元函数微分法及其应用

第八章多元函数微分法及其应用

教学目的:

1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。

2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。

3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和

充分条件，了解全微分形式的不变性。

4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

5、掌握多元复合函数偏导数的求法。

6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

8、了解二元函数的二阶泰勒公式。

9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二

元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多

元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

教学重点：

1、二元函数的极限与连续性；

2、函数的偏导数和全微分；

3、方向导数与梯度的概念及其计算；

4、多元复合函数偏导数；

5、隐函数的偏导数

6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；

7、多元函数极值和条件极值的求法。

教学难点：

1、二元函数的极限与连续性的概念；

2、全微分形式的不变性；

3、复合函数偏导数的求法；

4、二元函数的二阶泰勒公式；

5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；

6、拉格郎日乘数法；

7、多元函数的最大值和最小值。

§8.1多元函数的基本概念

一、平面点集n维空间

1.平面点集

由平面解析儿何知道，当在平面上引入了一个直角坐标系后，平面上的点尸与有序二元实数

组(x,y)之间就建立了一一对应.于是，我们常把有序实数组(X,y)与平面上的点P视作是等同的.

这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.

二元的序实数组(x,y)的全体，即R2=RxR={(x,y)|x,yeR}就表示坐标平面.

坐标平面11具有某种性质尸的点的集合，称为平面点集，记作

E={(x,y)|(x,_y)具有性质P}.

例如，平面上以原点为中心、，•为半径的圆内所有点的集合是

C={(.x,y)\x2+yi<^].

如果我们以点尸表示(x,y),以。尸|表示点P到原点。的距离，那么集合C可表成

C={P|\OP\<r].

邻域：

设Po(x(j,泗)是xOy平面上的一个点，S是某一正数.与点Po(x。,外)距离小于S的点P(x,y)的

全体，称为点尸。的5邻域，记为U(P0,“即

。(4⑷={尸11尸4|<毋或U(6,3)={(X,刈"(xf)2+(y-%)2<S}.

邻域的几何意义：U(Po,6表示X。平面上以点Po(xo,yo)为中心、3>0为半径的圆的内部的

点P(x,y)的全体.

点P。的去心6邻域,记作如,6),即

凯昂,"={尸|0<]蛤。|<毋.

注：如果不需要强调邻域的半径式则用。(P。)表示点外的某个邻域，点尸。的去心邻域记作

灰PQ).

点与点集之间的关系：

任意一点Pelf与任意一个点集EUR?之间必有以下三种关系中的一种：

(1)内点：如果存在点P的某一邻域U(P),使得U(P)uE,则称P为E的内点；

(2)外点：如果存在点P的某个邻域U(P),使得U(P)cE=0,则称P为E的外点；

(3)边界点：如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则称尸点为E的边

点.

E的边界点的全体，称为E的边界，记作

£的内点必属于E；E的外点必定不属于反而E的边界点可能属于E,也可能不属于E.

聚点：

如果对于任意给定的方0,点P的去心邻域方(P,3)内总有E中的点，则称P是E的聚点.

由聚点的定义可知，点集E的聚点尸本身，可以属于瓦也可能不属于E.

例如，设平面点集

E={(x,y)|l<x24y42}.

满足1<?记<2的一切点(X,用都是E的内点；满足x2+/=l的一切点(x,y)都是E的边界点，它们

都不属于E;满足/+/=2的一切点(x,y)也是£的边界点，它们都属于E;点集E以及它的界边3E

上的一切点都是E的聚点.

开集：如果点集E的点都是内点，则称£为开集.

闭集：如果点集的余集为开集，则称E为闭集.

开集的例子:E={(x,>>)|1<X2+V2<2}.

闭集的例子:E={(,x,y)\\<x2+y2<2}.

集合{。,力|1<^^242}既非开集，也非闭集.

连通性：如果点集E内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于E,则称E

为连通集.

区域(或开区域)：连通的开集称为区域或开区域.例如E={(x,y)|l<%24y<2}.

闭区域：开区域连同它的边界•起所构成的点集称为闭区域.例如£={(左乃|102+/42}.

有界集：对于平面点集E,如果存在某一正数厂，使得

EuU9、r),

其中O是坐标原点，则称E为有界点集.

