2022-2024北京重点校高一（上）期末汇编：事件的相互独立性

第1页/共1页2022-2024北京重点校高一（上）期末汇编事件的相互独立性一、单选题1．（2023北京昌平高一上期末）已知射击运动员甲击中靶心的概率为，射击运动员乙击中靶心的概率为，且甲､乙两人是否击中靶心互不影响.若甲､乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为（

）A． B． C． D．2．（2024北京延庆高一上期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件"第一次摸到红球"，"第二次摸到红球"，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（

）A． B．R与G互斥但不对立C． D．S与T相互独立二、填空题3．（2022北京房山高一上期末）已知事件与事件是互斥事件，若事件与事件同时发生的概率记为，则．4．（2024北京人大附中朝阳学校高一上期末）有四张大小相同标有数字的卡片，如图所示．从这四张卡片中随机抽一张，令事件：“抽到卡片上有数字”，，则；已知命题：事件与相互独立，则为命题（用“真”“假”填空）5．（2023北京门头沟高一上期末）甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是．6．（2024北京西城高一上期末）某工厂在试验阶段生产出了一种零件，该零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．则一个零件经过检测，为合格品的概率是．7．（2024北京昌平高一上期末）甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为.若三人各投篮一次，则甲、乙、丙三人都投中的概率为；至少有两人投中的概率为.8．（2024北京延庆高一上期末）甲同学进行投篮练习，每次投中的概率都是，连续投3次.每次投篮互不影响.则该同学恰好只有第3次投中的概率为：该同学至少两次投中的概率为.三、解答题9．（2022北京西城高一上期末）在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的概率是，乙答题错误的概率是，乙、丙两人都答题正确的概率是，假设每人答题正确与否是相互独立的．(1)求丙答题正确的概率；(2)求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率．10．（2023北京门头沟高一上期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，甲、乙都中靶的概率为0.72，求下列事件的概率；(1)乙中靶；(2)恰有一人中靶；(3)至少有一人中靶.11．（2023北京第八中学高一上期末）为抗击新冠肺炎，某单位组织中､老年员工分别进行疫苗注射，共分为三针接种，只有三针均接种且每针接种后经检测合格，才能说明疫苗接种成功（每针接种后是否合格相互之间没有影响）.根据大数据比对，中年员工甲在每针接种合格的概率分别为；老年员工乙在每针接种合格的概率分别为.(1)甲､乙两位员工中，谁接种成功的概率更大？(2)若甲和乙均参加疫苗接种，求两人中至少有一人接种成功的概率.12．（2023北京石景山高一上期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，采取“三局两胜”制，即两人比赛过程中，谁先胜两局即结束比赛，先胜两局的是胜方，另一方是败方.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜乙的概率均为，甲、乙比赛没有平局，且每局比赛是相互独立的.(1)求比赛恰进行两局就结束的概率；(2)求这场比赛甲获胜的概率.13．（2023北京房山高一上期末）已知甲运动员的投篮命中率为0.8，乙运动员投篮命中率为0.7，甲、乙各投篮一次．设事件A为“甲投中”，事件B为“乙投中”．(1)求甲、乙二人中恰有一人投中的概率；(2)求甲、乙二人中至少有一人投中的概率．14．（2023北京怀柔高一上期末）为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展“航天知识”竞赛活动，甲乙两个班级的代表队同时回答一道有关航天知识的问题，甲队答对此题的概率是，乙队答对此题的概率是，假设每队答题正确与否是相互独立的．(1)求甲乙两队都答对此题的概率；(2)求甲乙两队至少有一队答对此题的概率．15．（2024北京人大附中朝阳学校高一上期末）海水养殖场进行某水产品的新､旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如图所示．两种养殖方法的箱产量相互独立．(1)将所抽取的100个新养殖法网箱中产量低于40和不低于65的网箱收集到一起，再从中随机抽取2箱，恰有一箱产量不低于65的概率．(2)用频率估计概率，从运用新､旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，估计两个网箱中至少有一箱产量不低于55的概率；(3)求频率分布直方图中的值．假定新､旧网箱养殖方法网箱数不变，为了提高总产量，根据样本中两种养殖法的平均箱产量，该养殖场下一年应采用哪种养殖法更合适？（直接写出结果）16．（2023北京延庆高一上期末）已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5，求：(1)甲，乙，丙各投篮一次，三人都命中的概率；(2)甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率；(3)甲，乙，丙各投篮一次，至少有一人命中的概率．