江西省南昌三中教育集团2024-2025学年九年级上学期第一次摸底数学试卷

2024-2025学年江西省南昌三中教育集团九年级（上）第一次摸底数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列选项中，能使关于x的一元二次方程一定有实数根的是(

)A. B. C. D.2.把抛物线向左平移2个单位、向下平移1个单位后得到的抛物线是(

)A. B. C. D.3.已知一个二次函数图象经过，，，，其中，则，，中最值情况是(

)A.最小，最大 B.最小，最大 C.最小，最大 D.无法判断4.若函数的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为(

)A.或3 B.或 C.1或或3 D.1或或5.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(

)A. B.

C. D.6.抛物线的对称轴为直线，其部分图象交x轴负半轴交于点A，交y轴正半轴于点B，如图所示，则下列结论：

①；

②；

③为任意实数；

④点是该抛物线上的点，且

其中正确的有(

)A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.①②③④二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。7.用配方法解方程，经过配方，得到______.8.若方程有两个相等的实数根，则______.9.若一元二次方程的两根为，，则的值为______.10.若m，n是方程的两个实数根，则的值为______.11.二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，若抛物线与y轴交于点A，则抛物线与x轴正半轴上的交点坐标为______.

12.定义为函数的“特征数”．如函数的特征数为，函数的特征数为，若特征数为的函数图象与x轴只有一个交点，则a的值为______.三、计算题：本大题共2小题，共12分。13.解方程

14.解方程：

；

四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题6分

已知关于x的一元二次方程

若是方程的一个根，求实数m的值；

求证：方程总有两个不相等的实数根.16.本小题6分

新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量为20万台，2022年出口量增加到45万台.

求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？

按照这个增长速度，预计2023年我国新能源汽车出口量为多少？17.本小题6分

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点C，A分别在x轴，y轴上，经过A，C两点的抛物线交x轴于另一点D，连接请仅用无刻度的直尺完成以下作图．保留作图痕迹

在图1中的抛物线上找出点E，使；

在图2中的抛物线上作出该抛物线的顶点

18.本小题8分

已知：二次函数中的x和y满足下表：x…012345…y…300m8…可求得m的值为______；

求出这个二次函数的解析式；

当时，则y的取值范围为______.19.本小题8分

某商家销售一种成本为20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量件与当天的销售单价元/件满足一次函数关系，并且当时，；当时物价部门规定，该商品的销售单价不能超过52元/件．

求出y与x的函数关系式；

问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元？

当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润．20.本小题8分

如图，已知抛物线与x轴交于点

求m的值和顶点M的坐标；

求直线AM的解析式；

根据图象，直接写出当时x的取值范围．

21.本小题9分

阅读下列材料并解决问题

【问题】解方程：；

【提示】可以用“换元法”解方程．

解：设，则原方程为，解得，舍去

所以，，

【解决问题】

解方程

关于x的方程恰好有3个不相等的实数根满足此方程，求m的值．22.本小题9分

如图，已知抛物线的顶点为，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，CF交y轴于点，且矩形的面积为

此抛物线的解析式.

点P是x轴上一点，若为等腰三角形，请直接写出P点坐标.23.本小题12分

如图所示，已知抛物线与一次函数的图象相交于，两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点.

求抛物线和一次函数的解析式；

当点P在直线AB上方时，求出面积最大时点P的坐标；

是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由.

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：当时，方程不是一元二次方程，故选项A错误；

当，时，方程没有实数根，故选项C错误；

当，时，方程没有实数根，故选项D错误；

当时，

一元二次方程一定有实数根．

故选：

根据根的判别式，逐个判断得结论．

本题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式2.【答案】B

【解析】解：原抛物线的顶点为，向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为

可设新抛物线的解析式为

故选：

根据二次函数图象的平移规律左加右减，上加下减进行解答即可．

主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．3.【答案】A

【解析】解：，，且，

该二次函数的对称轴为：

，，且，

在对称轴左侧，即时，y随x的增大而增大．

，，中，，

故选：

利用推导出函数的对称轴，根据可知y随x的增大而增大可判断，，中的最值情况．

本题考查二次函数的增减性，熟练掌握二次函数增减性是突破本题的关键．4.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．

根据和两种情况，根据一次函数的性质、二次函数与方程的关系解答．

【解答】解：当时，函数解析式为：是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点，

当时，函数为二次函数，

函数的图象与x轴有且只有一个交点，

，

解得，或

故选5.【答案】D

【解析】解：在A中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项A错误；

在B中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项B错误；

在C中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项C错误；

在D中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项D正确；

故选：

根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题．

本题考查二次函数的图象和一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是根据函数图象判断a、b的正负情况．6.【答案】A

