人教版八年级上册期末数学质量检测试卷解析(一)

人教版八年级上册期末数学质量检测试卷解析（一）

一、选择题

1.许多数学符号蕴含着对称美，在下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形

的符号是（）

ASBXC工D:.

2.据报道，可见光的平均波长约为580纳米，已知1纳米=0.000000001米，则580纳米

用科学记数法表示为（）

A.58x106米B.0.58x108米C.5.8x108米D.5.8x107*

3.若x+y=2,号=15,则(x-2)(y-2)的值是()

A.11B.14C.15D.18

4.有这样一道题“先化简岛-口后，再从乜

-1,0,1四个数中选择一个你认

为合适的数作为x的值代入求值.”这道题中工应取的值为（）

A.-2B.-1C.0D.1

5.下列等式从左到右的变形是因式分解的是()

A.x2-x+l=x(x-1)+1

B.⑵+3)⑵-3y)=4/-尔

C.x2+y2=(x+y)2-2xy

D.x2+6x+9=(x+3)2

6.下列等式中，正确的是()

.aa+\a2aaa2

A.-=------B.-=—C.—=——

bb+\b2bbb~

0.1。一0.3匕a-3b

D.--------------=---------

0.2a+h2a+b

7.如图，能用ASA来判断需要添加的条件是（）

A.ZAEB=^ADC,AC=ABB.ZAEB=^ADC,CD=BE

C.AC=AB,AD=AED.AC=ABfNC=NB

8.已知关于x的分式方程一々+p-=：的解为正数，关于y的不等式组

x-33-x2

y―12;7—2y

2,恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数。的利是（）

2y-\>a-2y

A.1B.3C.4D.6

9.如图，在AA8C中，ZC=90°,ZB=22.5°,AB的垂直平分线交4B于点。，交BC

于点E.若CE=3,则BE的长是（）

10.如图，ZkABC中，点。在BC上，ZACB=75°,ZBAC=ZADC=60°,AE1BC于

E,CFIAD^F,AE.CF相交于点G.DC=m,AF=n,则线段EG的长为（）

二、填空题

11.若分式」的值为零，则X的值为______.

1-X

12.点2（2,-3）关于x轴对称点的坐标为.

13.已知两个非零实数m。满足/+〃=。+3,从+b=a+3,则代数式2+1的值为

ab

/、2O22

14.计算：l|jx（-0.6严=.

15.如图，在AABC中，AB=7an,BC=5cm,AC的垂直平分线分别交AA,AC于点

D,E,点F是。E上的任意一点，则MB周长的最小值是cm.

16.已知关于x的二次三项式/+履+9是完全平方式，则常数2的值为.

17.对于有理数a,b,定义：min{a,勿：当a之匕时，min{a,b}=/?；当力时，

min{a,b}=a.若疝11{13,-6机+4〃一加2-〃2}=13,则征的值为.

18.如图，已知四边形48co中，A8=12cm,BC=10cm,CD=14cm,ZB=ZC,点、E

为AB的中点.如果点尸在线段BC上以2cm/s的速度沿8-C运动，同时，点。在线段

CD上由C点向。点运动.当点。的运动速度为cm/s时，能哆使aBPE与ACOP

全等.

三、解答题

19.因式分解:

⑴力-小

(2)(x+2)(x+4)+/-4

20.解方程：

21.如图：点8,E,C,尸在一条直线上，FB=CE,AB//ED,AC//DF.求证：AB=DE,

AC=DF.

/、、CE

BFX7

22.概念认识：如图①，在中，若乙铝D=ZDBE=NEBC,则80，跖叫做

ZA8C的“三分线”.其中，80是"邻出三分线"，跖是"邻8C三分线

图①图②图。

⑴问题解决：如图②，在-ABC中，ZA=70°,ZABC=45°,若NABC的邻84三分线

E

E

DC

图2

26.阅读理解题：

定义：如果一个数的平方等于-1,记为户=-1,这个数，叫做虚数单位，把形如叶切

(。，b为实数)的数叫做好数，其中。叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的

加、减、乘、除运算与代数式的运算类似.

例如：计算：(2-力+(5+3/)=(2+5)+(-1+3)/=7+2/；

(1+/)x(2-/)=1x2-/+2x/-产=2+(-1+2)/+1=3+/;

根据以上信息，完成下列问题：

(1)填空：i3=_,i4=_,iW+产+...+i202i=_；

(2)计算：(l+j)x(3-4j)-(-2+3/)(-2-3/)；

75i______i___________

(3)已知a+b/=J(a,b为实数)，求+"+一工尸+从的最小值.

