2025版高考数学一轮复习练案14理+14文第二章函数导数及其应用第十一讲导数的概念及运算练习含解析新人教版

第十一讲导数的概念及运算A组基础巩固一、选择题1．(2024·珠海调考改编)下列求导运算正确的是(B)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1＋eq\f(1,x2)B．(log2x)′＝eq\f(1,xln2)C．(3x)′＝3x·log3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx[解析]因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1－eq\f(1,x2)，所以选项A不正确；因为(log2x)′＝eq\f(1,xln2)，所以选项B正确；因为(3x)′＝3xln3，所以选项C不正确；因为(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，所以选项D不正确．故选A、C、D.2．若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为(C)A．f(x)＝3cosx B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝x＋eq\f(1,x) D．f(x)＝ex＋x[解析]对于A，f(x)＝3cosx，其导数f′(x)＝－3sinx，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B，f(x)＝x2＋x，其导数f′(x)＝2x＋1，其导函数为一次函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于C，f(x)＝x＋eq\f(1,x)，其导数f′(x)＝1－eq\f(1,x2)，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f(x)＝ex＋x，其导数f′(x)＝ex＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意．3．(理)(2024·江西上高二中月考)函数f(x)＝eq\f(e2x,x)的导函数为(B)A．f′(x)＝2e2x B．f′(x)＝eq\f(2x－1e2x,x2)C．f′(x)＝eq\f(2e2x,x) D．f′(x)＝eq\f(x－1e2x,x2)(文)已知函数f(x)＝eq\f(1,x)cosx，则f(π)＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝(C)A．－eq\f(3,π2) B．－eq\f(1,π2)C．－eq\f(3,π) D．－eq\f(1,π)[解析](理)f′(x)＝eq\f(e2x′x－e2x·x′,x2)＝eq\f(2e2x·x－e2x,x2)＝eq\f(2x－1e2x,x2).故选B.(文)f(π)＝eq\f(－1,π)，f′(x)＝eq\f(－xsinx－cosx,x2)，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(2,π)，∴f(π)＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(3,π).故选C.4．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(2022)＝(D)A．1 B．2C.eq\f(1,2022) D．eq\f(2023,2022)[解析]令ex＝t，则x＝lnt，所以f(t)＝lnt＋t，故f(x)＝lnx＋x.求导得f′(x)＝eq\f(1,x)＋1，故f′(2022)＝eq\f(1,2022)＋1＝eq\f(2023,2022).故选D.5．(2024·广东深圳模拟)已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋eq\f(2,x)是奇函数，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的倾斜角为(B)A.eq\f(π,4) B．eq\f(3π,4)C.eq\f(π,3) D．eq\f(2π,3)[解析]由函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋eq\f(2,x)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，可得a＝0，则f(x)＝x＋eq\f(2,x)，f′(x)＝1－eq\f(2,x2)，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率k＝1－2＝－1，可得所求切线的倾斜角为eq\f(3π,4)，故选B.6．(2024·湖北黄冈模拟，4)已知直线y＝eq\f(1,m)是曲线y＝xex的一条切线，则实数m的值为(B)A．－eq\f(1,e) B．－eC.eq\f(1,e) D．e[解析]设切点坐标为(n，eq\f(1,m))，对y＝xex求导得y′＝(xex)′＝ex＋xex，若直线y＝eq\f(1,m)是曲线y＝xex的一条切线，则有y′|x＝n＝en＋nen＝0，解得n＝－1，此时有eq\f(1,m)＝nen＝－eq\f(1,e)，∴m＝－e.故选B.7．(2024·湖南娄底二模，5)已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝－eq\f(x,x－2)，则函数图象在x＝－1处的切线方程是(A)A．2x－y＋1＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y－1＝0 D．x＋2y－2＝0[解析]当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－eq\f(x,x＋2)，∴f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x<0)，又f′(－1)＝2，f(－1)＝－1，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.故选A.8．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(B)A．－1 B．0C．2 D．4[解析]由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率为－eq\f(1,3)，即f′(3)＝－eq\f(1,3)，又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×(－eq\f(1,3))＝0.9．