江西省宜春市上高二中2024-2025学年高二上学期第一次月考试题 数学含答案

江西省宜春市上高二中2024-2025学年高二上学期第一次月考试题数学2026届高二年级第一次月考数学试卷--2026届高二年级第一次月考数学试卷--届高二年级第一次月考数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．空间直角坐标系中，点到坐标平面的距离为（

）A．2 B． C．3 D．42.若m，n，l为三条不同的直线，，为两个不重合的平面，则下列命题正确的是（

）A．如果，，则B．如果，，，，则C．如果，，则D．如果，，，则3．设复数满足，则复数（

）A． B． C． D．4．将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（

）A． B． C． D．5．在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（

）A． B．C． D．6．大数学家欧拉发现了一个公式：，是虚数单位，为自然对数的底数.此公式被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，（

）（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）A．1B．C．iD．如图，在三棱柱中，底面ABC，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（

）A．1:2 B．4:5 C．4:9 D．5:78.已知是面积为等边三角形，其顶点均在球的表面上，当点在球的表面上运动时，三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分）9．已知向量，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．的最小值为 D．的最大值为410．下列有关复数的说法正确的是（）A.若是关于的方程的一个根，则B.若，则点的集合所构成的图形的面积为C.若是复数，则一定有D.若，则11．如图，已知正方体的棱长为，则下列选项中正确的有（

）异面直线与的夹角的正弦值为B．二面角的平面角的正切值为C．四棱锥的外接球体积为D．三棱锥与三棱锥体积相等三、填空题（本题共3小题，每小题5分,共15分）12.在复数范围内，方程的虚数根是(写出一个即可)13．已知点、，C为线段AB上一点，若，则点C的坐标为．14.已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为1:2,其内切球的半径为1,则该正四棱台的侧面积为四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.本小题13分已知直三棱柱中，，点D是AB的中点．（1）求证：平面；（2）若底面ABC边长为2的正三角形，，求三棱锥的体积．16.本小题15分已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）.(1)设复数，求；(2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.17.本小题15分如图，在正四棱锥中，底面是边长为的正方形，与的交于点，，是边上靠近的三等分点．

(1)设，，，用，，表示向量；(2)在如图的空间直角坐标系中，求向量的坐标．18.(本小题17分)如图,为圆柱O0'的轴截面，是圆柱上异于AD,BC的母线.(1)证明:平面:(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值.19.(本小题17分)图1所示，在矩形中，，，点为上一点，，现将沿折起，将点折到点位置，使得点在平面的投影落在线段上，得到如图2所示的空间几何体．（1）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.（2）求二面角的大小．2026届高二年级第一次月考数学试卷答案题号12345678答案CCABDDDA题号91011答案ACABDACD13.14.181．C【分析】由空间直角坐标系中点的坐标的定义即可求解.【详解】空间直角坐标系中，点到坐标平面的距离即为竖坐标3.故选：C2【答案】C【详解】A：当时，才能由，，得到，所以本选项命题是假命题；B：只有当，时才能由，，得到，所以本选项命题是假命题；C：根据面面平行的性质可知本选项命题是真命题；D：因为，，，所以直线m，n没有交点，因此m，n可以平行也可以异面，所以本选项命题是假命题，故选：C3．A【分析】根据复数的运算法则及共轭复数的概念求得复数.【详解】，∴，故选：A.4．B【详解】如图所示，设此圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.则πr2+πrl＝36π，化为：r2+rl＝36，2πr＝l•，可得l＝3r.解得：r＝3，l＝9，h6.该圆锥的轴截面的面积S•2r•h＝rh＝3×618.故选：B.D【详解】连接，因为是线段的中点，所以因为，所以所以故选：D6．D【详解】因为，所以，故选：D.7．D【详解】不妨令，且上下底面等边三角形，又底面ABC，易知为直三棱柱，即侧面为矩形，所以三棱柱体积，而，故，所以，故，所以.故选：D8【答案】A【解析】【分析】作出图形，结合图形知，当点P与球心O以及△ABC外接圆圆心M三点共线且P与△ABC外接圆圆心位于球心的异侧时，三棱锥的体积取得最大值，结合三棱锥的体积求出三棱锥的高h，并注意到此时该三棱锥为正三棱锥，利用,求出球O的半径R，最后利用球体的表面积公式可求出答案．【详解】如图所示，设点M为外接圆的圆心，当点三点共线时，且分别位于点的异侧时，三棱锥的体积取得最大值.因为的面积为，所以边长为3，由于三棱锥的体积的最大值为，得，易知SM⊥平面ABC，则三棱锥为正三棱锥，的外接圆直径为，所以,设球O的半径为R，则,解得,所以球的表面积为.故选：A9．AC【详解】对于A，若，且，则存在唯一实数使得，即，则，解得，故A正确；对于B，若，则，即，化简得，因为，所以无实数解，故B错误；对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误.故选：AC.10在A中，若点Z的坐标为，则，所以，整理得，所以，解得，所以，故A正确；B中，记，则所以，圆的面积为，圆的面积为，所以点的集合所构成的图形的面积为，故B正确.C：当，则，而，显然不成立，错误；D：令，，则，故，又，，则，所以，正确.11ACD【详解】对于A，∵，中，就是异面直线所成的角，，则，A正确；对于B，连接交于点O，连接，

∵平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD，又BD⊥AO，，平面，∴BD⊥平面∵平面，∴BD⊥，∴为二面角的平面角，在中，，B不正确；对于C，∵正方体外接球的半径，∴正方体的外接球体积为，C正确；对于D，∵，三棱锥的高与三棱锥的高相等，底面积，故三棱锥与三棱锥体积相等，D正确.故选：ACD.13．【详解】，，得，，即点的坐标为.故答案为：.14.1815.【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】（1）连接交于点E，连接DE∵四边形是矩形，∴E为的中点，又∵D是AB的中点，∴，又∵平面，平面，∴面．（2）∵，D是AB的中点，∴，又∵面ABC，面ABC，∴．又∵面，面，，∴面，∴CD为三棱锥的高，，又∵，，∴，，∴三棱锥的体积．16【答案】(1).(2)【详解】（1）解：因为，则，所以，为纯虚数，所以，，解得.解：，因此，.（2）解：因为，则，因为复数在复平面内对应的点位于第一象限，则，解得.因此，实数的取值范围是.17．(1)；(2).【详解】（1）