无界集：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集.

例如，集合{(x,y)|l玄2+”42}是有界闭区域；集合{(x,y)|x+y>l}是无界开区域；

集合{(x,y)|x+y21}是无界闭区域.

2.n维空间

设〃为取定的•个自然数，我们用R"表示〃元有序数组⑺,X2,•••,/)的全体所构成的集合,

即

z,

R=RxRx---XR={(XI,X2,­••,x,,)\x/eR,/=1,2,•■n].

R"中的元素(X1,X2,…，X")有时也用单个字母x来表示,即X=(X1,X2,•…，X„).当所有的x,(z=l,2,

•••,〃)都为零时，称这样的元素为R"中的零元，记为。或。.在解析几何中，通过直角坐标,

R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应，因而R”中的元素4但,必，-

•,x,)也称为R"中的一个点或一个n维向量，斯称为点x的第i个坐标或〃维向量x的第i个分量.

特别地,R”中的零元0称为R"中的坐标原点或n维零向量.

为了在集合R"中的元素之间建立联系，在R"中定义线性运算如下：

设X=(X1,X2,…，x”),y=(xi,y2,…，%1)为R"中任意两个元素,AeR,规定

xty=(xi+yi,x2+yz,■■■,xn+y„),Ax=(AxhAx2,■■■,Ax„).

这样定义了线性运算的集合R”称为〃维空间.

R"中点X=(X|,X2,■■■,X”)和点…，丹)间的距离,记作p(x,y),规定

P（X,y）=J（X[一—）2+（工2-％）2+…+（X,一"）2.

显然,〃=1,2,3时，上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至.

3

R"中元素x=（xt,必,…，X"）与零元0之间的距离麻,0）记作|刈（在Ri、R2、R中,通常将IM

记作|x|）,即

|比||=收+川+…4.

采用这一记号，结合向量的线性运算，便得

l|x_yZ（Xif）2+（刀2_、2）2+…+（x“_y,,）2=0（x,y）.

在〃维空间R”中定义了距离以后，就可以定义R”中变元的极限：

设x=（xbx2,--,X„）,a=（a\,a2,---,%）wR”.

如果

1—0,

则称变元x在R"中趋于固定元a,记作xra.

显然，

x->a。X|-»ai,X2—>^2,•••,xn->a„.

在R”中线性运算和距离的引入，使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念，可以方便

地引入到〃（应3）维空间中来,例如,

设a=3,%•-，4）eR",醍某一正数，则n维空间内的点集

U（a,<5）=｛x|xeR",p（x,a）〈日

就定义为R"中点。的於B域.以邻域为基础，可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点，以及

开集、闭集、区域等一系列概念.

二.多元函数概念

例1圆柱体的体积V和它的底半径八高h之间具有关系

V=m^h.

这里,当八人在集合｛（乙6）|，>0,力>0｝内取定•对值&,/?）时，夕对应的值就随之确定.

例2一定量的理想气体的压强p、体积/和绝对温度T之间具有关系

其中R为常数.这里，当人T在集合｛（匕7）|户0,40｝内取定一对值（匕7）时,p的对应值就随之

确定.

例3设R是电阻R、2并联后的总电阻，由电学知道，它们之间具有关系

R]+7?2

这里，当R]、火2在集合｛（R,火2）⑶>0,&>0｝内取定一对值（尺1,火2）时，火的对应值就随之确定.

定义1设。是R?的一个非空子集，称映射为定义在。上的二元函数，通常记为

z/x,y),(x,(或z=flJP),PwD)

其中点集D称为该函数的定义域,x,y称为自变量,z称为因变量.

I：述定义中，与自变量X、夕的•对值(x,y)相对应的因变量z的值，也称为/在点(x,y)处的函

数值，记作外,刃，即

值域"(0={z|z=flx,y),(x,y)&D}.

函数的其它符号:z=z(x,y),z=g(x,y)等.

类似地可定义三元函数u=Ax,y,z),(x,y,z)^D以及三元以上的函数.

一般地，把定义1中的平面点集D换成n维空间R"内的点集D,映射/:OfR就称为定义

在。上的〃元函数，通常记为

u=f[x\,x2,­­­,x„),(xt,x2,•••,x„)eD,

或简记为

〃刁(x)，X=(X1,X2,…，X„)e£),

也可记为

u=f{P\P(xi,X2,…，x„)eZ).