17．（2024北京海淀高一上期末）国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类．其中“A:革命遗址及革命纪念建筑物”、“B:石窟寺”、“C:古建筑及历史纪念建筑物”、“D:石刻及其他”、“E:古遗址”、“F:古墓葬”．北京的18个“第一批文保单位”所在区分布如下表：行政区门类个数东城区A：革命遗址及革命纪念建筑物3C:古建筑及历史纪念建筑物5西城区C:古建筑及历史纪念建筑物2丰台区A:革命遗址及革命纪念建筑物1海淀区C:古建筑及历史纪念建筑物2房山区C:古建筑及历史纪念建筑物1E:古遗址1昌平区C:古建筑及历史纪念建筑物1F:古墓葬1延庆区C:古建筑及历史纪念建筑物1(1)某个研学小组随机选择北京市“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C:古建筑及历史纪念建筑物”的概率；(2)小王同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“A:革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“C:古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观．两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；(3)现在拟从北京市“第一批文保单位”中的“C:古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查．记抽到海淀区的概率为，抽不到海淀区的概率记为，试判断和的大小（直接写出结论）．18．（2024北京石景山高一上期末）已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的.(1)求丙投篮命中的概率；(2)甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；(3)甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率.19．（2024北京房山高一上期末）一个问题，甲正确解答的概率为，乙正确解答的概率为.记事件甲正确解答，事件乙正确解答.假设事件与相互独立.(1)求恰有一人正确解答问题的概率；(2)某同学解“求该问题被正确解答的概率”的过程如下：解：“该问题被正确解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”，所以随机事件“问题被正确解答”可以表示为.所以.请你指出这位同学错误的原因，并给出正确解答过程.

参考答案1．A【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式可求出结果.【详解】设甲击中靶心为事件，乙击中靶心为事件，则，，因为与相互独立，所以与也相互独立，则甲、乙都不击中靶心的概率为，所以甲、乙至少有一人击中靶心的概率为.故选：A2．D【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义求解，【详解】对于A，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”是对立事件，所以，故A正确；对于B，"两次都摸到红球"和"两次都摸到绿球”，不能同时发生，但能同时不发生，所以R与G互斥但不对立，故B正确；对于C，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，所以，故C正确；对于D，从袋中不放回地依次随机揽出2个球，不同的结果有：，共12种结果，事件S包含这6种结果，，事件T包含这6种结果，，事件ST包含这2种结果，，，所以S与T不是相互独立事件，故D错误.故选：D.3．【分析】根据互斥事件的概念即可得出结果.【详解】由事件A与事件B为互斥事件，得故答案为：04．/0.75真【分析】根据题意求出；的概率，利用事件相互独立的定义计算出，验证是否相等即可判断.【详解】事件：“抽到卡片上有数字”，，则；，，命题：事件与相互独立是真命题．故答案为：；真．5．【分析】设这道题没被解出来为事件A，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率【详解】设数学题没被解出来为事件A，则.故则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率.故答案为：6．【详解】试题分析：设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2，一个零件经过检测，为合格品的概率P；由题意得：，解可得P1=，P2=，或P1=，P2=，则P=P1×P2=；故答案为．考点：独立事件同时发生的概率【方法点睛】本题考查了独立事件同时发生的概率，属于基础题型，（1）两个事件,其中一个事件发生与否对另一个事件的概率没有影响，那么这两个事件是独立事件，（3）独立事件同时发生的概率,称为的对立事件，,（3）至少有一项技术指标达标的对立事件是两项技术指标都没有达标，根据以上关系，设两项技术指标达标的概率为和,根据条件列方程组求解.7．/15/【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.【详解】甲、乙、丙三人都投中的概率为.至少有两人投中的概率为.故答案为：；8．【分析】利用独立事件的概率公式即可得解.【详解】因为甲同学每次投中的概率都是，连续投3次，则投不中的概率为，所以甲同学恰好只有第3次投中的概率为23至少两次投中的概率为.