初三数学讲学稿

第二十二章一元二次方程

22.1一元二次方程的概念

一、学前准备

1.什么叫整式方程？怎样的方程叫一元一次方程？试举例说明。

2.设未知数，并列出方程：

(1)一个正方形的面积的2倍等于31,求这个正方形的边长。

(2)一个数比另一个数小3,且两数之积为0,求这个数。

(3)一个数的平方的一g倍与一2的和等于2,求这个数。

(4)一个矩形的长比宽多5cm,面积为150cm2,求这个矩形的宽。

二、课堂练习

1.在学前准备2中，所得出的四个方程有哪些共同点？

归纳总结：叫做一元二次方程，

形如叫做一元二次方程的一般形式，其中—是二次项,__是

二次项系数；一是一次项，一是一次项系数：一是常数项。

2.下列方程都是整式方程吗？其中哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？

(1)3x+2=5x-3(2)X2=4

(3)(x-1)(x-2)=x2+8(4)(x+3)(3x-4)=(x+2)2

2

3.为什么在一元二次方程的一般形式aX+bX+c=0中，二次项系数不为0呢？

4.把方程(*+3)(3*—4)=汽+2产化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项。

5.当a、b、c满足什么条件时，方程(a-l)x2+bx+c=0是元二次方程？这时方程的二次

项系数、一次项系数分别是什么？当a、b、c满足什么条件时，方程(a—1)x2+bx+c=0是一

元一次方程？

三、课后作业

1.下列方程是一元二次方程的是()

--71

A.4----1=0B.(x+2)(x—3)—3x+—

XX

C.(x+1)(x2-x+l)=x3-x2D.(2x2-1)2-1=0

2.把下列各题化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项、一次项及常数项。

⑴(3+y)(3—y)=(y—2)2(2)(x+a)2+2(x+a)(2x+c)=b2

3.对于方程x2-mx(2x-mT)=0,当m为何值时，是一元二次方程？

22.2.1直接开平方法(1)

一、学前准备

1.怎样的方程叫一元二次方程？一元二次方程的一般形式是什么？

2.什么叫平方根？平方根的性质是什么？

3.完全平方公式是。

二、课堂练习

1.用直接开平方的方法解下列方程：

(1)x2=5(2)2x2=8(3)x2-12=0

2.用直接开平方的方法解下列方程:

(1)(3x—l)2=6(2)4(2x-l)2-9=0(3)4x2-4x+1=9

3.思考：下列一元二次方程有实数根吗？

(1)x2+6=0(2)(2x+l)2+5=0

4.应用拓展:(2x-1)2=(3-x)2

三、课后作业

1.下列一元二次方程可以用直接开平方法解的是()

A.x2—1=0B.x2—2x+4=0

C.(x—I)2=2xD.(x—2尸=x—2

2.用直接开平方法解下列一元二次方程：

(1)2x2-10=6(2)9x2-16=0

(3)(y—5尸—36=0(4)(x一6)(x+6))=6

⑸(x—1)(x+1)=1(6)2(x-3)2-72=0

12

⑺—•(x―1)—-5=0(8)(x-I)2=(2x+3)2

2

22.2.1配方法（2）

一、学前准备

1.⑴3x2-1=5(2)4(x+1)2-9=03)4x2+16x+16=9

2.(Da2-+4=(a——)2⑵从―12b+=(b——)2

(3)a2+2ab+=(a+)2(4)a2-2ab+=(a-)2

3.用一根10m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为8m2的长方形？(设出未知数，列出方程)

二、课堂练习

1.⑴X2-8X+1=O(2)2X2+1=-3X(3)3x2-6x+4=0

2.(1)X2+10X+9=0(2)x"-x--1=0(3)3x"+6x-4=0

3.应用拓展：当x=l,x2-6x+11=.当x=-2,x2-6x+11=

试说明不论x取何值，X2-6X+11的值总是一个正数。

三、课后作业

1.将二次三项式炉+6%+7进行配方，正确的结果应为()