关于函数定义域的约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数"=/(X)时，就以使这个算式有

意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域.因而，对这类函数，它的定义域

不再特别标出.例如，

函数z=\n(x+y)的定义域为{(x,y)|x+y>0}(无界开区域)；

函数z=arcsin(x2+y2)的定义域为{(》,夕)*+丁41}(有界闭区域).

二元函数的图形：点集{8弘2)忆女,月,8y)6。}称为二元函数家",夕)的图形，二元函数的

图形是一张曲面.

例如z=ax+"+c是一张平面，而函数z=x2+”的图形是旋转抛物面.

三.多元函数的极限

与一元函数的极限概念类似，如果在尸(匕回-凡仁。/。)的过程中，对应的函数值小,由无限接

近于一个确定的常数力，则称/是函数人x,y)当(x,y)->(x(),yo)时的极限.

定义2

设二元函数次尸)R(x,y)的定义域为仅尸0(孙,泗)是。的聚点.如果存在常数对于任意给定

的正数£总存在正数/使得当P(x,刃田时，都有

\f{P}-A\=\/{x,y)-A\<£

成立，则称常数/为函数人x,y)当(x,y)f(xo,泗)时的极限，记为

limf(x,y)^A,或“r,y)->A((x,y)-^(x0,泗))，

(Xj)T(XoJo)

也记作

lim/(尸)=Z或｛。)-4(尸一々).

PM

匕述定义的极限也称为二重极限.

例4.设/(x,y)=(x2+y2)sin，求证】加/(x,y)=O.

xJ+y?(x,y)f(O,O)

证因为

|/(x,^)-0|=|(x2+/)sin-0Hx2+/|-|sinJ_\<x2+y2,

x+y-x+y

可见VQO,MX3=4s,贝ij当

o<7(x-o)2+(y-o)2<^,

即尸(X,y)€Z)cb(O,乃时，总有

|Ax,y)-O|<£,

因此lim/(x,y)=O.

(XJ)T(O,O)

必须注意：

(1)二重极限存在，是指尸以任何方式趋于几时，函数都无限接近于4

(2)如果当尸以两种不同方式趋于0。时，函数趋于不同的值，则函数的极限不存在.

讨论：

孙—X2+户工0

函数/(3)=<x2+y2y在点。o)有无极限?

0x2-hy2=0

提示：当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时，

limf(x,y)=lim/(x,0)=lim0=0;

(x,y)—>(0,0)x-»0x->0

当点P(x,y)沿y轴趋于点。0)时，

limf(x9y)=lim/(O,歹)=lim0=0.

(x,y)-»(O,O)JTOyf0

当点尸(Xj)沿直线y=kx有

kx2k

lim产？lim,,,

(x,y)f(0,0)X2+Vx—OXZ+KZXZT+P

y=kx

因此函数/(x,刃在(0,0)处无极限.

极限概念的推广：多元函数的极限.

多元函数的极限运算法则：与一元函数的情况类似.

例5求1汕包宴也

(孙)—(0,2)X

解：lim包史必=lim酗弛lim刨效lim尸1x2=2.

(x,)，)r(0,2)X(x,y)f(0,2)xy(x,y)f(0,2)Xy(x,y)f(0,2)

四.多元函数的连续性

定义3设二元函数X尸)=f(x,y)的定义域为。，尸o(xo,泗)为。的聚点，且尸(代。.如果

limf(x,y)=f(x0,y0),

(Xj)f(Xo，%)

则称函数/a,y)在点尸0的,则)连续.

如果函数/(x,y)在。的每一点都连续，那么就称函数/(xj)在。上连续，或者称/(xj)是。

上的连续函数.

二元函数的连续性概念可相应地推广到〃元函数/(P)上去.

例6设兀卬)=sinx,证明―/)是Rn上的连续函数.

证设尸0(工0,次)£R2.TQO,由于sinX在Xo处连续，故三苏0,当|x-x()|〈附，有

|sinx-sinXQ\<£.