故答案为：；.9．(1)(2)【分析】（1）设丙答对这道题的概率为，利用对立事件和相互独立事件概率公式，即可求解；（2）由相互独立事件概率乘法公式，即可求解.【详解】（1）记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件，设丙答对题的概率，乙答对题的概率，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此是相互独立事件.根据相互独立事件同时发生的概率公式，得，解得，所以丙对这道题的概率为（2）甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率为甲、乙、丙三人都回答错误的概率为10．(1)0.9(2)0.26(3)0.98【分析】（1）由相互独立事件的乘法公式即可求解；（2）分两种情况考虑即可求解；（3）根据对立事件的概率即可得解.【详解】（1）设甲中靶为事件，乙中靶为事件，则事件与事件相互独立，且，则，即乙中靶的概率为0.9.（2）设恰有一人中靶为事件，则.即恰有一人中靶的概率为0.26.（3）设至少有一人中靶为事件，则，即至少有一人中靶得概率为0.98.11．(1)中年员工甲接种成功的概率更大(2)【分析】分别记“中年员工甲、老年员工乙接种成功”为事件、，且、相互独立，（1）甲、乙接种成功，即两人每针接种均合格，由独立事件概率的乘法公式，计算可得、比较可得答案；（2）记“记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件记为”为事件，即，由独立事件概率的乘法公式，计算可得答案；或利用间接法，确定对立事件，计算，进而得C事件的概率．【详解】（1）解：记中年员工甲接种成功的事件为，老年员工乙接种成功的事件为B，则，，故中年员工甲接种成功的概率更大.（2）法一：记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件记为C，则法二：记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件记为，则，两人中至少有一人接种成功的概率为.12．(1)(2)【分析】（1）比赛两局就结束即甲连胜两局或乙连胜两局，分别求概率即可；（2）分别比赛两局结束和比赛三局结束，分别求概率即可.【详解】（1）比赛恰进行两局就结束对应的事件A有两种可能，事件：甲胜乙，事件：乙胜甲.，，.（2）这场比赛甲获胜对应的事件B有两种可能，事件：比赛两局结束且甲获胜；事件：比赛三局结束且甲获胜.，，∴.13．(1)0.38；(2).【分析】（1）根据互斥事件求和公式及独立事件的乘法公式即得；（2）根据对立事件的概率公式及独立事件的乘法公式即得.【详解】（1）由题可得，，则，所以甲、乙二人中恰有一人投中的概率为；；（2）由题可得甲、乙二人都没有投中的概率为，所以甲、乙二人中至少有一人投中的概率为.14．(1)(2)【分析】（1）设甲、乙队答对此题分别为事件，则，结合相互独立事件同时发生的概率公式，即可求甲乙两队都答对此题的概率；（2）依据题意，结合对立事件与相互独立事件同时发生的概率公式，即可求得甲乙两队至少有一队答对此题的概率．【详解】（1）解：设甲、乙队答对此题分别为事件，则，记事件“甲乙两队都答对此题”，由于每队答题正确与否是相互独立的，所以，故甲乙两队都答对此题的概率为；（2）解：记事件“甲乙两队至少有一队答对此题”，由于每队答题正确与否是相互独立的，故.故甲乙两队至少有一队答对此题的概率为.15．(1)(2)(3)，该养殖场下一年应采用新养殖法更合适，理由见解析【分析】（1）根据频率分布直方图利用频率公式求得频数，结合古典概型公式计算得出答案；（2）根据独立事件概率乘法公式计算即可；（3）利用频率分布直方图利用频率之和为，即可求得图中的值，结合频率分布直方图分别估计新旧养殖法的平均值，即可做出判断.【详解】（1）的频数为，的频数为，再从中随机抽取2箱，基本事件总数，恰有一箱产量不低于65kg包含的基本事件个数，恰有一箱产量不低于65kg的概率为．（2）设事件分别表示：从运用旧，新网箱养殖方法的水产品中随机抽取一个网箱，其箱产量不低于55kg，用频率估计概率，则，，相互独立，估计两个网箱中至少有一箱产量不低于55kg的概率为：．（3）频率分布直方图所有小长方形面积之和等于1，即解得旧养殖法的平均值估计为：，新养殖法的平均值估计为：，，该养殖场下一年应采用新养殖法更合适．16．(1)0.21；(2)0.44；(3)0.94.【分析】（1）根据概率乘法得三人都命中概率为；（2）分甲命中，乙，丙未命中，乙命中，甲，丙未命中，丙命中，乙，丙未命中，三种情况讨论，结合概率乘法和加法公式即可得到答案；（3）采取正难则反的原则，求出其对立事件即三人全未命中的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可.【详解】（1）设事件：甲投篮命中;事件：乙投篮命中;事件：丙投篮命中.甲,乙,丙各投篮一次,三人都命中的概率.所以甲,乙,丙各投篮一次,三人都命中的概率为0.21.（2）设事件:恰有两人命中.所以所以甲,乙,丙各投篮一次,恰有两人命中的概率为0.44.（3）设事件:至少有一人命中.所以所以甲,乙,丙各投篮一次,至少有一人命中的概率为0.94.17．(1)2(2)(3)【分析】（1）由题意知总样本数为，C:古建筑及历史纪念建筑物共有，利用古典概率从而求解.（2）由题意可知小王参观A:革命遗址及革命纪念建筑物与小张参观C:古建筑及历史纪念建筑物在同一个区的只有东城区，然后分别求出他们参观东城区的概率，从而求解.（3）利用分类讨论求出相应的抽到海淀区的概率P1和抽不到海淀区的概率，从而求解.【详解】（1）设选中参观单位恰好为“C:古建筑及历史纪念建筑物”为事件，由题意知