4-3/v

【参考答案】

一、选择题

2.B

解析：B

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.轴对称图形的关键是寻找对称轴，

图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180。后与原图重

合.

【详解】解：A.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B.是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对

称图形的概念.

3.D

解析:D

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axl(T”，与较大数

的科学记数法不同的是其所使用的是负指数累，〃的值由原数左边起第一个不为零的数字

前面的。的个数所决定.

【详解】解:580纳米=580x0.000000001米

=580x10-9米

=5.8x10-7米.

故选：D.

【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为axl（T，其中1引a|V10,

的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

4.C

解析：C

【分析】根据多项式乘多项式进行化简，然后再代值求解即可.

【详解】解：（工一2）（丁一2）二个一2（工+p）+4,

Vx+j=2,个=15,

工原式=15-2x2+4=15.

故选：C.

【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的化简求值，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关

键.

5.A

解析：A

【分析】根据分式有意义的条件，即可求解.

【详解】解：根据题意得：工+1/0』一1/0»工0,

・・・x不能取・1，0,1,

应取2

故选：A

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键.

6.D

解析:D

【分析】根据因式分解的定义，口1可求解.

【详解】解：A、等式从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；

B、等式从左到右的变形是整式乘法，故本选项不符合题意；

C、等式从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；

D、等式从左到右的变形是因式分解，故本选项符合题意；

故选:D

【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握把一个多项式变形为几个整式乘积的

形式的过程叫做因式分解是集体的关键.

7.B

解析：B

【分析】根据分式的基本性质逐一进行判断即可.

【详解】解：选项A：:工空，故选项A错误；

hb+l

选项&产治,选项B正确;

aaba1

选项C：故选项C错误;

O.la-O.3/>_a-3ba-3b

选项D：0.2a+力-2。+10力,勿+〃故选项D错误;

故选：B.

【点睛】本题考查了分式的基本性质，属于基础题，计算过程中细心即可.

8.D

解析：D

【分析】根据全等三角形的判定定理可进行排除选项.

【详解】解：由图形可知：NA=NA,则有：

当添加NAE8=NAOC,AC=AB,满足"A4S"判定△ACQgZSABE,故A选项不符合题意;

当添加NAE8=NAOC,CD=BE,满足"A4S"判定"COg/XABE,故B选项不符合题

意；

当添力口AC=A8,AD=AE,满足"S4S"判定"CO丝△”£：,故C选项不符合题意；

当添力口4C=A8,ZC=ZB,满足"ASA”判定△ACOgAABE,故D选项符合题意；

故选D.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的

关键.

9.C

解析：C

【分析】根据分式方程解的情况，求得。的范围，解不等式组确定”的范围，进而求得。的

整数解，求和即可求解.

【详解】解：二+3=]

x-33-x2

去分母得,2a-4=x-3,

解得x—2，一1,

%=3时，方程产生增根,

・•.xr3,即勿一1/3

4H2,

.■2a-\>0

a>且〃工2,

2

[旦2<卫①

・22

2y-l>a-2y®

解不等式①得：y<4,

解不等式②得：y之竽，

4

不等式组有解，

・•・不等式组的解集为：竽4y<4,

恰好有三个整数解，

0<<1,

4

解得

又a>—且。W2,

2

且a#2,

2

..整数。为L3,其和为1+3=4,

故选C.

【点睛】本题考查了解分式方程，一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键.

10.D

解析：D

【分析】利用线段的垂直平分线的性质，三角形外角的性质及等腰直角三角形的性质计

算.

【详解】解：已知NC=90°,NB=22.5°,DE垂直平分AB,

：・AE=BE,

故NB=NE45=22.5。，

所以NAEC=45。，

又・・・NC=90°,

•••△ACE为等腰三角形，

所以CE=AC=3,

故可得AE=38.

故选：D.

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点

的距离相等），三角形外角的性质及等腰直角三角形的性质，掌握垂直平分线的性质是解

题的关键.

11.A

解析：A

【分析】利用A4S证明AA产G且可得CF的长，再根据30°角的直角三角形的性质可

求得FG的长，进而求出CG的长，再利用30。角所对的直角边等于斜边的一半可求解.