函数y＝f(x)的图象如图，则导函数f′(x)的大致图象为(B)[解析]由导数的几何意义可知，f′(x)为常数．且f′(x)<0.10．设函数f(x)＝eq\f(\r(3)sinθ,3)x3＋eq\f(cosθ,2)x2＋4x－1，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,6)))，则导数f′(－1)的取值范围是(B)A．[3,4＋eq\r(3)] B．[3,6]C．[4－eq\r(3)，6] D．[4－eq\r(3)，4＋eq\r(3)][解析]求导得f′(x)＝eq\r(3)x2sinθ＋xcosθ＋4，将x＝－1代入导函数，得f′(－1)＝eq\r(3)sinθ－cosθ＋4＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＋4，由θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,6)))，可得θ－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(2π,3)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，∴2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＋4∈[3,6]．故选B.二、填空题11．(1)(2024·天津，10)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为__e__；(2)(2024·长春模拟)若函数f(x)＝eq\f(lnx,x)，则f′(2)＝eq\f(1－ln2,4)；(3)函数y＝x·tanx的导数为y′＝tanx＋eq\f(x,cos2x).[解析](1)本题主要考查导数的计算．∵f(x)＝exlnx，∴f′(x)＝exeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1,x)))，∴f′(1)＝e1×(ln1＋1)＝e.(2)由f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，得f′(2)＝eq\f(1－ln2,4).(3)y′＝(x·tanx)′＝x′tanx＋x(tanx)′＝tanx＋x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))′＝tanx＋x·eq\f(cos2x＋sin2x,cos2x)＝tanx＋eq\f(x,cos2x).12．(2024·课标Ⅰ)曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为__y＝2x__.[解析]设该切线的切点坐标为(x0，y0)，由y＝lnx＋x＋1得y′＝eq\f(1,x)＋1，则在该切点处的切线斜率k＝eq\f(1,x0)＋1，即eq\f(1,x0)＋1＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1,2)，∴该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.13．(2024·上饶模拟)若点P是曲线y＝x2－lnx上随意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为eq\r(2).[解析]因为定义域为(0，＋∞)，由y′＝2x－eq\f(1,x)＝1，解得x＝1，则在P(1,1)处的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).B组实力提升1．(2024·湖南长沙长郡中学模拟)等比数列{an}中，a2＝2，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)(x－a3)，则f′(0)＝(B)A．8 B．－8C．4 D．－4[解析]f′(x)＝(x－a1)(x－a2)(x－a3)＋x[(x－a1)(x－a2)(x－a3)]′，∴f′(0)＝－a1a2a3＝－aeq\o\al(3,2)＝－8.2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(D)[解析]由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可解除A，C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可解除B.3．已知函数f(x)＝asinx＋bx3＋4(a，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则f(2022)＋f(－2022)＋f′(2023)－f′(－2023)＝(D)A．0 B．2014C．2015 D．8[解析]因为f(x)＝asinx＋bx3＋4(a，b∈R)，所以f′(x)＝acosx＋3bx2，则f(x)－4＝asinx＋bx3是奇函数，且f′(x)＝acosx＋3bx2为偶函数，所以f(2022)＋f(－2022)＋f′(2023)－f′(－2023)＝[f(2022)－4]＋[f(－2022)－4]＋8＝8.4．(理)(2024·四川名校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(C)A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)(文)已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设eq\f(f2－f1,2－1)＝a，则下列不等式正确的是(B)A．f′(1)<f′(2)<aB．f′(1)<a<f′(2)C．f′(2)<f′(1)<aD．a<f′(1)<f′(2)[解析](理)设f′(3)，f(3)－f(2)＝eq\f(f3－f2,3－2)，f′(2)分别表示直线n，m，l的斜率，数形结合知0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)，故选C.(文)由图象可知，在(0，＋∞)上，函数f(x)为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，∵eq\f(f2－f1,2－1)＝a，∴易知f′(1)<a<f′(2)．5．(2024·山东潍坊模拟)阅读材料：求函数y＝ex的导函数．解：因为y＝ex，所以x＝lny，所以x′＝(lny)′，所以1＝eq\f(1,y)·y′，所以y′＝y＝ex.借助上述思路，曲线y＝(2x－1)x＋1，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))在点(1,1)处