(A)(x+3)〜+2(B)(x—3)〜+2(C)(X+3)2—2(D)(x—3)——2

2.用配方法解下列方程时，配方有错误的是()

A、X2-2X-99=0化为(X-1)2=100B、x、8x+9=0化为(x+4)?=25

C、2x2-7x+4=0化为(x-^)2=*D、3x2-4x-2=0化为(x-q)2=与

3.把一元二次方程3X2-2X-3=0化成3(x+m)2=n的形式是

4,用配方法解下列方程：

(1)X2-6X-16=0(2)X2+4X-9=2X-11

(3)x(x+4)=8x+12(4)2x2-3x-2=0

(5)2X2-10X+52=0(6)(2008济宁)2x2+1=3x

5.已知方程x?—6x+q=0可以配方成(x—pF=7的形式，那么x2一6x+q=2可以配方成下列

的()

(A)(%-/?)2=5(B)(%-/?)2=9(C)(x-p+2)2=9(D)(x-p+2)2=5

6.(中考题)求证:不论a取何值，a?-a+l的值总是一个正数。

22.2.2公式法

一、学前准备

用配方法解一般形式的一元二次方程，

ad+力x+c=0(〃W0)

因为。片0,方程两边都除以a,得

x2+___x+____=0

移项，得x=——

a

Ac

配方，得』+2・X・+()2=()2——

2aa

2

2h-4ac

即('+一尸

Va^O,.*.4a2>0,当/一4ac20时，直接开平方，得

,ylb2-4ac

x+___=±-------------

2a

2

x=-2土ylh-4ac

2a2a

由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax?+bx+c=O的求根公式：

「----------------------------1

利用这个公式，我丫_-b土dac(/_4收20)1直接求得方程的解，这种解方程的

方法叫做公式法.L

二、课堂练习

⑴6X2-13X-5=0(2)X(X+8)=16⑶0X2-4X=4A/I

(4)X2=2(x+1)(5)2/—3x-2=0(6)(x+3)(2x-9)+6=0

2

(7)x+3=26x(8)3x(x-3)=2(x-l)(x+l).

三、课后练习

1.用公式法解下列方程

(1)3X2+5X-2=0；(2)f+2x=5；(3)4.r2—3J—1=J—2；

2

(4)x~+2x—2=0；(5)3f+4x—7=0(6)2y+8y-l=0;.

2.用你学过的你认为适当的方法解下列方程：

(1)(y—2>=3；(2)x2+10x=-9

(3)F-3x—2=0：(4)(x-l)(x+2)=5.

22.2.3因式分解法

一、学前准备：

1.解下列方程：

(1)2x2+x=0(用配方法)(2)3x2+6x=0(用公式法)

问题：有没有简单的方法解这类方程吗？

2.解一元二次方程的一般方法有,,.

3.利用因式分解法解一元二次方程时，必须使方程一边是,另一边必须是o

4.解方程的指导思想是：

(1)⑵，使高次的转化为多元的转化为

二、课堂练习

](x+2)(x-5)=02(2x-5卜+3)=03x(3x-1)=0

46x(%+5)=0

5.6x+5=06.x~~2x—8=0

2x+4

x=-----

7.x2=5x4-148.39.X2-5X-6=0

II(x-+2)=(x-2^2x+1)

10.x+3x-18=0

三、课后作业

2

1.x-9x=02.x2+8x+16=03.x'+7x-30=0

4.3*=2x5.x+4x-5=06.4(x+2h25

22

7.X-9X+14=08.4x+5x=09.10X-6X2=4

10.应用拓展：(^+1)(2X-3)=4X2-9

22.2一元二次方程解法训练题（1）

一、用直接开平方法解下列一元二次方程:

1.2/-16=02.9/-3=53.16(1)2=9

4.2(x-3)2-72=05.9x2+6x+1=56.4(3x+l)2-9=0

二、用配方法解下列一元二次方程：

1.x2—4A:4-6—02.X2+i—~7x3.x~1x------0

4

4.2X2+X=-65.4x2-x-9=O6.3x2—6x—4=0

三、用公式法解下列一元二次方程：

1.2x2-10x=32.(x+2)(x-5)=83.2x2+1=2y/lx

4.y(y-2)=35.x(2x—4)=5—8x6.3x2—l—4x

四、用因式分解法解下列一元二次方程：

1.2x2=3x2.3x(x-l)=2(x-l)3.(2x-l)2-x2=0

4.(2x-5)2=3(5-2%)5.JC2+4JC-5=06.(x—3)2=(2x+1产

五、用适当的方法解下列一元二次方程:

1.9/-25=02.25(2万——16=03.(2X+3)2—2X—3=0

4.2x(x-3)=-6x+55.3x(2x+1)=4x+26.2x——3x+1=0

7./7V一第二。8.(x-3)(x+7)=-99.(2y+I)2-8(2y+I)2+15=0

22.2一元二次方程解法训练题(2)

一、用直接开平方法解下列一元二次方程：

L(x-3)-=829》2-25=0

3(31)2=64.4(工一3)2-9=0

二、用配方法解下列一元二次方程:

1.4-x—24=02.2x2+6=7x

3.3Y—4x—2=04y2-47§y+i2=0

三、用公式法解下列一元二次方程:

].f+2x—2=02.2丁+2x=1

3.4x2+4x-l=-10-8x4.(x-2)(3x-5)=1

四、用因式分解法解下列一元二次方程：

22

1x—3x=02.Y_7x+6=03,25(2%-l)-16=0

4x~—2x+1—3(Jt?2-1)=0-y2-5y—24=065x(x—1)=3(1—x)

五、用适当的方法解下列一元二次方程:

14(3x-2)2=3622

2(2X+1)-4=03.x—4x+4=7

4(X-3)2+2X(X-3)=05.2x2-12x+9=06.3x+15=—2x——1Ox

7.4(x+3)2—25(x—2>=082/+3%—1=0g—4x—3=0

2

10.(y—7)2—12=011.(x+4产一4(x+4)~+3=0I?.4x—5—4x

22.2一元二次方程解法训练题(3)

一、选择题

1.一元二次方程2x-3=0的根为()

A.X]=1,%2=3B.X]=-1,欠2=3C.X[=-l,x2=-3D・=l,x2=—3

2.方程x(x+3)=x+3的解是()

A.x=lB.Xi=0,X2=-3C.Xj=l,X2=3D.XI=1,X2=-3

3.用配方法解一元二次方程/-4x=5的过程中，配方正确的是()

A.(x+2)2=1B.(x-2)2=1C.(x+2)2=9D.*-2尸=9

4.一元二次方程51-2x=0的解是()

2

D.Xj=0,X2-—不

二、填空题

1.若x=l时一元二次方程ax2+bx-2=0的根，则a+b=

2.已知一元二次方程有一个根为1,那么这个方程可以是(只需写出一个方程)

3.方程x?=4x的解是.

4.已知方程3/-9x+m=0的一个根是1,则，"的值是.

5.一元二次方程d-2x-l=0的根是.

6.一元二次方程(1+3%)。-3)=2/+1化为一般形式为：,二次项系数

为：,一次项系数为：,常数项为：。

7.在关于*的方程而-5”1+(111+3卜-3=0中：当111=时，它是一元二次方程；当01=时，它

是一元一次方程。

8.若一元二次方程ax2+bx+c=0(ar0)有一个根为1,则a+b+c=;若有一个根为T,则b与

a、c之间的关系为;若有一个根为零，则c=.

9.用配方法解方程X?-4x=5时方程的两边同加上______，使得方程左边配成一个完全平方式.

10.方程(x-l)z=4的解是。

三、用给定的方法或合适的方法解下列各方程

(1)3X2-7X=0(2)2x(x+3)=6(x+3)(3)(2-1)2=9(直接开方法)

(4)8y2=4y(酉己方法)(5)12,-25=0(6)x~2x=0

(7)(/-2)(Z+1)=0(8)x(A+1)—5x=0.(9)3X2-4X=2X；

(10)X2+(V3+l)x=0(11)x(%—6)=2(%—8)(12)(x+1)(x-l)=2瓜;

(13)x(x+8)=16(14)(x+2)(x-5)=1(15)(2x+l)2=2(2x-+1).