以上述M乍Po的阙域《尸0,①，则当P(x,y)eU(Po,3时，显然

|/(x,y)-f{xQ,^0)|=|sinx-sinxo|<£,

即./(x,y)=sinx在点Po(xo,yo)连续.由尸o的任意性知,sinx作为x,y的二元函数在R?上连续.

证对于任意的Po(xojo)€R2.因为

limf(x,y)-limsinx-sinx0=/'(XQ,^),

(x,y)TxoJo)・(3)->(而加

2

所以函数/(xy)=sinx在点Po(xo,yo)连续.由Po的任意性知,sinx作为的二元函数在R上连续

类似的讨论可知，一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时，它们在各自的

定义域内都是连续的.

定义4设函数外,用的定义域为D,PQ(X0,外)是D的聚点.如果函数/(x,y)在点Po(xo,则)不连

续，则称Po(xo/o)为函数7(x,y)的间断点.

例如

x2+y2^0

函数/(x,y)=1产、,

0》2+产=。

其定义域。=炉,<9(0,0)是。的聚点/x,y)当(x,y)f(0,0)时的极限不存在，所以点0(0,0)是该函

数的一个间断点.

又如，函数z=sinp1厂,其定义域为。={。,回*+丁力},圆周C={(x,y)|x2+/=i}上的点

xz+yz-1

都是。的聚点，而./(X,训在C上没有定义，当然兀v,y)在C上各点都不连续，所以圆周C上各点

都是该函数的间断点.

注：间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.

可以证明，多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分母不为零处仍连续;

多元连续函数的复合函数也是连续函数.

多元初等函数：与一元初等函数类似，多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数,

这个式子是由常数及具有不同自变量的•元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而

得到的.

例如7V,,sinatr),eM+V+z?都是多元初等函数.

l+yz

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或

闭区域.

由多元连续函数的连续性，如果要求多元连续函数人户)在点几处的极限，而该点又在此函数

的定义区域内，则

lim/(P)=/，).

例7求lim.

(x,y)f(l,2)xy

解：函数/是初等函数，它的定义域为

肛

Z)={(x,y)|xM,k0}.

尸o(l,2)为。的内点，故存在凡的某一邻域伙尸o)u£>,而任何邻域都是区域，所以U(尸°)是y)

的一个定义区域，因此

lim/(x,y)=/(l,2)=|.

(x,y)f02)2

一般地，求lim/(P)时，如果<P)是初等函数，且尸。是_XP)的定义域的内点，则人P)在点/

处连续，于是

lim/(P)=/(^).

例8求lim近壬1.

a,y)T(o,o)xy

解：lim=lim

(xj，)f(O,O)xy(x,y)->(0,0)孙(J初+1+1)(x,y)f(O,O)J肛+1+12

多元连续函数的性质：

性质1（有界性与最大值最小值定理）在有界闭区域。上的多元连续函数，必定在。上有界,

且能取得它的最大值和最小值.

性质1就是说，若/（P）在有界闭区域。上连续，则必定存在常数论0,使得对一切尸e£>,有

m<M-且存在尸I、PzeD,使得

/B）=max-P）|Pe0,<B）=min伏P）|Pw0,

性质2（介值定理）在有界闭区域。上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任

何值.

§8.2偏导数

一、偏导数的定义及其计算法

对于二元函数z=/（x,y）,如果只有自变量x变化，而自变量y固定，这时它就是x的一元函数,

这函数对x的导数，就称为二元函数z=/（x,由对于x的偏导数.

定义设函数z，（x,y）在点（Xo,%）的某•邻域内有定义，当y固定在泗而x在Xo处有增量Ax

时;相应地函数有增量

於0+心,外）-/0,泗）.

如果极限

lim/（/+—，-。）一/（X。，一。）

-Ax

存在，则称此极限为函数z,（x,y）在点（劭,/）处对x的偏导数，记作

x=x5Z

oo，A-^=^0x|r=x0，或人（工0,No）•

cx]

尸No\y=yoy=y0

例如

/（工0+©/0）-/（工0，为）

Zv(^yo)=*im

Axf0AAx

类似地，函数z=/（x））在点。0/0）处对^的偏导数定义为

lim/（凤，%+—）一/（刀0，为）

2ToAy

记作^-x=x0，4x=x°，Zyx=Xo,或水Xo,对.

