解】

设/(%)=%2+ox+/?(4bw/?)的两个不同零点为机,n,且

m+n=-a

所以/(m)=/5)=。，△=。2一4/?>0，且《,

mn=b

又因为/(d+2x—1)=0有四个不同的根，

所以了2+2%—1=相对应的根为工|,工4，f+2x—1=〃对应的根为％2，马，

△=4+4(1+M>0Q=4+4(1+〃)>0

所以<玉+尢4=-2,<工2+工3=-2,

xx

XjX4=-l-m[23=一]一〃

所以(工4一工1)2=xj+X;一2工4%1=(工4+%)2-4工4尢]=4+4(1+机),

=X--

同理(入3_12)2^+/22X3X2=(X3+九2>4%3^2=4+4(1+71),

因为工］,々，工3，七成等差数列，

2

所以％—玉=3(X3-X2),则(%—%)2=9(X3-X2)

所以4+4(1+加)=9[4+4(1+〃)],解得〃2=16+9〃，

因为〃?>〃，所以〃2=16+9〃>〃，解得〃>一2,

、2

所以。一6=—(根+〃)一根〃=-(16+10〃)一(16+9〃)〃=-9〃2-26〃-16=-9(n+—25

H-----，

I9

79

1325

所以当〃=一，时，G-方有最大值上,

99

所以。一力不可能为3.

故选：D

“：<］，则实数。的取值范围为（)

、

A.B.(0,1)C.(1,+?)D.

7

【答案】A

【详解】

山得a>l或

由?<1,得”>0.

⑷

由a；<1，得0<。<1，

1<IY11

当log〃一<1,-<1,同时成立时，取交集得0<。<一,

故选：A.

•吉林高三其他模拟（理））设

4.（2019（1T，b=（1，则也b、c的大小关系为（

2j

A.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】D

【详解】

i

因为a=

15

30

，b=

156255904932768

由于在被开方数中，〃的被开方数大于c的被开方数，。的被开方数大于匕的被开方数，

故有a>c>b<

故选：D.

5.(2021.上海市青浦高级中学高三其他模拟)已知a©{-2,-I,-1,2,3},若基函数/(x)

22

=x0为奇函数，且在(0,+oo)上递减，则a=.

【答案】-1

【详解】

因为幕函数/(x)=/为奇函数，且在(0,+<x>)上单调递减，

所以a为负数，

因为ae]—2,—1,——,1,—,2,3,4>,

所以a=-l

【过关检测】

1.已知实数x、0,yN0,且x+y=l,则手的最小值为(

Vs—1V5+1

22

【答案】A

【详解】

解法一：由x+y=l得到y=l-则xe[0,l],

所以x+yjx2+4(l-x)2-x+-s/5%2—8%+4»

令z=%+)5%2-8x+4则z>0，

所以两边平方得4尤2+(2z-8)x+4-z?=0在xe[0,1]上有解,

,,8

所以A=(2z—8)2—16(4—z2)N0解得：zN—或zWO(舍去)，

8【I।知，/、A22436

z=g时，函数f(x)=4x--—x+—,

其中/a)的对称轴为无=(,/(3=o,满足在[01]上有零点，满足题意,

________Q

所以X+Jf+4y2的最小值1

解法二：设y'=2y,则%+上=1,

2

如图,作O关于直线x+上=1的对称点M

2

y1

x284

设A/(x,y),因为《解得何

xyi5'5

—+—=1

[24

------------O

如图所以x++「2=|P”|+1p。|=|PH\+\PM|>|MN1=|

故选：A.

/_]x<1

2.已知函数/(x)=<75".若都有/(x,)x/(w)，则实数。的取值

2x-ax+a,x>\

范围是()

A.(0,1)B.(1,3]C.[3,4]D.(1,4]

【答案】B

【详解】

a>\

依题意可知，函数/(幻在K上是增函数，则,=41，解得Iva?3.

4

a—1W2

3.设a>(),b>0,若/+2。=/?2+3/,,则()

A.a<bB.a>bC.2a-3bD.3a<4〃

【答案】B

【详解】

因为。>(),所以a2+3a>a2+2a=b2+38,所以/+3。>〃+3)，

因为函数/(x)=f+3x,在(0,+8)上单调递增，且所以a>>

故选:B

4.已知=-2x,对任意的尤|,々€[0,3].方程|/(%)-/(与)|+|/(》)一/(工2)=加在[°，3]上

有解，则的取值范围是()

A.[0,3]B.[0,4]C.{3}D.{4}

【答案】D

【详解】

2

v/(x)=(x-l)-l,X€[0,3],则/(X)min=-1，/Wmax=3.

要对任意的X1,e[0,3],方程|/(%)-/(%)|+|/(力一/(%2)|=〃?在[0,3]上都有解，

取/(%)=-1,/(工2)=3，

此时，任意xe[0,3],都有加=|/(X)-/(XJ|+|/(X)-/(X2)|=4,

其他用的取值，方程均无解，则加的取值范围是{4}.

故选：D.

5.已知。，〃是区间[0,4]上的任意实数，则函数/瓮)=以2一区+i在[2,+oo)上单调递增的概率为()

137

A.-B.—C.-D.一

8888

【答案】D

【详解】

因为。，。是区间[0,4]上的任意实数，则函数/。)=依2-法+1在[2,+oo)上单调递增

h

所以一<24a如图所示阴影部分：

2a

则所要求的概率为D2147

4x4-16-8

故选：D

6.已知x,yGR,且x>y,则下列说法是正确的是()

1111

A.-<—B.sinx>smyC.2V3V<2V3'VD.p3

xy*7v

【答案】C

【详解】

,11

选项A：当x=3,y=-l时，一>一,所以选项A错误；

xy

JlJI

选项3：当》=万，>=5时，sinx=sin万=0，siny=sin—=1,所以sinxvsiny,选项8错误;

选项C：因为y=(1)为减函数，又因为x>y,所以<(|)，

2X2y

即上<£-,所以2*3>'<2>3"所以选项C正确；

3v3y

i।।।

选项。：当时，「所以—所以选项。错误.

x=8,y=-l=2,9