【详解】解：・・・NAC8=75。，N6AC=60。，

AZABC=1800-NACB-N8AC=45"

,:ZADC=60°,

:.NA£>8=120。，

/.ZDAC=ZADB-ZACB=12Qt-75°=45°,

又・・・CFJ_A。，

/.ZAFC=ZCFD=90\NAC尸=NOAC=45°,

:.AF=CF,

VCF1AD,AElBCf

：.NCDF+NDCF=ZCGE+ZDCF=90°,

：.ZCDF=ZCGE,

又V4CGE=ZAGF,

:./AGF=/CDF,

;在尸G和ACFO中，

NAFC=NCFD,2AGF=4CDF,AF=CFf

:.AAFG会&CFD(AAS),

.\CF=AF=n,

在MACTT)中，ZCFD=90°,ZFCD=30°,

:.DF=^-CD=

22

,FG=DF=2m.

2

:.CG=CF-FG=n—zn,

2

在RQCGE中，ZA£C=90%NFCD=30。,

.\EG=^-CG=-n--m.

224

故选：A.

【点睛】此题考查学生掌握三角形全等的证明方法，灵活运用直角三角形30。角所对的直

角边等于斜边的一半化简求值，是一道综合题.

二、填空题

12.x=-l

【分析】根据分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零，

即可得到答案.

【详解】解；根据分式的值为零的条件得：^-1=0,且1-XH0,

解得：x=T,

故答案为：x=-l.

【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值

为零.

13.(2,3)

【分析】关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而点P(2,

-3)关于x轴对称的点的坐标是(2,3).

【详解】解：•・•点P的坐标为(2,-3),

・••点P关于K轴的对称点的坐标是(2,3).

故答案为：(2,3).

【点睛】此题主要考查了关于x轲对称点的性质，正确掌握关于x轴对称点的性质是解题

关键.

14.2或-6

【分析】利用/+a=b+3,〃+b=a+3得出/+/=6,且。+6=-2或。-。=0,分情

况讨论即可求解.

【详解】解：由题意"双

b'+b=a+3®

①+②得：a2+a+b2+b=b+3+a+3,

整理得：/+从=6,

①-②得：/+。—(从+b)=b+3-(a+3),

整理得：(a+b)(a-b)=-2(a-h)f

。+力=-2或a-b=O.

当a-b=O时，a=b,

当a+Z?=_2时，a力二;[(a+6)2-(a2+Z/)]=gx(4_6)=_l,

.bab2+a26

.•一+-=-----=--

abab

综上，代数式2+f的值为2或-6.

故答案为：2或-6.

【点睛】本题考查求代数式的值、分式的运算，利用到了平方式差公式及完全平方公式,

解题的关键是掌握完全平方公式及其变形、分式的运算法则，注意分类讨论，避免漏解.

【分析】利用同底数辕的逆运算与积的乘方的逆运算把原式化为||，再计

算，从而可得答案.

।详解】解:就"⑹明鸿飞.！广

争II厂争广等

故答案为：

【点睛】本题考查的是同底数塞的乘法与积的乘方的逆运算，掌握“塞的运算法则与其逆运

算的法则”是解本题的关键.

16.12

【分析】当点于重合时，的周长最小，根据垂直平分线的性质，即可求出的周

长.

【详解】「DE垂直平分AC,.•.点C与A关于DE对称，

当点于重合时，即A、D、B三点在一条直线上时，BF+CF

解析：12

【分析】当尸点于。重合时，MCF的周长最小，根据垂直平分线的性质，即可求出MB

的周长.

【详解】•・・£>E垂直平分AC,・••点。与4关于。E对称，

・••当斤点于。重合时，即A、D.B三点在一条直线上时，8外。尸=4B最小，(如图)，

/.AZJCr的周长为：』CF=BD+CD+BC,

•・•DE是垂直平分线，

・•・AD=CD,

又AB-1cm,

:.BD+AD=BD+CD=7cm,

/.%CF=7+5=12cm,

故答案为：12.

【点睛】本题考查最短路径问题以及线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两

端的距离相等，熟练掌握最短路径的求解方法以及垂直平分线的性质是解题的关键.

17.±6

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可.

【详解】解：:关于x的二次三项式是完全平方式，

则常数k的值为±6.

故答案为：±6.

【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握

解析：±6

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可.

【详解】解：•.•关于x的二次三项式W+"+9是完全平方式，

AX2+6X+9=(X+3)2；x2-6x+9=(x-3)2,

则常数k的值为±6.

故答案为：士6.

【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

18.9

【分析】根据新定义可得：・6m+4n-m2・n2N13,通过整理配方可得：(m+3)2+

(n-2)2<0,利用非负性的性质可判断出m+3=0,n-2=0,从而求值.