【解析】解：抛物线与x轴有2个交点，

，①正确．

抛物线对称轴为直线，

，

，②正确．

抛物线开口向下，对称轴为直线，

时y取最大值，

，

，③正确．

，

，④错误．

故选：

由抛物线与x轴的交点个数可判断①，由抛物线对称轴为直线可判断②，由抛物线开口向下及对称轴为直线可得，从而判断③，根据各点与对称轴的距离大小可判断④．

本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．7.【答案】

【解析】解：把方程，的常数项移到等号的右边，得到，

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到

配方得

故答案为：

把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方．

本题考查了解一元二次方程--配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：

形如型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．

形如型，方程两边同时除以二次项系数，即化成，然后配方．8.【答案】

【解析】解：根据题意得，

解得

故答案是：

利用根的判别式的意义得到，然后解方程即可．

本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．9.【答案】

【解析】解：一元二次方程的两根为，，

；

则

故答案为：

直接根据根与系数的关系得出、的值，再代入计算即可．

本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，10.【答案】2043

【解析】解：，n是方程的两个实数根，

，，，

，，

故答案为：

由m，n是方程的两个实数根可得：，，，代入所求式子即可得到答案．

本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用．11.【答案】

【解析】解：抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线对称轴为直线，

抛物线与x轴另一交点坐标为，

故答案为：

由抛物线与x轴交点坐标为及抛物线的对称轴求解．

本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的对称性，解题关键是掌握二次函数的性质．12.【答案】0或

【解析】解：由题意可得特征数为的函数为，

当时，函数为一次函数，符合题意，

当时，函数为二次函数，当时符合题意，

解得，

故答案为：0或

由特征数可得函数解析式，分别讨论函数为一次函数及二次函数，根据二次函数图象与系数的关系求解．

本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是理解题意，掌握二次函数图象与系数的关系．13.【答案】解：方程移项得：，

配方得：，即，

开方得：，

解得：，；

方程移项得：，

配方得：，即，

开方得：，

解得：，

【解析】各方程整理后，利用配方法求出解即可．

此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．14.【答案】解：，

，

，

，

，

，

，

，

或，

，

【解析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法，配方法，公式法，直接开平方法．

移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．15.【答案】解：将代入原式，得；

解得；

证明：，

原方程总有两个不相等的实数根；

【解析】把方程的一个根代入，计算即可求m的值；

根据关于x的一元二次方程的根的判别式的符号来判定该方程的根的情况．

本题考查了一元二次方程的解的定义，根的判别式．一元二次方程为常数的根的判别式为当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．16.【答案】解：设年平均增长率为x，

根据题意可列方程：，

解得：，不合题意舍去，

答：2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是；

由得，万，

答：预计2023年我国新能源汽车出口量为万辆．

【解析】根据2020年某款新能源车销售量为20万辆，到2022年销售量为45万辆，若年增长率x不变，可得关于x的一元二次方程；

利用中所求，进而利用2023年出口量年出口量增长率，即可得出答案．

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17.【答案】解：如图，点E即为所求．

如图，点F即为所求．

【解析】如图1中，延长BA交抛物线于点E，连接DE，即可．

如图2中，作直线AC，直线DE交于点R，连接AD，CE交于点T，作直线RT交抛物线于点F，点F即为所求．

本题考查作图-复杂作图，抛物线的性质，轴对称的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握抛物线的轴对称性，灵活运用所学知识解决问题．18.【答案】

【解析】解：根据题意得：，

解得：，

则函数的解析式是：，

当时，；

函数的顶点坐标是：，

当时，则y的取值范围为：

故答案是：3；

把表中的三个点，，代入函数的解析式，得到关于a，b，c的方程组，即可求得解析式，把代入即可求得m的值；

根据函数的图象开口方向，增减性即可确定．

本题考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，理解函数的增减性是关键．19.【答案】解：设，

根据题意可得，

解得，

则；

根据题意，得，

整理，得，

解得，，

销售单价最高不能超过52元/件，

，

答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元；

利润

，

当时，w取最大值为：9000，

故当销售单价定为50元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，其最大利润为9000元．

【解析】利用待定系数法求解可得；

根据“总利润=单件利润销售量”可得关于x的一元二次方程，解之即可得；

利润，即可求解．

本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．20.【答案】解：抛物线与x轴交于点，

，解得：，

抛物线解析式为，

，；

设直线AM的解析式，

过点和点，

，解得：，

直线AM的解析式；

由图象可知，当时，或

【解析】本题考查了用待定系数法求函数解析式，以及二次函数顶点式的转化，利用数形结合的思想、灵活运用所学知识是解题关键．

将点A坐标代入抛物线解析式中即可求得m的值，再将抛物线解析式化为顶点式，一次即可解答；

设直线AM的解析式，根据待定系数法即可求解；

根据图象即可得到结果．21.【答案】解：，

设，则原方程为，

解得：，舍去，

当时，，

，

，

，

所以，

解得：，，

经检验：，是原方程的解．

设，，

因为原方程有三个实数解，

所以与的图象有三个交点，

由图知，

【解析】本题考查方程的解法，换元法和图象法是求解本题的关键．

先换元，转化为一元二次方程求解．

数形结合，将方程的解转化为函数图象相交问题，求m的值．22.【答案】解：抛物线的顶点为，

抛物线的对称轴为y轴，

四边形CDEF为矩形，

、F点为抛物线上的对称点，

矩形其面积为32，，

，

点的坐标为，

设抛物线解析式为，

把代入得，解得，

抛物线解析式为；

设

①当时，点P在线段CF的垂直平分线上，此时点P与点O重合，其坐标是；

②当时，，解得，所以此时点P的坐标