五、阅读材料：为解方程(一一一5(r-1)+4=0,我们可以将X,—1视为一个整体，然后设一一1

=y,则(/—l)2=y2,原方程化为y2—5y+4=0.①

解得yi=l,yz=4

当y=l时，x2-l=l.：.X2=2..,.X=±V2：

当y=4时，X2-1=4,：.X2=5,.•.X=±/。

XIXAS

原方程的解为=，Lx2=—^2,3--\[5,xi=-/

解答问题：

(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了降次的目的，体现了

的数学思想.

(2)用上面的方法解此方程：X'-X2-6=0.

六、用配方法证明/一4x+5的值不小于1。

22.2.4根与系数的关系(1)

一、学前准备:

解下列方程，并填写表1各：

方程

XiX2X1+X2Xl-%2

x-2x=0

X2+3X-4=0

2

x-5x+6=0

观察上面的表格，你能得到什么结论？

(1)关于x的方程不一+〃1+4=0(p,q为常数，p--4q20)的两根无，％2与系数小q

之间有什么关系？

(2)好x的方程々x2+bx+c=0(aw0)的两根乃，X2与系数a，b,C之间又有何关系呢？

你能证明你的猜想吗？

二、课堂练习

1.不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：

221o

⑴―=0(2)2—=0(3)/-2x=0

(4)V2x+V6x=V3(5)x-l=0(6)X-2X+1=Q

2.不解方程，检验下列方程的解是否正确？

⑴x-2拒x+l=0(七=后+1,兀=行-1)

(2)2^一3%—8=0a

/+历X=5-T73

44

3.已知一元二次方程的两个根是-1和2,请你写出一个符合条件的方程.(你有几种方法？)

4.已知方程212+攵工_9=0的一个根是一3,求另一根及k的值.

变式一：已知方程了2一2左x_9=o的两根互为相反数，求k；

变式二：已知方程2x'_5x+左=0的两根互为倒数，求％

三、课后作业

1.不解方程，写出下列方程的两根和与两根积

(1)X2-3X+1=0(2)3X2-2X=2(3)2x2+3x=0(4)3x2=l(5)x2+px+q=0

2.如果-5是方程5x2+bx-10=0的一个根，求方程的另一个根及b的值；

2

3.已知方程%—3x+/72—0的一个根是1,求另一根及m的值.

4.设X、X2是方程2x2-6x+3=0两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

2

(1)X]2X2+x]X22(2)(X1-X2)(3)(X1-2)(X2-2)

22.2.4一元二次方程根的判别式(2)

一、学前准备：

1.求根公式为：,

2.解下列方程：

(1)X2+X-6=0(2)9X2+6X+1=0(3)2x2+x=-6

二、课堂练习

1.一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为。

(1)当有两个实数根。

(2)当，有两个实数根。

(3)当实数根。

2.不解方程判断下列方程解的情况

(1)X2+4X+9=0(2)x2-x-^-=0(3)3x2+6x-4=0

3.若关于x的一元二次方程A：'-2x+〃z=0(1)没有实数根，求实数m的取值范围。(2)有两

个实数根，求实数m的取值范围。

4.证明关于x的一元二次方程Y+(2k+l)x+k-l=O无论k为任何值，方程一定有两个不同的根。

三、课后作业

1.关于x的一元二次方程2》2+ax—3=°的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定

2.若关于x的一元二次方程火/+履+i=o有两个相等的实数根，则上的值为()

A.0B.0或4C.4D.任意实数

3.下列关于x的一元二次方程中，有两个相等实数根的是()