°yy=y（＞°yy=y（＞y=%

偏导函数：如果函数z=/（x,乃在区域。内每•点（x,y）处对x的偏导数都存在，那么这个偏导

数就是x、y的函数，它就称为函数z/x，X）对自变量x的偏导函数，记作

,饕Z*,或―

xx

偏导函数的定义式：fx（x,y）=limf（+^y）-f（＞y）

类似地，可定义函数z=/（x,刃对y的偏导函数，记为

寮%,Zy,或.a,©.

偏导函数的定义式：/y（xj）=lim-工况+?）-/（*，0.

,Ay-＞0Ay

求李•时，只要把y暂时看作常量而对x求导数；求.时，只要把x暂时看作常量而对y求

dxdy

导数.

讨论：下列求偏导数的方法是否正确？

工仔,先）=＜（另历卜=%，/），［,为）=/；,（%,历卜修.

片为y=yo

£（而，%）=任/（%%）1,fy（xo,yo）=［，/历历］尸％.

偏导数的概念还可推广到二元以上的函数.例如三元函数R/（x,y,z）在点（x,y,z）处对x的偏导

数定义为

=Hm/（"—（3）,

Arf0Ax

其中（x,y,z）是函数乂z）的定义域的内点.它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题.

例1求2=/+3盯+/在点（1,2）处的偏导数.

解孕=2x+3y,冬=3x+2y.^X_.=2-M2=8,=34+2-2=7.

3xdydxdy乙

例2求z=x2sin2y的偏导数.

解率=2xsin2y,与=2/cos2y.

dxdy

例3设2=/口>0/。1),求证：工与+J，=2z.

ydxInxdy

证字=yx】T,^~=xyInx.

dxdy

—=—yxy~1+xyInx=xy+xy-2z.

ydx\nxdyyInx

例4求r=yjx2+y2+z2的偏导数.

解配x_=匕8二一—二

222r222r

dxylx+y+z力-y]x+y+z

例5已知理想气体的状态方程为pV=RT[R为常数）,

求证:>­»-

工国斗

证因为口=FRT，带dp=一R产T；

"P'3厂P'

「T_一P丁V‘衍ST斤，'

在7dpdvdTRTRVRT,

所以加为百=一万.万铲一”一

例5说明的问题：偏导数的记号是一个整体记号，不能看作分子分母之商.

二元函数z=/（x,y）在点（“。,外）的偏导数的几何意义：

£（xo,yo）=[Ax,yo）]J是截线z=/（x，w）在点Mo处切线G对x轴的斜率.

力。0,为）=g0,历1，,'是截线巴心。,内在点该处切线4对y轴的斜率.

偏导数与连续性：对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点

连续.例如

x2+y2^0

/(x,y)=

x2+y2=0

在点(0,0)有,〃0,0)=0,/(O,0)=0,但函数在点(0,0)并不连续.

提示：

/(x,0)=0,/(0,y)=0;

〃0,0)=£[./(%,0)]=0,4(0,0)=和'(0,朔=0.

当点P(x,历沿x轴趋于点(0,0)吐有

lim/(x,y)=lim/(x,0)=lim0=0;

(x,y)->(0,0)xf0xf0

当点P(x,y)沿直线尸船趋于点(0,0)时，有

因此，lim/(x,y)不存在，故函数,/(x,y)在(0,0)处不连续.

(xj)f(0,0)

类似地，可定义函数z=/(x,y)对夕的偏导函数，记为

偏导函数的定义式：A(x,y)=limJ(x，.+?)―/(x，y)

'A)foZ\y

二.高阶偏导数

设函数z=/(x,y)在区域D内具有偏导数

导〃”),导〃”)，

那么在。内人(x,y)、都是的函数.如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数

z亍(x,y)的二偏导数.按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数

如果函数z》＞,y)在区域。内的偏导数/(x,y)、也具有偏导数，

则它们的偏导数称为函数z=/(x,y)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的

不同有下列四个二阶偏导数

其中_4x(X,刃称为混合偏导数.

同样可得三阶、四阶、以及〃阶偏导数.

二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

例6设田-1,求察、富、矗和矗.