【详解】解：:min{l

解析：9

【分析】根据新定义可得：・6加+4〃加2力213,通过整理配方可得:(m+3)2+(n-2)2<0,

利用非负性的性质可判断出〃计3=0,〃-2=0,从而求值.

【详解】解：Vmin(13»-6m+4n-m2-n2}=13,

/.-6m+4n-m2-n2^13,

:.(m+3)2+(n-2)2<0,

.*.m+3=0,n-2=0,

.*./n=-3,n=2,

：.mn=(-3)2=9.

故答案为：9

【点睛】本题考查新定义，配方法应用，非负性性质，解题关键是将不等式进行配方.

19.2或

【分析】设运动时间为t秒，点Q的运动速度是vcm/s,则BP=2tcm,CQ=vt

cm,CP=(10-2t)cm,求出BE=6cm,根据全等三角形的判定得出当BE二CP,

BP=CQ或BE

1?

解析：2或w

【分析】设运动时间为，秒，点。的运动速度是vcm/s,则BP=2/cm,C<2=v/cm,CP-

(10-2/)cm,求出3及6cm,根据全等三角形的判定得出当8代CP,8P=C。或3代CQ,

8P=CP时，"BPE与以C、P、。三点所构成的三角形全等，再代入求出f、y即可.

【详解】设运动时间为，秒，点。的运动速度是ucm/s,贝i]8P=2/cm,CQ=vtcm,CP=

(102)cm,

IE为AB的中点,AB=12cm,

BE=AE=6cra,

二要使ABPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等，必须BE=CP,BP=CQ或BE=CQ,

BP=CP,

当BE=CP,BP=C。时，6=102,2E,

解得：r=2,v=2,即点。的运动速度是2cm/s,

当BE=CQ,BP=CP时，6=vtt2t=lQ-2tt

解得：=彳5，y=—12,即点。的运动速度是^12cm/s,

NDD

故答案为2或912

【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关

键，注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,两直角三角形全等还有HL

等.

三、解答题

20.⑴xy(x+y)(x-y)

(2)2(x+2)(x+1)

【分析】(1)先提公因式，再根据平方差公式因式分解即可求解；

(2)先根据平方公式因式分解，然后提公因式，即可求解.

⑴

解析：⑴孙(x+y)(x-y)

⑵2(x+2)(x+1)

【分析】(1)先提公因式孙，再根据平方差公式因式分解即可求解；

(2)先根据平方公式因式分解，然后提公因式(x+2),即可求解.

(1)

解：原式=个(/一丫2)

=^(x+y)(x-y);

(2)

解:原式=(x+2)(X+4)+(x+2)(x-2)

=(x+2)(x+4+x-2)

=(x+2)(2x+2)

=2(x+2)(x+l).

【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键.

21.⑴x=6

⑵无解

【分析】(1)方程两边都乘x(x-2)得出整式方程，求出方程的解，再进行检

验即可；

(2)方程两边都乘(x+1)(x-1)得出整式方程，求出方程的解，再进行检验

即可.

解析：⑴x=6

⑵无解

【分析】(1)方程两边都乘xG-2)得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可；

(2)方程两边都乘(x+1)(x-1)得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可.

⑴

去分母得：2x=3%-6,

解得：户6,

检验：当x=6时，x(x-2)#0,

••・x=6是原方程的根;

(2)

去分母得：(x+l)2-4=A2-1,

整理得：2x=2,

解得：x=l，

检验：当x=l时，卜1=0,

：.x=l是分式方程的增根，

，原方程无解.

【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键.解分式

方程必须检验.

22.见解析

【分析】结合已知条件可由ASA得出△ABC合△DEF,进而可得出结论.

【详解】证明：丁FB=EC,

BC=EF,

又ABIIED,ACIIDF,

ZB=ZE,ZACB=ZDFE

解析：见解析

【分析】结合已知条件可由4sA得出△ABCgaOEE进而可得出结论.

【详解】证明：•・•-%氏：,

：.BC=EF,

又♦:AB〃ED,AC//DF,

・・・NB=NE,NACB=NDFE,

在&4BC与AOE/中，

ZB=ZE

•••BC=EF,

NACB=NDFE

:•△AB8XDEF(ASA),

:,AB=DE,AC=DF.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是

解本题的关键.

