八年级上册数学知识点提升练习02-全练版：13.3.2　等边三角形

第十三章轴对称13.3等腰三角形13.3.2等边三角形基础过关全练知识点1等边三角形的概念及性质1.如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E,P为线段AE上任意一点.若∠DPE=80°,则∠PDE的度数为(M8113005)()A.20°B.40°C.60°D.100°2.(2021江苏盐城东台期中)如图,等边△ABC的两条中线BD、CE交于点O,则∠BOC=.

3.如图,点D,E,F分别为等边△ABC三边AB,BC,AC上的动点,当△DEF为等边三角形时,AD=3,则线段CF的长为.

4.【教材变式·P93T13】如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,连接DE,使DB=DE.(M8113005)(1)求∠BDE的度数;(2)求证:△CED为等腰三角形.知识点2等边三角形的判定5.在△ABC中,AB=AC,添加下列条件不能判定△ABC是等边三角形的是()A.∠A=60°B.AC=BCC.∠B的补角等于∠C的补角D.AB边上的高也是AB边上的中线6.由于木质衣架没有柔韧性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小明设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,套进衣服后松开即可.如图,OA=OB=20cm,当衣架收拢时,∠AOB=60°,此时A,B两点之间的距离是cm.

7.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AB=5,BE平分∠ABD,AE∥BD交BE于E,则△ABE的周长是.(M8113005)

8.(2022天津师大附中期末)等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,则△APQ是什么形状的三角形?试说明你的结论.(M8113005)知识点3含30°角的直角三角形的性质9.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,AD⊥BC于D,则BD与BC的数量关系为()A.BC=2BDB.BC=3BDC.BC=4BDD.BC=5BD10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=4,等边△CDE的顶点E,D分别在线段AB,BC上,则CD的长为()A.1B.2C.3D.411.(2021广东广州现代学校期末)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为.

12.【新独家原创】如图,校园内有一棵大树AB,大树旁边有一栋教学楼CD,且CD=6.6米,站在楼顶C处,测得点B的仰角为30°,点A的俯角为30°,AC=BC,AD∥EC,则大树AB的高度为.

能力提升全练13.(2022海南中考,9,★★☆)如图,直线m∥n,△ABC是等边三角形,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F,若∠1=140°,则∠2的度数是(M8113005)()A.80°B.100°C.120°D.140°14.(2021湖南益阳中考,7,★★☆)如图,AB∥CD,△ACE为等边三角形,∠DCE=40°,则∠EAB等于(M8113005)()A.40°B.30°C.20°D.15°15.(2021广东广州中考,13,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E,连接BD.若CD=1,则AD的长为.

16.(2020江苏常州中考,15,★★☆)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F.若△AFC是等边三角形,则∠B=°.

17.(2023山东青岛联考,16,★★☆)如图所示的是某种落地灯的简易示意图,AB为立杆,BC为支杆,可绕点B旋转,DE为悬杆,滑动悬杆可调节CD的长度.为了使落地灯更方便学习时的照明,小唯将该落地灯进行了调整,使悬杆的CD部分的长度与支杆BC的长度相等,且∠BCE=120°.若CD的长为50cm,则此时B,D两点之间的距离为cm.

18.(2022江西临川一中期中,21,★★☆)在等边三角形ABC中,点E在AB边上,点D在CB的延长线上,且DE=EC.(M8113005)(1)如图1,当E为AB的中点时,求证:BC=2BD;(2)如图2,若AB=12,AE=2,求CD的长.图1图219.(2021山东东营实验学校期末,23,)在复习课上,老师布置了一道思考题:如图所示,点M、N分别在等边△ABC的BC、CA边上,且BM=CN,AM、BN交于点Q,求证:∠BQM=60°.(M8113005)(1)请你完成这道思考题;(2)做完(1)后,同学们在老师的启发下进行了反思,提出许多问题,譬如:①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换,得到的是否仍是真命题?②若将题中的点M,N分别移动到BC,CA的延长线上,是否仍能得到∠BQM=60°?请你选择其中一个问题,并画出图形,给出证明.素养探究全练20.【几何直观】(2022山东日照实验中学期中)如图,点O是等边△ABC内一点,D是△ABC外的一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,△BOC≌△ADC,∠OCD=60°,连接OD.(1)求证:△OCD是等边三角形;(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;(3)△AOD能否为等边三角形?为什么?(4)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形.