解=3x2y2-3y3-y,=2x3y-9xy2-x;

察=6孙2尊=6日

瀛=6x2k9俨-1,繇=6x2厂9产1.

由例6观察到的问题：雪-=第

oyoxoxoy

定理如果函数z=/(x,y)的两个二阶混合偏导数雪及备在区域。内连续，那么在该区

dydxoxoy

域内这两个二阶混合偏导数必相等.

类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数.

例7验证函数z=Inyjx2+y2满足方程

证因为z=ln而$=Jn(x2+y2),所以

dz_xdz_y

dxx2+y2，dyx2+j^2，

沃_+y2)r.2x_/_%2

dx2(x2+y2)2(x2+y2)2

$z_(7+)2)一歹・2》_/一产

dy2(x2+y2)2(x2+^2)2

/z02z_/一〃/一了2=

因此

dx2dy2(x2+y2)2(x2+y2)2

例8.证明函数〃满足方程驾+粤+强=0,

rdxzdy1dzz

其中r=^x2^-y2+z2.

fdu1dr1xx

dxr2dxr2r/，

22

-d---u-_-——1—t—,—3x•—dr__——1,-3--x-

dx2---r3r4dx9r5

rmd2u1,3y2d2u13z2

M何理源=一R+了,数=一再十9.

因此杂+普+普=T+岑)+T+¥)+T+号

oxdyoz尸rrrr尸

3(x2+_y2+z2)_3

---------二下+了

F6

§8.3全微分及其应用

一、全微分的定义

根据•元函数微分学中增量与微分的关系，有

偏增量与偏微分：

/(x+Ax,刃4(x,y)Ax,

_/(x+Ar,y)T(x,用为函数对x的偏增量为函数对x的偏微分；

jkx,y+\y)-fix,y)=fv(x,y)Ay,

7(x,y+AyA/(x,y)为函数)对y的偏增量，4(x,y)Ay为函数对y的偏微分.

全增量：AZ="/(X+AA-,y+\y)-f[x,y\

计算全增量比较复杂，我们希望用At、缈的线性函数来近似代替之.

定义如果函数z=/(x,y)在点(x,y)的全增量

Az=/x+Ax,y+\y)-fix,y)

可表示为

Az=4Ax+8毋+0(/7)(/?=J(AJC)2+©)2),

其中4、8不依赖于Ax、Ay而仅与x、y有关，则称函数z=y(x,y)在点(x,y)可微分，而称NAr+BAy

为函数z，(x,y)在点(x,y)的全微分，记作沿，即

dz-Al^x+B\y.

如果函数在区域。内各点处都可微分，那么称这函数在。内可微分.

可微与连续：可微必连续，但偏导数存在不淀连续.

这是因为，如果zMx,y)在点(x,y)可微，则

Az=/(x+Ax,y+\y)-j{x,y)=A\x+B\y+o{p),

于是limAz=O,

p->0

从而lim/(x+Axj+4y)=lim[f(x,y)+Az]=/(x,y).

(AMy)f(O,O)070

因此函数z=f[x,y)在点(x,y)处连续.

可微条件：

定理1(必要条件)

如果函数射力在点(Q)可微分,则函数在该点的偏导数柒等必定存在，且函数Z*

y)在点(苍y)的全微分为

必二声叔+第4y.

dxdyz

证设函数z机x,力在点P(x,y)可微分.于是，对于点P的某个邻域内的任意-点P

y+绿)，有Az=AAx+^Ay+<9(p).特别当Ay=O时有

/(x+Ax,y)=ZAx+o(|Ar|).

上式两边各除以At,再令Axf0而取极限，就得

lim/(x+Ax,、)-/(xj)=」,

Ax->0Ax

从而偏导数率存在，且冬=4.同理可证偏导数与存在，且牛=8.所以

oxoxdydy

*噜盘+^y,

简要证明：设函数z寸(x,力在点(x,y)可微分.于是有Az=AAx+B^y+o(p).特别当勺H0时有

/(x+Ax,y)-j{x,y)=/Ax+0(|Ax|).