23.(1)85°

(2)45°

⑶或

【分析】(1)根据题意可是〃邻三分线〃可求得的度数，再利用三角形外角的性

质可求解；

(2)结合(1)根据、分别是邻三分线和邻三分线，且，即可求的度数；

解析：⑴85。

⑵45°

17

⑶5由。或§“+20。

【分析】（1）根据题意可8。是"邻三分线”可求得43。的度数，再利用三角形外角

的性质可求解；

（2）结合（1）根据外、CP分别是ZABC邻三分线和ZAC8邻BC三分线，且

NBPC=135。,即可求ZA的度数；

（3）分2种情况进行画图计算：情况一：如图，当5尸和CF分别是“邻BC三分线"、"邻

CD三分线〃时，可得N8PC=；ZA,可求解；情况二：如图，当初和CP分别是“邻三

7I

分线"、"邻AC三分线”时，可得/由（=544+3448。可求解.

（1）

解：NABC的邻胡三分线3。交AC于点。，ZABC=45°,

ZABD=-ZABC=15°,

3

.ZA=70°,

o

.1.ZZ;DC=700+15=85°,

故答案为：85°;

⑵

解：在MPC中，NBPC=135°,

:."BC+/PCB=45。,

又BP、CP分别是NA8C邻8C三分线和ZAC8邻8c三分线，

/.ZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZACB,

33

-ZAfiC+izACfi=180o-1350=45\

33

\2ABe2ACB135?,

在坟BC中，4+444C+NAC'8=180。

\?A180?（?ABC?ACB）45?；

⑶

解：如图3；所示，当3尸和CP分别是“邻BC三分线"、"邻三分线〃时，

图3・1

ZCBP=-ZABCtNPCD\NACD,ZPCD="+NCBP,

33

/.-ZACD=ZP+=-ZABC,

33

即ZACD=3NP+ZABC,

QZACD=ZA+ZABC,ZA=nf,

:.ZBPC=-ZA=-nf；

33

如图3-2所示，当5P和CP分别是“邻8C三分线"、"邻AC三分线”时,

图3・2

I2

/CRP=-/ARC,/PCD=-/ACT）,ZPCD=ZP+ZCBP,

33

2I

...-ZACD=ZP+=-ZABC,

33

即2ZACD=3NP+ZABC,

QZACD=ZA+ZABC,ZA=m°t

212

/.NBPC=-ZA+-ZAFC=-w0+20°.

333

I7

综上所述：N8PC的度数为：7〃。或铲产+20。.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角三等分线的定义，正

确理解题意是解题的关键.

24.（1）原计划的行驶速度是60km/h

⑵实际花费2小时20分钟到达了目的地

【分析】（1）本题设原计划的行驶速度为xkm/h,根据题意列出分式方程即

可；

（2）根据行驶时间;路程+速度・

解析：⑴原计划的行驶速度是60km/h

⑵实际花费2小时20分钟到达了目的地

【分析】（1）本题设原计划的行驶速度为xkm/h,根据题意列出分式方程即可；

（2）根据行驶时间=路程。速度•提前时间列式即可得出结论.

（1）解：设原计划的行驶速度是xkm/h,依题意可列方程为竺°-《=1+上学解得：

x31.5x

x=60经检验，是原方程的根，所以原计划的行驶速度是60km/h；

1QA27

（2）解：^-4=4,即实际花费2小时20分钟到达了目的地.

6（）33

【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系：时间=路程+速

度列出分式方程；(2)根据数量关系行驶时间=路程+速度-提前时间列式计算.

25.(1)(X-3)(x-4)；(2)(x-1)(3x+l).

【分析】(1)将1分成1乘以1,12分成-3乘以-4,交叉相乘的结果为-7,即

可得到答案；

(2)将3分成1乘以3,-1分成-1乘以1

解析：(1)(x-3)(x-4)；(2)(x-1)(3x+l).

【分析】(1)将1分成1乘以1,12分成-3乘以・4,交叉相乘的结果为-7,即可得到答

案；

(2)将3分成1乘以3,-1分成-1乘以1,由此得到分解因式的结果.

【详解】(1)y2-7y+12=(x-3](x-4)；

(2)3x2-2x-1=(x-1)(3x+l).

【点睛】此题考查十字相乘法分解因式，将二次项系数及常数项分解成两个因数相乘，交

叉相乘的结果相加得到一次项的系数，能准确分解因数是解题的关键.

26.(1)60°；(2)见解析；(3)不变，

【分析】(1)由题意，先证AADE是等边三角形，再证△BADM^CAE,得

ZACE=ZB=60°；

(2)由题意，先求出NBEC=30。，然后求出NCF

解析：(1)60。；(2)见解析：(3)不变，2右

【分析】(1)由题意，先证AADE是等边三角形，再证得

8=60°；

(2)由题意，先求出NBEC=30。，然后求出NCFE=90。，利用直角三角形中30度角所对直

角边等于斜边的一半，即可得证；

(3)延长*至F,使EF=4E,连OF、CF,先证明AADF是等边三角形，然后证明△EGFg

△EHA,结合HG是定值，即可得到答案.