答案全解全析基础过关全练1.B∵△ABC是等边三角形,∴∠C=60°,∵DE∥BC,∴∠PED=∠C=60°,∵∠DPE=80°,∴∠PDE=180°-∠PED-∠DPE=40°,故选B.2.答案120°解析∵△ABC是等边三角形,BD、CE是中线,∴BD⊥AC,∠ACE=12∠ACB=30°,∴∠BDC=90°∴∠BOC=∠ODC+∠ACE=120°,故答案为120°.3.答案3解析∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠C=60°,∴∠ADF+∠AFD=180°-∠A=120°,∵△DEF是等边三角形,∴DF=EF,∠DFE=60°,∴∠AFD+∠EFC=180°-∠DFE=120°,∴∠ADF=∠EFC,∴△ADF≌△CFE(AAS),∴CF=AD=3.4.解析(1)∵DB=DE,∴∠E=∠DBE,∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=∠ABC=60°,∵BD是AC边上的高,∴∠DBC=30°,∴∠E=∠DBE=30°,∴∠BDE=180°-30°-30°=120°.(2)证明:∵∠ACB=60°,∠E=30°,∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°,∴∠CDE=∠E,∴CD=CE,∴△CED是等腰三角形.5.CA.当AB=AC,∠A=60°时,△ABC是等边三角形,故本选项不符合题意;B.当AB=AC,AC=BC时,AB=AC=BC,则△ABC是等边三角形,故本选项不符合题意;C.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B的补角等于∠C的补角,∴当∠B的补角等于∠C的补角时,不能判定△ABC是等边三角形,故本选项符合题意;D.当AB边上的高也是AB边上的中线时,CA=CB,∴AB=AC=BC,∴△ABC是等边三角形,故本选项不符合题意.故选C.6.答案20解析如图,连接AB.∵OA=OB,∠AOB=60°,∴△OAB是等边三角形,∴AB=OA=20cm.故答案为20.7.答案15解析∵∠ABC=60°,∴∠ABD=180°-60°=120°,∵BE平分∠ABD,∴∠ABE=∠DBE=60°,∵AE∥BD,∴∠EAB=∠ABC=60°,∴∠ABE=∠EAB=60°,∴△ABE是等边三角形,∴AB=BE=AE=5,∴△ABE的周长是AB+BE+AE=15.8.解析△APQ为等边三角形.证明:∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC.在△ABP与△ACQ中,AB∴△ABP≌△ACQ(SAS).∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°,∴△APQ是等边三角形.9.C∵∠BAC=90°,∠C=30°,∴BC=2AB,∠B=180°-∠BAC-∠C=60°,∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=30°,∴AB=2BD,∴BC=4BD.故选C.10.B∵△CDE为等边三角形,∴∠ECD=60°,CE=CD,∵∠B=30°,∴∠CEB=180°-60°-30°=90°,∴CE⊥AB,即△CBE为直角三角形,∴CD=CE=12BC=12×4=2,11.答案6解析∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B=30°,∵∠A=90°,AN=1,∴MN=2AN=2,∵MN平分∠AMC,∴∠NMC=∠AMN=30°,∵在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,∴∠ACB=180°-90°-30°=60°,BC=2AC,∵CM平分∠ACB,∴∠ACM=12∠ACB=30°∴∠ACM=∠NMC,∴CN=MN=2,∴AC=AN+CN=1+2=3,∴BC=2AC=2×3=6,故答案为6.12.