上式两边各除以右，再令AcfO而取极限，就得

皿，

lim/(x+Ax,y)-/(x^)=Hm[Z+3

-->0AxA—oAX

从而震存在，且生=4.同理生存在，且事=反所以必="—+军

oxoxdydyoxdy

偏导数离、与存在是可微分的必要条件，但不是充分条件.

dxdy

例如，

肛x2+y2^0

22

函数/(x,y)=<yjx+y在点(0,0)处虽然有A(0,0)=0及0)=0,但函数在

0X2+y2=0

(0,0)不可微分,即Az-[/；(O,O)Ax乜(0,0)切不是较p高阶的无穷小.

这是因为当(Ax,修)沿直线y=x趋于(0,0)时，

Az-"；(0,0)&+./；,(0,0)3]_©・A=Ar&=j_R0

P(Ax)2+(Z\y)2-(AX)2+(AX)2~2

定理2(充分条件)

如果函数z=/a,y)的偏导数冬、冬在点(X,y)连续，则函数在该点可微分.

oxdy

定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数.

按着习惯,Ar、8分别记作小、dy,并分别称为自变量的微分,则函数z=/(x,y)的全微分可写

作

dz=^-dx+^-dy.

dxdyJ

二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理.叠

加原理也适用于二元以上的函数，例如函数〃y(x,%z)的全微分为

du=^dx+"dy+"dz.

dxdy7dz

例1计算函数z=fy+y2的全微分.

解因为李=2盯,孚=/+2y,

dxdy

所以dz=2xydx+(x2+2y)dy.

例2计算函数z=/在点(2J)处的全微分.

解因为李=涧%”=旄巴

dxdy

wdz\r_八2'&＜：r_力’

所以dz=e2dx+2e2dy.

例3计算函数〃=x+sin4+e股的全微分.

解因为普=1,%=]cos*+zek,孚=”产，

oxdy22dz

所以du=dx+(^cos^+zeyz)dy+yey，zdz.

*二、全微分在近似计算中的应用

当二元函数z=〃x,y)在点P(x,y)的两个偏导数人(x,y)/,(x,y)连续，并且[Ar|,4|都较小时,

有近似等式

Az«dz=fx(x,y)/^x+fy(x,y)Ay,

即f(x+\x,y+\y)y)+fx(x,y)^x+fy(x,y)\y.

我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算.

例4有一圆柱体，受压后发生形变，它的半径由20cm增大到20.05cm,高度由100cu减少

到99cm.求此圆柱体体积变化的近似值.

解设圆柱体的半径、高和体积依次为八h和V,则有

V=7rr'h.

已知=20,〃=100,A=0.05,△〃=-1.根据近似公式，有

AV^dV=V,Ar+勿M=2m-h\r+7ti^\h

3

=2^x20x100x0.05+TZX20~X(-1)=-200兀(cm).

即此圆柱体在受压后体积约减少了200乃cn?.

例5计算(1.042°2的近似值.

解设函数/(x,y)=x'.显然，要计算的值就是函数在x=l.04,片2.02时的函数值/(1.04,2.02).

JUx=l,y=2,Ar=0.04,Ay=0.02.由于

/(x+Ax,y+\y)^j[x,y)+fx(x,y)^x+fy(x,y)\y

=xv+^x'_1Ar+xvlnxAy,

所以

(1.04)2.02«12+2x12-1x0.04+l2xln1x0.02=1.08.

例6利用单摆摆动测定重力加速度g的公式是

现测得单摆摆长/与振动周期7分别为/=100±0.1cm,亡2±0.004s.问由于测定/与T的误差而引

起g的绝对误差和相对误差各为多少？

解如果把测量/与T所产生的误差当作与|△几则利用上述计算公式所产生的误差就是

二元函数8=答的全增量的绝对值|Ag|.由于|A/|,公7]都很小，因此我们可以用衣来近似地代替

△g.这样就得到g的误差为

双忖囱噜△/+易M

=4/(表为+圣乃)，

其中向与多为/与7的绝对误差.把/=100,八=2,淤0.1,(5产0.004代入上式，得g的绝对误差约为

或=4/(空+^^x0.004)

=0.5/=4.93(cm/s2).