A.x2+l=OB.x2+x-l=OC,X2+2X-3=0D.4X2-4X+1=0

4.若关于x的一元二次方程4=0有两个相同的根，则实数m的取值是（）

A.m=lB.m=4C.m=2D.m=-4或4

5.已知关于x的方程;3）x+机2=0有两个不相等的实数根，那么根的最大整数值是

（）

A.2B.1C.0D.-1

6.关于x的一元二次方程a/+4x+c=0,若a、c异号，则该方程根的情况是（）

A.有两个不等实根B.有两个相等实根C.没有实根D.无法确定

【拓展创新】

7.（中考题）如果关于x的方程d+4x+a=0有两个相等的实数根，求a的值。

8.求证：无论加取何值，方程9——（m+7）》+〃?-3=0都有两个不相等的实根；

9.当m取什么值时，关于%的方程*2+2（2机+1）》+（2m+2）2=0：

（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根；（3）没有实根;

22.3实际问题与一元二次方程

一、学前准备

1.两个相邻偶数的积是168,求这两个偶数？

2.一个直角三角形的两条直角边的和是14c〃?，面积是24C,〃?2,求两条直角边的长？

二、课堂练习

1.2006年我国部分养鸡场突发禽流感疫情，某养鸡场一只带病毒的小鸡经过两天的传染后使鸡场

共有169只小鸡遭感染患病，在每一天的传染中平均一只小鸡传染了几只小鸡？

2.某厂去年3月份的产值为50万元，5月份上升到72万元，求这两个月平均每月增长的百分率是

多少？(7144-1.2,VT69-1.3)

3.学校课外生物小组的试验园地是长18米、宽12米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两

纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为196平方米，求小道

的宽.

4.莲花商场将进货单价为40元的商品按50元出售，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销

售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？

三、课后作业

1.参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两次比赛（双循环制），共要比赛90场，共有多少个队

参加比赛？

2.小明将1000元钱存入银行，定期一年后取出500元购买学习用品，剩下的500元和应得的利息又

全部按一年定期投入，若存款的年利率保持不变，到期后取出660元，求年利率？

3.有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2,求这个两位数。

4.要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛场），计划安排15场比赛，应邀请

多少个球队参加？

5.某种商品原来售价80元，经过两次降价后，现在售价比原来少15.2元，求平均每次降价百分数?

6.某校办工厂生产某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一

年增长一个相同的增长率，这样三年的总产量达到1400件，求这个增长率。

7.某种电脑病毒传播非常快，如果台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你

用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染儿台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染

后，被感染的电脑会不会超过700台？

8.矩形ABCD中，点P从点A沿AB向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点B开始

沿BC向C点以每秒1cm的速度移动，AB=6cm,BC=4cm,若P、Q两点分别从A、B同

时出发，问几秒钟后P、Q两点之间的距离为2五cm?

9.用长为18cm的铁丝围成一个面积为S的矩形(不考虑接头的长度)，(1)S=20cm2时，求这个

矩形的长与宽。(2)S能等于21cm2?说明理由。(3)你能求出面积S的最大值并说明理由吗？

第22章一元二次方程全章能力测试

一、填空题

1.把方程2x(x—l)=3(x+5)-4化为一元二次方程的一般形式是。二次项的系数是

,一次项系数是_,常数项是。

2.(m-2)x"'-2+x—3=0是关于x的一元二次方程，则m的值为。

3.某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元.设平均每月

降价的百分率为X,根据题意列出的方程是.

4.若关于x的一元二次方程f+(k+3)x+Z=0的一个根是—2,则另•个根是____.

5.由于甲型H1N1流感(起初叫猪流感)的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降.由原来每斤

16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为X,则根据题

意可列方程为.

6.已知xi、X2是方程2x?+3x—4=0的两个根，那么：xj+x2=；xi•X2=；

11

---1---

X1%2;X2I+X22=;(xi+l)(x2+l)=o

二、选择题

1.方程2x(x-3)=5(x-3)的根是()

5-55

A.x=—B.x=3C.x=3,或x=-D.x="-

222

2.若〃(〃H0)是关于x的方程/+机x+2w=0的根，则研〃的值为

A.1B.2C.-1D.-2

3.若王，々是一元二次方程——5x+6=0的两个根，则的值是()

A.1B.5C.-5D.6

4.设小匕是方程犬+x-2009=0的两个实数根，则/+2。+6的值为()