【详解】解：(1)根据题意，

9：AD=DE,ZAED=6Q0,

•••△AOE是等边三角形，

：.AD=AE,ZDAE=6Q°,

*：AB=AC,ZB4C=60°,

:.ABAC-ZDAC=ZDAE-ADAC,

BPZEW=ZC4E,

•••△8ADgACAE,

/.Z4Cf=Z8=60°；

(2)连CF,如图：

*：AB=AC=AE,

/.NAE8=N48E,

VZB4C=60°,ZE4C=90°,

AZB4E=150°,

ZAEB=ZABE=159；

「△ACE是等腰直角三角形，

/.NAEC=45°,

/.ZBFC=30°,NEBC=45°,

〈AD垂直平分8C,点F在八。上，

：.CF=BF,

：.NFCB=N£8C=45°,

AZCF£=90°,

在直角ACEF中，ZCFE=90°,ZCEF=30°,

：・CE=2CF=2BF；

(3)延长AE至F,使EF=4E,连OF、CF,如图:

VZAED=90°,EF=AE,

・・・DE是中线，也是高,

•••△ADF是等腰三角形,

ZADE=30°,

/.ZDAE=60°,

•••△ADF是等边三角形；

由（1）同理可求乙4CF=/48C=60°,

AZACF=ZBAC=60°,

：.CF//AB,

过E作EG_LCF于G,延长GE交B4的延长线于点H,

易证△EGFgAEHA,

:・EH=EG=gHG,

•KG是两平行线之间的距离，是定值，

/.S^ABE=45J8C=-x4G=2#；

22

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的

性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握

所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题.

57.已知，4（0，o）,B（b,0）,点为x轴正半轴上一个动点，AC=CD,ZACD=9Q°.

（1）已知Q,。满足等式\a+b\+b2+4b=—4.

①求A点和B点的坐标；

②如图1,连8。交y轴于点H,求点H的坐标；

（2）如图2,已知a+b=0,OOOB,作点8关于y轴的对称点E,连OE,点F为DE的中

点，连。F和CF,请补全图形，探究OF与CF有什么数量和位置关系，并证明你的结论.

(1)①A(0,2),B(-2,0)；②H(0,・2)；(2)CFLOF,CF=OF,证明见解析.

【分析】(1)①利用绝对值、完全平方的非负性的应用，求出。、b的值，即可得到答

案；

②过C作y轴垂线交8A的延长线于£,然后证明得至I]08=0%即可得到

答案；

(2)由题意，先证明△DFGg/\EF。，然后证明ADCG丝zMC。，得到AOCG是等腰直角三角

形，再根据三线合一定理，即可得到结论成立.

【详解】解：(1)•・・|。+4+从+4力=-4,

.,・,+4+从+40+4=0,

2

/.\a+b\+(b+2)=Ot

a+b=O,b+2=0,

b=-2,

，a=2,

：.A(0,2),B(-2,0)；

②过C作x轴垂线交BA的延长线于E,

•・Q=O8=2,ZAOB=90°,

•••△A08是等腰直角三角形,

/.480=45°,

V£C±BC,

•••△8CE是等腰直角三角形，

/.8C=EC,ZBCE=90°=ZACDf

/.ZACE=ZDCB,

\*AC=DCt

•••△CEAgACBD,

.,.ZC8D=ZE=45°,

；.0H=0B=2,

:.H(0,-2)；

(2)补全图形，如图：

丁点8、E关于V轴对称，

：.OB=OE,

\*a+b=0,即a=-b

：,OA=OB=OE

延长OF至G使FG=OF,连DG,CG,

•・・OF=FG,ZOFE=ZDFG,EF=DF

：・4DFG@〉EF0

：.DG=OE=OA,ZDGF=ZEOF

：.DG//OE

：.ZCDG=ZDCO：

,/ZACO+ZCAO=ZACO+ZDCO=90°,

・・・NDCO=NCAO；

/.ZCDG=ZDCO=ZCAO；

9：CD=AC,OA=DG

：.ADCG^^ACO

：.OC=GC,ZDCG=ZACO

/.NOCG=90°,

/.NCOF=45。，

•••△OCG是等腰直角三角形，

由三线合一定理得CF±OF

*：ZOCF=ZCOF=45°,

，CF=OF；

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性

质，非负性的应用，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题.

