2024-2025学年高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率学案含解析北师大版选修1-1

PAGE§1变更的快慢与变更率授课提示：对应学生用书第30页一、平均变更率定义对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)．它的平均变更率为eq\f(fx2－fx1,x2－x1)实质函数的平均变更率可表示为函数值的变更量(Δy＝f(x2)－f(x1))与自变量的变更量(Δx＝x2－x1)的比值作用刻画函数值在区间[x1，x2]上变更的快慢二、瞬时变更率定义对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则当Δx趋于0时，平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx1－fx0,x1－x0)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)趋于函数在x0点的瞬时变更率实质平均变更率为当自变量的变更量趋于0时的值作用刻画函数值在x0点处变更的快慢[疑难提示]对平均变更率的正确理解(1)Δx的意义：Δx是相对于x1的一个增量，可以是正数，也可以是负数，可以用x1＋Δx代替x2.(2)eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx1－fx0,x1－x0)，式子中Δx，Δy的值都可正可负，但Δx的值不能为0，Δy的值可以为0，当f(x)为常数函数时，Δy＝0.(3)一般地，现实生活中的变更现象和过程可以用函数来描述，所以这些实际问题的变更率的问题可以转化为函数的变更率．(4)为求点x0旁边的平均变更率，上述表达形式常写为eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)的形式．[想一想]1．“瞬时变更率”刻画了函数的什么特征？提示：它刻画了函数在一点处变更的快慢．[练一练]2．函数y＝f(x)，自变量x由x0变更到x0＋Δx时，函数的变更量Δy为()A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)解析：依据定义，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x0＋Δx)－f(x0)．答案：D3．在平均变更率的定义中，自变量x在x0处的增量Δx________0.(填“>”“<”或“≠”)答案：≠授课提示：对应学生用书第31页探究一求平均变更率[典例1]已知函数f(x)＝2x2＋1.(1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变更率；(2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变更率；(3)求当x0＝1，Δx＝eq\f(1,2)时平均变更率的值．[解析](1)由已知得Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－2xeq\o\al(2,0)－1＝2Δx(2x0＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx2x0＋Δx,Δx)＝4x0＋2Δx.(2)由(1)可知：eq\f(Δy,Δx)＝4x0＋2Δx，当x0＝2，Δx＝0.01时，eq\f(Δy,Δx)＝4×2＋2×0.01＝8.02.(3)由(1)可知eq\f(Δy,Δx)＝4x0＋2Δx，当x0＝1，Δx＝eq\f(1,2)时，eq\f(Δy,Δx)＝4×1＋2×eq\f(1,2)＝5.1．求函数f(x)在[x1，x2]上的平均变更率的方法步骤是：(1)先求Δx＝x2－x1；(2)再求Δy＝f(x2)－f(x1)；(3)由定义求出eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).2．理解平均变更率要留意以下几点：(1)平均变更率eq\f(fx1－fx0,x1－x0)表示点(x0，f(x0))与点(x1，f(x1))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”；(2)为求点x0旁边的平均变更率，上述表达式常写为eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)的形式；(3)函数的平均变更率可以表现出函数的变更趋势．自变量的变更量Δx取值越小，越能精确体现函数的变更状况．1．求函数y＝f(x)＝－2x2＋5在区间[2,2＋Δx]内的平均变更率．解析：∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝－8－2Δx.即平均变更率为－8－2Δx.2．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.(1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变更率eq\f(Δy,Δx)；(2)求当x1＝4，且Δx＝0.1时，函数增量Δy和平均变更率eq\f(Δy,Δx)；(3)若设x2＝x1＋Δx，分析(1)(2)问中的平均变更率的几何意义．解析：(1)Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－2xeq\o\al(2,1)－3x1＋5＝4x1Δx＋2(Δx)2＋3Δx.当x1＝4，且Δx＝1时，Δy＝4×4×1＋2＋3＝21，所以平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21,1)＝21.(2)当x1＝4，且Δx＝0.1时，Δy＝4×4×0.1＋0.02＋0.3＝1.92，所以平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1.92,0.1)＝19.2.(3)在(1)中，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(f5－f4,5－4)，它表示曲线上点P0(4,39)与P1(5,60)连线所在直线的斜率；在(2)中，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(f4.1－f4,4.1－4)，它表示曲线上点P0(4,39)与P2(4.1,40.92)连线所在直线的斜率．