一元二次方程讲义

...wd......wd......wd...一元二次方程讲义考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。(2)一般表达式：注：当b=0时可化为这是一元二次方程的配方式(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，假设是，再对它进展整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．〔4〕将方程化为一般形式：时，应满足〔a≠0〕(4)难点：若何理解“未知数的最高次数是2〞：①该项系数不为“0〞；②未知数指数为“2〞；③假设存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建设方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、以下方程中是关于x的一元二次方程的是〔〕AB C D变式：当k时，关于x的方程是一元二次方程。例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为。考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、的值为2，则的值为。例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为。说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为。说明：此题的关键点在于对“代数式形式〞的观察，再利用特殊根“-1〞巧解代数式的值。例4、是方程的两个根，是方程的两个根，则m的值为。例5、，，，求变式：假设，，则的值为。6、方程的一个根为〔〕 AB1CD7、假设。考点三、方程解法〔1〕基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次〞将它化为两个一元一次方程。〔2〕方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法类型一、直接开方法：就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如※对于，等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程：〔2〕〔4〕〔5〕例2、解关于x的方程：3.以下方程无解的是〔〕A.B.C.D.类型二、配方法基本步骤:1.先将常数c移到方程右边2.将二次项系数化为13.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4.方程左边成为一个完全平方式：※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例1、试用配方法说明的值恒大于0，的值恒小于0。例2、x、y为实数，求代数式的最小值。变式：假设，则t的最大值为，最小值为。例3、为实数，求的值。变式1：，则.变式2：如果,那么的值为。例4、分解因式：类型三、因式分解法:把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0〞，※方程形式：如，，※分解方法:提公因式,利用平方差与完全平方公式,十字相乘法针对练习：例1、的根为〔〕 ABCD例2.〔1〕(平方差)(2)(提公因式)〔3〕〔平方差)〔4〕(完全平方式) (5〕(完全平方式)〔6〕〔十字相乘法〕〔7〕〔十字相乘法〕〔8〕(提公因式)例3、假设，则4x+y的值为。例4、方程的解为〔〕A.B.C.D.例5、解方程：例6、,则的值为。变式：,且,则的值为。 例7、解以下方程(2x–3)2=(3x–2)2(2)EQ\F(4x+14,5)-EQ\F(x-5,2)=EQ\F(2,3)x+2(4)5m2–17m+14=0(5)(x2+x+1)(x2+x+12)=42类型四、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当判别式大于等于零时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式,就可得到方程的根。⑴条件：⑵公式：,典型例题：例1、选择适当方法解以下方程：⑴⑵⑶⑷⑸说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。类型五、“降次思想〞的应用主要内容：⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。典型例题：例1、，求代数式的值。例2、如果，那么代数式的值。例3、是一元二次方程的一根，求的值。说明：在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：①能对式进展灵活的变形；②能利用条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幂化为低次幂，最后求解。例4、用两种不同的方法解方程组说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元。但都表达了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们的问题.考点四、根与系数的关系⑴前提：对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。⑵主要内容：⑶应用：整体代入求值。典型例题：例1、一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三角形的斜边是〔〕 A.B.3C.6D.说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握、、、之间的运算关系.例2、解方程组：说明：一些含有、、的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便.例3、关于x的方程有两个不相等的实数根，〔1〕求k的取值范围；〔2〕是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数假设存在，求出k的值；假设不存在，请说明理由。例4、当取何值时，方程的根与均为有理数例5、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程〔二次项系数为1〕时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗其正确解应该是多少例6、，，，求变式：假设，，则的值为。例7、是方程的两个根，那么.测试题目：一、选择题1．解方程：3x2+27=0得〔

〕.(A)x=±3

(B)x=-3

(C)无实数根

(D)方程的根有无数个2.方程(x-1)2=4的根是(

).(A)3,-3

(B)3,-1

(C)2,-3

(D)3,-2二、填空3．方程9x2=25的根是___________.4.二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,则t=________,另一个根是_________.5.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为__________.6.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.7.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个一样的解,则a=________.三、用适当的方法解以下关于x和y的方程(x+2)(x-2)=1.

(3x-4)2=(4x-3)23x2-4x-4=0.

x2+x-1=0.x2+2x-1=0.

(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.8．用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.〔A〕因式分解法

〔B〕配方法〔C〕公式法9．解关于x的方程：x2-2x+1-k〔x2-1〕=010．|2m-3|=1，试解关于x的方程3mx〔x+1〕-5〔x+1〕〔x-1〕=x211、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，假设按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此答复：〔1〕当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。〔2〕商店想在月销