58.已知点A在x轴正半轴上，以。4为边作等边-048,A(xf0),其中x是方程

(1)求点A的坐标；

(2)如图1,点C在y轴正半轴上，以4C为边在第一象限内作等边&48,连。8并延长

交y轴于点E，求/8EO的度数；

(3)如图2,点F为x轴正半轴上一动点，点F在点4的右边，连接FB,以FB为边在第

一象限内作等边4F8G,连GA并延长交y轴于点H,当点F运动时，的值是否发

生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围.

(1)43,0)；(2)120°；(3)G/7-AF的值是定值，9.

【分析】(1)先求出方程的解为x=3,即可求解；

(2)由“S4S"可证△CAOgZSCWB,可得N08A=NCO4=90。，由四边形内角和定理可求

解；

(3)OF=AG,ZBAG=ZBOF=60°,可求NO4H=60°,可

得A〃=6,即可求解.

3I22

【详解】解：(1).二是方程9h♦二占；的解.

23x-l6x-2

解得：x=3,

检验当x=3时，6x-2^0,3x-1^0,

・・・x=3是原方程的解，

.••点A(3,0)；

(2)VA4CD,△ABO是等边三角形，

：.AO=AB,AD=AC,ZBAO=ZCAD=60\

：.ZCAO=ZBAD,且A0=A8,AD=AC,

/.△C40^AD48(SAS)

：.ZDBA=ZCOA=90°,

：.ZABE=90°,

NAOE+N48E+NOA8+ZB£O=36O°,

，N8EO=120°；

(3)G”-4F的值是定值，

理由如下：•••△48C,ABEG是等边三角形，

：.BO=AB=AO=3,FB=BG,ZBOA=ZABO=ZFBG=60°,

：.ZOBF=ZABG,且08=48,BF=BG,

：.AABG^/^OBF(SAS),

：.OF=AG,ZBAG=ZBOF=6Q°,

：.AG=OF=OA+AF=3+",

,/NOAH=1800-ZOAB-ZBAG,

ZOAH=60°,且NAOH=90°,04=3,

：.AH=6,

：.GH-AF=AH-\-AG-AF=6+3~}-AF-AF=9.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了分式方程的解法，等边三角形性质，全等三角形的

性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力.

59.等边AABC中，点”、K分别在边BC、AC上，且AK=C〃，连接A"、3K交于点

F.

(1)如图1,求NAFB的度数；

图1

(2)连接CF,若NBR7=90。，求当的值；

AF

(3)如图2,若点G为AC边的中点，连接AG,且4/=2AG,则N8尸G的大小是

F

G

图2

(1)120°；(2)2；(3)120°

【分析】(1)由A48C是等边三角形，可得出=

ZBAC=ZABC=ZACB=6O°,再利用AK=C〃，可证A4BKgACW(SAS),得出

NCAH=ZABK,由4/7/=44^+/84尸=/。4/7+/加/可求出4切，最后由补角

定义求出NA/为.

(2)在M上取点。，使%>=■,由Z4F5=120°可证NAFC=150°,再利用

AB=AC,ZABD=NCAF,8D=AF可证明AA瓦泾ACA尸(SAS),进而求出

ZADB=ZCFA=15(r,再用补角的性质得知NAFD=120。，在VA")中利用外角的性质可

求出N£40=NAO8-NAFZ)=3Oc,进而证出VAH>为等腰三角形，最后可证出

BF=BD+DF=2AF即可求解.

(3)延长M至E,使AAFE为等边三角形，延长阳交CE于丁，可得出

△A8尸/AACE(5A5),进而得出ZAEC=NA网=120。，利用角的和差得出

ZF£T=60°=ZAFE,则证出AP//EC,进而证出AA尸G0AC7U(A4S),再利用

AF=2FG,瓶=所证出AE口为等边三角形，进而证出N班G=120°.

【详解】(1)・・•A4BC是等边三角形，

：.AB=AC=BCfZBAC=ZABC=ZACB=60°,

在AABK和AC4〃中，

AB=CA,/BAK=ZACH,AK=CH,

：.^ABK^ACAH(SAS),

ANCAH=ZABK，

:.ZBFH=ZABK+ZBAF=ZCAH+ABAF=6O°f

/.ZAFB=180°-/BFH=180°-63°=120°.

(2)在B产上取点力，使%)=AF.

K

由(1)知NA尸8=120。，

又々FC=90°,

/.ZAFC=150°.