探究二求瞬时变更率[典例2]在赛车中，赛车位移与竞赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s的单位为m，t的单位为s)．求：(1)t＝20，Δt＝0.1时，Δs与eq\f(Δs,Δt)的值；(2)求t＝20时的瞬时速度．[解析](1)Δs＝s(20＋Δt)－s(20)＝10×(20＋0.1)＋5×(20＋0.1)2－10×20－5×202＝21.05(m)．eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(21.05,0.1)＝210.5(m/s)．(2)eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(10×20＋Δt＋5×20＋Δt2－10×20－5×202,Δt)＝5Δt＋210.当Δt趋于0时，5Δt＋210→210(m/s)，因此，t＝20时的瞬时速度为210m/s.1．求瞬时变更率时首先要明确求哪个点处的瞬时变更率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变更率，并逐步缩小区间长度，依据平均变更率变更状况估计出瞬时变更率．2．瞬时速度是平均速度在时间变更量趋向于零时，平均变更率靠近的值．3．一个物体的运动方程为s＝1－t，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬间速度是()A．1米/秒 B．－1米/秒C．2米/秒 D．－2米/秒解析：由eq\f(Δs,Δt)＝eq\f([1－3＋Δt]－1－3,Δt)＝eq\f(－Δt,Δt)＝－1，得物体在3秒末的瞬间速度是－1米/秒．答案：B4．已知s(t)＝5t2，(1)求t从3秒到3.1秒的平均速度；(2)求t从3秒到3.01秒的平均速度；(3)求t＝3秒时的瞬时速度．解析：(1)当3≤t≤3.1时，Δt＝0.1，Δs＝s(3.1)－s(3)＝5×3.12－5×32＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)＝3.05，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(3.05,0.1)＝30.5(m/s)．(2)当3≤t≤3.01时，Δt＝0.01，Δs＝s(3.01)－s(3)＝5×3.012－5×32＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)＝0.3005，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(0.3005,0.01)＝30.05(m/s)．(3)在t＝3旁边取一个小时间段Δt，即3≤t≤3＋Δt(Δt>0)∴Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝5×(3＋Δt)2－5×32＝5·Δt·(6＋Δt)，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(5Δt6＋Δt,Δt)＝30＋5Δt.当Δt→0时，eq\f(Δs,Δt)→30.∴在t＝3时的瞬时速度为30m/s.探究三变更率的应用eq\x(变更率的应用)—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(平均变更率的几何意义),—\x(平均变更率的应用),—\x(瞬时变更率的应用)))5．过曲线f(x)＝x2＋1上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，求割线的斜率．解析：Δy＝(1＋Δx)2＋1－(1＋1)＝2Δx＋(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx＋Δx2,Δx)＝2＋Δx.当Δx＝0.1时，2＋Δx＝2.1，所以直线PQ的斜率为2.1.6．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，试指出哪一个厂治污效果较好？解析：在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，但eq\f(W1t0－W1t0－Δt,Δt)<eq\f(W2t0－W2t0－Δt,Δt)，所以，在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．7．已知气球的体积V(L)与半径r(dm)之间的函数关系是V(r)＝eq\f(4,3)πr3.(1)写出r关于V的函数r(V)；(2)当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为多少？当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率又是多少？(3)随着气球体积的增大，它的平均膨胀率变大还是变小了？解析：(1)∵V＝eq\f(4,3)πr3，∴r3＝eq\f(3V,4π)，∴r＝eq\r(3,\f(3V,4π))(V>0)．(2)由已知可得，气球的平均膨胀率为：eq\f(rV2－rV1,V2－V1).∴由0L到1L的膨胀率为eq\f(r1－r0,1－0)＝eq\r(3,\f(3,4π))≈0.62(dm/L)．由1L到2L的膨胀率为：eq\f(r2－r1,2－1)＝eq\r(3,\f(6,4π))－eq\r(3,\f(3,4π))≈0.16(dm/L)．(3)由(2)可知，随着气球体积的增大，它的半径增加得越来越慢，因此它的平均膨胀率渐渐减小．无限靠近(极限)思想的应用[典例]求函数f(x)＝eq\f(1,\r(x))在x＝1时的瞬时变更率．[解析]因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝eq\f(1,\r(1＋Δx))－1＝eq\f(1－\r(1＋Δx),\r(1＋Δx))＝eq\f(1－1＋Δx,1＋\r(1＋Δx)\r(1＋Δx))＝eq\