答案13.2米解析∵∠ACB=∠ACE+∠BCE=30°+30°=60°,AC=BC,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∵AD∥EC,∴∠CAD=∠ACE=30°,在Rt△ADC中,∠CAD=30°,CD=6.6米,∴AC=2CD=2×6.6=13.2(米),∴大树AB的高度为13.2米.能力提升全练13.B如图,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠ABC=∠C=60°.∵∠1=∠A+∠AEF=140°,∴∠AEF=140°-60°=80°,∴∠DEB=∠AEF=80°,∵m∥n,∴∠2+∠DEB=180°,∴∠2=180°-80°=100°,故选B.14.C∵AB∥CD,∴∠DCA+∠CAB=180°,即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB=180°,∵△ACE为等边三角形,∴∠ECA=∠EAC=60°,∴∠EAB=180°-40°-60°-60°=20°.故选C.15.答案2解析∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=30°,∴∠BDC=∠A+∠ABD=30°+30°=60°,∵∠C=90°,∴∠CBD=30°,∵CD=1,∴BD=2CD=2,∴AD=2.故答案为2.16.答案30解析∵EF垂直平分BC,∴BF=CF,∴∠B=∠BCF,∵△ACF为等边三角形,∴∠AFC=60°,∴∠B=∠BCF=30°.故答案为30.17.答案50解析连接BD(图略),∵∠BCE=120°,∴∠BCD=60°,∵BC=CD,∴△BCD是等边三角形,∴BD=CD=50cm,故B,D两点之间的距离为50cm.18.解析(1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠A=∠ACB=60°,∵E为AB的中点,∴CE⊥AB,CE是∠ACB的平分线,∴∠BEC=90°,∠BCE=30°,∴BC=2EB,∵ED=EC,∴∠EDC=∠ECD=30°,∴∠DEB=60°-30°=30°=∠D,∴BD=BE,∴BC=2BD.(2)如图,过点E作EF∥BC,交AC于点F,∵△ABC为等边三角形,∴∠AFE=∠AEF=∠ACB=∠ABC=60°,BC=AB=12,∴△AEF为等边三角形,∠EFC=∠EBD=120°,∴EF=AE,∵ED=EC,∴∠EDB=∠ECB,∵EF∥BC,∴∠ECB=∠FEC,∴∠EDB=∠FEC,在△BDE和△FEC中,∠∴△BDE≌△FEC(AAS),∴BD=EF,∴BD=AE=2,∴CD=BC+BD=12+2=14.19.解析(1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°,在△ABM和△BCN中,BM∴△ABM≌△BCN(SAS).∴∠BAM=∠CBN.∵∠QBA+∠CBN=∠CBA=60°,∴∠QBA+∠BAM=60°.∴∠BQM=60°.(2)任选一个问题回答即可.①是.证明:∵∠BQM=60°,∴∠QBA+∠BAM=60°.∵∠QBA+∠CBN=60°,∴∠BAM=∠CBN.在△ABM和△BCN中,∠∴△ABM≌△BCN(ASA).∴BM=CN.②能.证明:如图,∵BM=CN,BC=AC,∴CM=AN.∵∠BAC=∠ACB=60°,∴∠ACM=∠BAN=180°-60°=120°,在△BAN和△ACM中,BA∴△BAN≌△ACM(SAS).∴∠NBA=∠MAC,∴∠BQM=∠BNA+∠NAQ=∠BNA+∠CAM=∠BNA+∠ABN=∠BAC=60°.素养探究全练20.解析(1)证明:∵△BOC≌△ADC,∴OC=DC.∵∠OCD=60°,∴△OCD是等边三角形.(2)△AOD是直角三角形.理由如下:∵△OCD是等边三角形,∴∠ODC=∠DOC=60°,∵△BOC≌△ADC,α=150°,∴