金=0.5万2

=0.5%.

g4/xl00

从上面的例子可以看到,对于一般的二元函数z=/（x，v）,如果自变量x、y的绝对误差分别为£、

8y,即

|Ax区位的|<4

则z的误差

加忖心月自AX+辱

dxdy

啮・3+摩•⑻

嚷吟崎知

从而得到Z的绝对误差约为

Z的相对误差约为

§8.4多元复合函数的求导法则

设z=^u,V）,而u=Z）,v=W）,如何求-J-?

dt

设z=fiu,V）,而〃=岭,刃,v=%J）,如何求昌和宇？

dxdy

1.复合函数的中间变量均为一元函数的情形

定理1如果函数”的）及V="r）都在点/可导，函数z=A〃j）在对应点（巩射）具有连续偏导数,

则复合函数Z=/［四），画）］在点t可导，且有

dz_bzdu।dzdv

dtdudtdvdt

简要证明1:因为z=/(〃,v)具有连续的偏导数，所以它是可微的，即有

dz=^-du+^-dv.

8udv

又因为”=依)及y=W)都可导，因而可微，即有

du-^-dt,dv=^-dt,

atat

代入上式得

出

八

*&出&

一

+一

区..

加

流

力av

出

&&出

+一

-了.

awav血

简要证明2:当t取得增量M时,〃、v及z相应地也取得增量△〃、△丫及Az.由

及片次/)的可微性，有

&=舁4〃+学八丫+。(夕)=?[当△/+<)(△/)]+孕[与△/+<>(△/)]+&/?)

oudvcuatdvat

=(条穿+攀当加+年+韵。(加)+。(夕),

ouatovatoudv

M=dzdu、dz出/z।3z)o(A。।o(4)

△tdudtdvdtdudvA/A/'

令加-0,上式两边取极限，即得

dz_dzdu^dzdv

dtdudtdvdt

注：Hm迎Llim皿JO")?>3J。®2+(约

A/-»OA/A/f。pA/\dtdt

推广:设z=f(w,v,w),〃=dt),□="/),廿=或。，则z=^[(p(t)9MJ),以对t的导数为:

dzdzdu,dzdv,dzdw

——------------1-------------1-------------.

dtdudtdvdtdwdt

上述华称为全导数.

2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形

定理2如果函数〃=贝"),v=Mx,y)都在点(x,y)具有对x及y的偏导数，函数z4。y)在对应

点(凡功具有连续偏导数，则复合函数在点(x,y)的两个偏导数存在，且有

dz_dzdudzdv&_Bz0〃8zdv

dxdudxdvdx9dydudydvdy'

推广:设z=f{u,V,w),〃=a"),V=%,y),w=0(x,y),则

dz_dzdu^dzdvdzdwdz_dzdu।dz加।dz

dxdudxdvdxdwdx'dydudydvdydwdy

讨论:

(1)设月(z/,y),〃=贝r,y),v=M>0,则容=?好=?

oxdy

提示：辿=生迦,次=生电+生曲.

dxdudx'dydudydvdy

(2)设zm(z/,x,y),且〃=%,y),则与=?李=?

dxdy

提示:条枣粤+筌,与乌雪雪

dxdudxdxdydudydy

这里事与半是不同的，经是把复合函数zR［ax,y),x,川中的y看作不变而对X的偏导数,

dxdxdxdx

是把W〃,x,y)中的〃及y看作不变而对x的偏导数.李可学也朋类似的区别.

dydy

3.复合函数的中间变量既有一元函数，乂有多元函数的情形

定理3如果函数2/=dx,歹)在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数v=M>)在点V可导，函数

V)在对应点(〃,U)具有连续偏导数，则复合函数2习［a¥)),风”)］在点(x,y)的两个偏导数存在,

且有

dz_dzdudz_bzdu।azdv

dxdiidx'dydudydvdy

例1设z=ewsinv,u=xy,v=x+y,求冬和零.

dxdy

dzdzdu.dzdv

dxdudxdvdx

=ewsinv-^+ecosvl

=e:y[ysin(x4^)+cos(x-i^)],

dz_bzde।Hz3y

dy~~du'dy~dv'dy

=e"sinv-x+ez/cosv-1

=exy[xsin(x-F^)+cos(x-^)].

2

例2设〃=/(x,y,z)=/+产+z?,Jfgz=xsin>y.求丝和”.