2022-2024北京重点校高一（上）期末汇编：等差数列

第1页/共1页2022-2024北京重点校高一（上）期末汇编等差数列一、单选题1．（2024北京十一学校高一上期末）已知无穷等差数列的公差为，则“”是“存在无限项满足”（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024北京十一学校高一上期末）若数列满足（），且，，则当的前n项和取到最大值，n的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（2023北京十一学校高一上期末）已知公差不为0的等差数列中，，，则使其前项和取得最大值的正整数的值为（

）A．11或12 B．6或7 C．10或11 D．5或64．（2023北京十一学校高一上期末）等差数列的前项和，，则（

）A．9 B．12 C．30 D．455．（2023北京十一学校高一上期末）已知是等差数列，且，则（

）A．1 B．3 C．5 D．7二、填空题6．（2024北京十一学校高一上期末）已知等差数列中，，，则数列的前5项和为．7．（2024北京十一学校高一上期末）已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，．记．给出下列四个结论：①可能为等差数列；②中最大的项为；③不存在最大值；④的最小值为36．其中所有正确结论的序号是．三、解答题8．（2024北京十一学校高一上期末）已知是数列的前项和，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.9．（2023北京十一学校高一上期末）已知两个均含有项的有限数列，，其中对于，且．定义数列与之间的距离：．定义数列的“和序列”，其满足对于，，数列的项和记为：；定义数列的“和序列”，其满足对于，，数列的项和记为：．(1)已知数列，，求和；(2)当且时，求的所有可能取值；(3)当且时，求的最大值和最小值，并分别列举一对数列，，使取到最大值和最小值；(4)求证：对于，当且是4的倍数时，的最小值为0；(5)当，时，直接写出一对数列，，使得．

参考答案1．C【分析】根据题意，结合等差数列的单调性，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由等差数列的公差为，则数列为递增数列，所以存在无限项满足成立，即充分性成立；反之：由等差数列的公差为，在数列为单调数列，若存在无限项满足成立，则数列为递增数列，则，即必要性成立，所以“”是“存在无限项满足”充要条件.故选：C.2．A【分析】根据题意可知数列为等差数列，进而求公差和通项公式，利用的符号性判断前n项和的最值.【详解】因为（），可知数列为等差数列，设公差为，则，解得，可得，令，解得，可知时，；时，；所以当时，的前n项和取到最大值.故选：A.3．D【分析】分和两种情况进行讨论，当时利用等差数列的求和公式结合二次函数的基本性质可求得取得最大值时的的值【详解】当时，由可得，且等差数列单调递增，不存在；当时，则数列为单调递减数列，由可得，则，所以，则，，所以，当或时，取得最大值.故选：D4．D【分析】由等差数列的通项公式与前项和公式求得，然后再由前项和公式结合等差数列的性质计算．【详解】是等差数列，∴，，，，，．故选：D．5．B【分析】结合等差数列通项公式即可解决.【详解】设等差数列的公差为，由得，，则故选：B.6．【分析】根据等差数列的性质，求得，求得，再结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由，可得，解得，又因为，可得，又由，解得，所以.故答案为：.7．③④【分析】利用等差数列的定义判断①；利用已知举例说明判断②③；求出的最小值判断④作答.【详解】当时，由得，由得，于是与仅只一个为1，即，因此数列不能是等差数列，①错误；令，依题意，与均为整数，且有且仅有一个为1（即隔项为1），若，则，，而，，因此，当且仅当数列为时取等号，若，则，，而，，因此，当且仅当数列为时取等号，从而的最小值为36，④正确；当时，取，数列为：，满足题意，取，，中最大的项不为，②错误；由于的任意性，即无最大值，因此不存在最大值，③正确，所以所有正确结论的序号是③④.故答案为：③④【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.8．(1)(2)【分析】（1）利用求得.（2）利用裂项求和法求得.【详解】（1）当时，由，得，则.当时，有，符合上式.综上，.（2）由（1）得，，则.9．(1)，(2)4，3，2，1(3)的最大值19，例如：，；的最小值1，例如：，（的列举不唯一）(4)证明见解析(5)数列，（答案不唯一）【分析】（1）利用新定义直接代入计算即可；（2）当且时，中1的个数为1，其余3个为0，结合的表达式即可得出结果；（3）当且时，中1的个数为2，其余8个为0．结合分析可得出结果；（4）设，中1的个数为，其余的为0．在中，取相邻4项作为一组，共取组（取的项不重复），即可求解；（5）当，时，中1的个数为7，其余3个为0，结合条件写出结果即可．【详解】（1）因为数列，所以．（2）因为，故或1，，，当且时，中1的个数为1，其余3个为0当时，，则当时，则当时，则当时，则故的所有可能取值为：4，3，2，1．（3）当且时，中1的个数为2，其余8个为0则当或时，取到最大值19，例如：，在中，取相邻2项，令第1项的值为1，第2项的值为－1；或令第1项的值为－1，第2项的值为1，此时取到最小值1，例如：，．（4）当且是4的倍数时设，中1的个数为，其余的为0在中，取相邻4项作为一组，共取组（取的项不重复）令每组的第1项与第4项的值为1，第2项与第3项的值为－1；或令每组的第1项与第4项的值为－1，第2项与第3项的值为1，此时取到最