A.2006B.2007C.2008I).2009

5.为执行“两免一补”政策，某地区2007年投入教育经费2500万元，预计2009年投入3600万元.设

这两年投入教育经费的年平均增长百分率为X，那么下面列出的方程正确的是()

A.2500x2=3600B.2500(1+x%)2=3600

C.2500(1+x)2=3600D.2500(1+x)+2500(1+x)2=3600

6.方程9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为()

A.12B.12或15C.15D.不能确定

7.定义：如果一元二次方程以2+必+。=0(。工0)满足。+6+，=0,那么我们称这个方程为“凤

凰”方程.已知0?+以+。=0(〃/0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正

确的是()

A.a=cB.a=bC.b=cD.a=b=c

三、解答题

1.解方程：(X—3)2+4X(X—3)=0.2.解方程：X2-2X-3=0

3.解方程：X2-3X-1=0.4.解方程2x2—x—1=0

5.已知2+也是x2—4x+k=0的一根，求另一根和k的值。

6.关于x的方程依2+伏+2»+&=0有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围。

4

（2）是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在说明理由。

7.m为何值时，方程2（m+l）x2+4mx+2m—1=0。（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个实数根;

（3）有两个相等的实数根；（4）无实数根。

8.如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米

宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米.求鸡场的长和宽各多少米？

第二十三章旋转

23.1图形的旋转

一、学前准备

1.如图，已知AABC和直线L,请你画出aABC关于L的对称图形AA，B，C；

B

2.圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？

二、课堂练习

1.请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？从现在到下课时钟转了多

少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？

2.如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB,它绕0点按顺时针方向旋转得到aOEF,在这个旋转

过程中：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？

3.如图，四边形ABCD、四边形EFGI1都是边长为1的正方形.

(1)这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？

(2)请画出旋转中心和旋转角.

(3)指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？

4.两个边长为1的正方形，如图所示，让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，不难知道

重合部分的面积为工，现把其中一个正方形固定不动，另一个正方形绕其中心旋转，问在旋转过程

4

中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？说明理由.

三、课后作业

1.AABC和4ADE都是等腰直角三角形，NC和/AED都是直角，点C在AD上，如果4ABC

经旋转后能与4ADE重合，那么旋转中心是，旋转方向是，旋转度数

第2题图

第1题图

2.如图，^ABC绕点O旋转到4A'B'C',请指出：(1)点A的对应点是,点C的

对应点是；(2)AB边的对应边是,AC边的对应边是；(3)

ZABC的对应角是,ZBAC的对应角是；(4)旋转中心是,

旋转的角度是。

3.已知上图△ABC,(1)画出①中4ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形；(2)画出②中4ABC