在AA3D和ACAb中，

VAB=AC,ZABD=NCAF,BD=AF,

:.^ABD^^CAF(SAS),

:.ZADB=ZCFA=\5(T,

：.^FDA=3QP,

VZATO=120°,

/.ZFAD=ZADB-ZA/T>=30°,

：.ZFDA=ZFAD,

：.AF=DF,

9：BD=AF,

:.BD=DF=AF,

/.BF=BD+DF=2AF,

:.BFiAF=2.

(3)ZBFG=120°.

提示：目测即得答案.详细理由如下：

由(1)知4咫=120。.延长M至E,使M话为等边三角形.

延长2交CE于7.

VZfi4F+ZE4C=ZE4C+ZC4£=60°,

/.NBAF=NCAE,

在△BAE和VC4E中，

AF=AE

ZBAF=NCAE,

AB=AC

：.AAa%AACE(%S),

AZAEC=ZAFB=\20P.

：.ZFET=6Cf=ZAFEt

:.AF//EC.

：・/FAG=NTCG,ZAFE=ZTEF=6(r

在3AFG和二C7G中，

ZFAG=Z.TCG

<AG=CG,

4FGA=4TGC

:.^AFG^CTG(AAS),

:.FG=TG.

*：AF=2FG,AF=EF,

JEF=FT,

VZAre=Z7EF=60°

・・・AEb为等边三角形，

:.NEFF=60。

JZBFG=180°-ZEFT=120°.

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定

和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键.

60、在平面直角坐标系中，A(a,0),8(0,b)分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C

与点4关于V轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点.

(1)当2a2+4ab+4b2+2a+l=0时，求48的坐标；

(2)当a+b=Q时,

①如图1,若。与P关于y轴对称，并交。8延长线于邑交八8的延长线于F,求

证：PB=PF；

②如图2,把射线8P绕点8顺时针旋转450,交X轴于点。当CP=AQ时，求N4P8的

(1)A(T,0),8(。,；)；(2)①见解析；②N4P8=22.5°

【分析】(1)利用非负数的性质求解即可；

(2)①想办法证明NP8F=NF,可得结论；②如图2中，过点Q作QF_LQ8交P8于F,

过点F作FH_Lx轴于从可得等腰直角△BQF,证明^FQ△QB。(加5),再证明FQ=FP

即可解决问题.

【详解】解：(1)V2a2+4ab+4b?+2a+l=0»

/.(a+2b)2+(a+1)2=0,

V(a+2b)2>0，(a+1)2>0,

*.*a+b=O,

.*.a=-b,

：.OA=OB,

又•・•N4OB=90°,

.••N8AO=NA8O=45°,

・・•。与P关于y轴对称，

:・BD=BP,

；・/BDP=/BPD,

设N8DP=N8P0=a,

则ZPBF=ZBAP+ZBPA=450+a,

•・・PE_LD8,

：.ZBEF=90°,

，NF=90°-NEBF,

又/£8F=ZABD=ZBAO-ZBDP=45°-a,

ANF=450+a，

:・NPBF=/F,

，P8=PF.

②解：如图2中，过点。作QF_LQ8交PB于F,过点F作FH_Lx轴于H.可得等腰直角

△BQF,

图2

VN80Q=NBQF=ZFHQ=90°,

：.ZBQ0+ZFQH=9Q°fNFQH+NQFH=90。,

：.ZBQO=ZQFH,

•;QB=QF,

/.△FQH^AQBOCAAS),

：.HQ=OB=OA,

：.HO=AQ=PC,

：.PH=OC=OB=QH,

：.FQ=FP,

又N8FQ=45°,

AZAPB=22.5°.

【点睛】本题考查完全平方公式、实数的非负性、全等三角形的判定与性质、等腰直角三

角形的判定与性质，解题的关键是综合运用相关知识解题.

61.如图，已知C。是线段48的垂直平分线，垂足为D,C在。点上方，N84C=30。，P是

直线C。上一动点，E是射线4：上除4点外的一点，PB=PE,连8£.

(1)如图1,若点P与点C重合，求N48E的度数；

(2)如图2,若P在C点上方，求证：PD+^AC=CE；

【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质得到：ABPE为等边

三角形，则NC8E=60°,故/48£=90°；

(2)如图2,过P作P〃_LAE于M连8C,作PG_L8c交8c的延长线于G,构造含30度

角的直角APCG、直角ACPH以及全等三角形(RtaGBWRt"HE),根据含30度的直角三

角形的性质和全等三角形