4.3利用二次函数解决实际中最值问题分析

第二章

二次函数第4节二次函数的应用第3课时利用二次函数解决

实际中最值问题1课堂讲解用二次函数表示实际问题

利用二次函数最值解实际问题2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升利用二次函数求几何图形的面积的最值的一般步骤：(1)引入自变量；(2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关

的量；(3)由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且用

函数表示这个面积；(4)根据函数的关系式及自变量的取值范围求出其最值．1知识点用二次函数表示实际问题知1－讲

根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下

几个步骤：(1)确定自变量与因变量代表的实际意义；(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系

列出方程或等式．(3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．

例1如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开

始时点A与M重合，让△ABC向右移动，最后点A与点N重合．问题：(1)试写出重叠部分面积y(cm2)与线段MA的长度x(cm)之

间的函数关系式；(2)当MA＝1cm时，重叠部分的面积是多少？知1－讲知1－讲（来自《点拨》）(1)根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角

三角形，从而根据MA的长度可得出y与x之间的函

数关系式；(2)将x＝1代入可得出重叠部分的面积．解：(1)由题意知，开始时A点与M点重合，让△ABC向右

移动，两图形重叠部分为等腰直角三角形，

所以y＝

x2(0＜x≤10)；(2)当MA＝1cm时，重叠部分的面积是cm2.导引：总

结知1－讲（来自《点拨》）

此题主要考查的是求动态几何图形中面积的函数关系式，判断出重叠部分是等腰直角三角形比较关键．在确定实际问题中的函数关系式时，通常根据题目中的等量关系列出恰当的函数关系式．但要特别注意自变量的取值范围．1在一幅长60cm，宽40cm的矩形油画的四周镶一条

金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要

使整幅挂图的面积是

ycm2，设金色纸边的宽度为xcm，那么y关于x的函数表达式是(

)A．y＝(60＋2x)(40＋2x)B．y＝(60＋x)(40＋x)C．y＝(60＋2x)(40＋x)D．y＝(60＋x)(40＋2x)知1－练（来自《典中点》）2心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念

的时间x(min)之间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对概念的接受能力最大，为59.9；当提

出概念30min时，学生对概念的接受能力就剩下31，

则y与x满足的二次函数表达式为(

)A．y＝－(x－13)2＋59.9B．y＝－0.1x2＋2.6x＋31C．y＝0.1x2－2.6x＋76.8D．y＝－0.1x2＋2.6x＋43知1－练（来自《典中点》）2知识点利用二次函数的最值解实际问题知2－导

服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件.

请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？知2－讲1．利用二次函数解决实际生活中的利润问题，一般运

用“总利润＝每件商品所获利润×销售件数”或“总利

润＝总售价－总成本”建立利润与销售单价之间的二

次函数关系式，求其图象的顶点坐标，获取最值．

拓展：

现实生活中的许多最值问题都可通过建立二次函数的

模型进行解决．2．易错警示：实际问题中的最大利润未必是顶点的纵

坐标，即顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时，

要根据函数的性质去确定最大值．知2－讲

例2某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，

每天都客满.经市场调查发现，如果每间客房的日

租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间．

不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高

到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总

收入是多少？（来自《教材》）知2－讲设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为

y元，则

y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19440.∵x≥0,且120-6x>0，∴0≤x<20.当x=2时，y最大=19

440.这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元).因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收人最高，最高收入为19440元.（来自《教材》）解：知2－讲例3〈沈阳〉一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，

出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当

增加成本来提高产品的档次，以拓展市场，若今年这种玩

具每件的成本比去年每件的成本增加0.7x倍，今年这种玩

具每件的出厂价比去年每件的出厂价相应提高0.5x倍，则

预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(0＜x≤1)．(1)用含x的代数式表示：今年生产的这种玩具每件的成本

为___元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为____元；(2)求今年这种玩具每件的利润y(元)与x之间的函数关系式；(3)设今年这种玩具的年销售利润为W万元，求当x为何值

时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是多少

万元？知2－讲

由题意知今年这种玩具每件的成本是去年的(1＋0.7x)

倍，每件的出厂价是去年每件的出厂价的(1＋0.5x)

倍，今年的年销售量是去年年销售量的(1＋x)倍．解：(1)(10＋7x)；(12＋6x)(2)y＝(12＋6x)－(10＋7x)＝2－x，

即y与x的函数关系式为y＝2－x.(3)W＝2(1＋x)(2－x)＝－2x2＋2x＋4＝－2(x-5)2＋4.5，∵0＜x≤1，∴当x＝0.5时，W有最大值．W最大值＝4.5.

答：当x＝0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销

售利润为4.5万元．（来自《点拨》）导引：总

结知2－讲（来自《点拨》）

本题利用建模思想求解，由今年与去年这种玩具的成本价、出厂价、销售量的倍数关系可以得到今年这种玩具的成本价、出厂价、销售量的表达式，再由“总利润＝每件商品所获利润×销售件数”可得二次函数的表达式，进而求出其最大值．1某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元

时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：

每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的

前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，则y与x的函数表达式为(

)A．y＝－

x2＋10x＋1200(0＜x＜60)B．y＝－

x2－10x＋1250(0＜x＜60)C．y＝－

x2＋10x＋1250(0＜x＜60)D．y＝－

x2＋10x＋1250(x≤60)知2－练（来自《典中点》）2某旅行社在五一期间接团去外地旅游，经计算，收益y(元)与旅行团人数x(人)满足表达式y＝－x2＋100x＋28400，要使收益最大，则此旅行团应有(

)A．30人

B．40人

C．50人

D．55人知2－练（来自《典中点》）3(2016·咸宁)某网店销售某款童装，每件售价60元，每星

期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场

调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款

童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星

期的销售量为y件．(1)求y与x之间的函数表达式．(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，

最大利润是多少元？