绕点C顺时针旋转90°后的图形；

4.如图，4ABC是NBAC=50"的等腰三角形，D是BC上•点，4ABD经过旋转后到达4ACE

的位置。则旋转中心是;旋转方向是,旋转的角度是。

如果点M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M旋转到________________位置。

第5撅图第6题图

5.如图，作出AABC绕点O逆时针旋转120°的图形4A'B'C'。

6.如图，正方形ABCD是一个旋转对称图形，它的旋转中心是,它旋转

度后能与自身重合。

7.如图，AACD.ZiAEB都是等腰直角三角形，ZCAD=ZEAB=90°,指出aABD、ZXAEC的关

系(1)、旋转中心是旋转度数是_(2)、AB边的对应边是

BD边的对应边是；(3)、NBAD的对应角是,/ABD的对应角是_—；

笛7S.ffllSl

8.画出所给图形绕圆心A逆时针旋转90°后的图形，并说明该图形照此旋转次后可以与原图

形重合。

9.如图，线段AD和BC相交于点O,且AO=OD,BO=OC,请问图中aAOB和aCOD能通过

旋转使他们重合吗？:如果能，指出旋转中心是;旋转角度

是。如果不能请说明理由。

23.2.1-23.2.2中心对称以及中心对称图形

一、学前准备

1.什么是轴对称？什么是轴对称图形？

2.(1)作出如图的两个图形绕点0旋转180。的图案；(2)将四边形ABCD绕D点旋转180。。

二、课堂练习

1.作出四边形ABCD关于0点成中心对称的四边形A‘B'C'D'。

2.欣赏图片：后两个图有•个共同的特点与第一个图不同，是什么？

①②③④

总结：什么是中心对称图形？请你写出3个熟悉的图形。

3.两图形成中心对称与中心对称图形有什么区别？

三、课后作业：

1.下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.直角B.等边三角形C.直角梯形D.两条相交直线

2.下列命题中真命题是（）

A.两个等腰三角形一定全等

B.正多边形的每一个内角的度数随边数增多而减少

C.菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形

D.两直线平行，同旁内角相等

3.将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图的所示的图形，已知NCED'=60°,则NAED的大小是（）

A.60°B.50°C.75°D.55°

4.下列图案中既是中心对■称图形，又是轴对称图形的是（)AB

£

A.D

5.下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

6.下列图形中，绕某个点旋转180。能与自身重合的有（）

①正方•形②长方形③等边三角形④线段⑤角

A、5个B、2个C、3个D、4个

7.下列图形中，中心对称图形有（）.

D.4个

8.作一直线，将下图分成面积相等的两部分（保留作图痕迹）.

9.观察“一、羊、口、王、田、旦”这6个汉字，它们都是图形，其中

字可看成中心对称图形.

10.下图是几种名车标志，其中是轴对称图形的有（填序号），是中心对称图

形的有（填序号）.

©

奥迪本田大众铃木欧宝

（1）（2）（3）（4）（5）

11.在线段、角、平行四边形、长方形、等腰梯形、圆、等边三角形中，是中心对称图形的是

,一定是轴对称图形的有,既是中心对称图形

又是轴对称图形的是.

12.解答题：如图所示，画出两个半圆关于点B成

中心对称的图形.

B

23.2.3关于原点对称的点的坐标

一、学前准备：

1.怎样的图形变换叫做旋转？

2.中心对称ij中心对称图形的区别与联系是什么？

3.点P(5,3)与关于x轴对称，点P(5,3)与关于y轴对称。

4.关于x轴对称、关于y轴对称的点的坐标有什么特点？

二、课堂练习

1.学习课本P.探究，思考：

两个点关于原点对称时，他们的坐标符号,即点P(x,y)关于原点的对称点

为。

2.(1)点A(2,-6)关于原点对称的点的坐标为,关于x轴对称的点的坐标

为，关于y轴对称的点的坐标为,

(2)已知P(a,-2)和Q(3,b)关于原点对称，贝Ua=,b=。

3.学习课本P"例2,提示：先描出各顶点关于原点的对称点后，再顺次连接。

(1)作出与AABC关于x轴对称的图形。

(2)作出与△ABC关于y轴对称的图形。

(3)作出将aABC沿x轴向右平移3个单位后的图形。

4.已知△ABC在平面直角坐标系上三顶点坐标为A(-2,3),B(-1,1),C(-3,2),△ABC

与aABC关于原点对称，则Ai(),B,(),C,().

三、课后作业

1.在平面直角坐标系中，点P(8,-6)关于原点的对称点的坐标是。

2.若点P(x,-3)与点Q(4,y)关于原点对称，则x+y等于。

3.已知点A(2,2),如果点A关于x轴的对称点是B,B点关于原点的对称点为C,那么C点的坐

标是o

4.如果点M(1-x,1-y)在第二象限，那么点N(1-x,y-1)关于原点的对称点在第一

象限.

5点A（x+3,2y-l）与点B（y-5,x）关于原点对称，则点A坐标是。

6直线y=x+3有一点P，则P点关于原点的对称点是。

7平面直角坐标系内某图形上各个点的横纵坐标都乘T,所得图形与原图形的关系是（）

A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.位置不变

8.如图，画出aABC关于原点的对称图形AA'B'C',并求出4A'B'C'的面积.

第23章旋转能力测试题

一、选择题：

下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）.

1X.K

A.1个B.2个。C.3个D.4。个

2.下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A.圆B.正方形C.等边三角形D.