2024-2025学年高中数学第二章解三角形1.1正弦定理学案含解析北师大版必修5

PAGE其次章解三角形§1正弦定理与余弦定理1.1正弦定理导思1.正弦定理的内容是什么?2.正弦定理可以解决哪些问题?1.正弦定理公式表达语言描述QUOTE=QUOTE=QUOTE=2R.(R为△ABC的外接圆的半径)在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等(定值)【说明】(1)适用范围:正弦定理对随意的三角形都成立;(2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式;(3)刻画规律:正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系,可以实现三角形中边角关系的互化.2.正弦定理的变形(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(边化角).

(2)sinA=QUOTE,sinB=QUOTE,sinC=QUOTE(角化边).(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC(边角互化).

(4)QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(其中R是△ABC外接圆的半径)(1)在△ABC中,假如已知边a,边b和角A,能否求出其他的角和边?提示:利用QUOTE=QUOTE,可得sinB=QUOTEsinA,求出角B,再利用C=π-A-B求出角C,最终利用QUOTE=QUOTE,即c=QUOTE求出边c.(2)在△ABC中,若a>b,如何得到sinA>sinB?提示:若a>b,则由a=2RsinA,b=2RsinB,可得2RsinA>2RsinB,即sinA>sinB.(R为△ABC的外接圆的半径)3.三角形的面积公式S=QUOTEabsinC=QUOTEbcsinA=QUOTEacsinB=QUOTE.在△ABC中,已知边a,c和角B,选择哪个公式求△ABC的面积更好?提示:S=QUOTEacsinB.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)正弦定理仅对于直角三角形成立. ()(2)在三角形中,相等的两边所对的角相等. ()(3)在△ABC中,若sinA=QUOTE,则A=QUOTE. ()(4)在△ABC中,若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形. ()提示:(1)×.正弦定理对于随意三角形都成立.(2)√.在三角形中,若a=b,则2RsinA=2RsinB,得sinA=sinB,所以A=B或A=π-B(舍去).(3)×.A=QUOTE时,sinA=QUOTE也成立.(4)×.由sin2A=sin2B,可得2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=QUOTE,即三角形ABC为等腰三角形或直角三角形.2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=30°,B=45°,a=QUOTE,则b=()A.2 B.1 C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.由正弦定理QUOTE=QUOTE得b=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2.3.(教材二次开发:例题改编)在△ABC中,若a=2,b=3,B=60°,则sinA=________.

【解析】由正弦定理得sinA=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE关键实力·合作学习类型一利用正弦定理求解三角形的边与角(逻辑推理)1.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB等于 ()A.-QUOTE B.QUOTEC.-QUOTE D.QUOTE2.在△ABC中,a=2QUOTE,b=2QUOTE,∠B=45°,则∠A为 ()A.30°或150° B.60°或120°C.60° D.30°3.在△ABC中,已知c=QUOTE,A=45°,a=2,求边b.【解析】1.选D.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以sinB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因为a>b,所以A>B,又因为A=60°,所以B为锐角,所以cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.选B.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以sinA=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因为0°<A<135°,所以∠A=60°或120°.3.因为QUOTE=QUOTE,所以sinC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因为0°<C<180°,所以C=60°或C=120°.当C=60°时B=75°,b=QUOTE=QUOTE=QUOTE+1;当C=120°时B=15°,b=QUOTE=QUOTE=QUOTE-1.所以b=QUOTE+1或b=QUOTE-1.1.正弦定理的表示形式QUOTE=QUOTE=QUOTE=2R,或a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC(k>0).2.正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边,求其他两边和其余一角.(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其余两角.3.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)假如已知的角为大边所对的角,由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能推断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求唯一锐角.(3)假如已知的角为小边所对的角,则不能推断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求得两个角,要分类探讨.类型二推断三角形的形态(直观想象)【典例】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin2B=bcosAcosB,则△ABC的形态是 ()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定【思路导引】依据正弦定理得到sinAsin2B=sinBcosAcosB,化简得到-sinBcos(A+B)=0,计算得到答案.【解析】选B.asin2B=bcosAcosB,所以sinAsin2B=sinBcosAcosB,所以sinB(sinAsinB-cosAcosB)=0,即-sinBcos(A+B)=0.因为0<A<π,0<B<π,所以A+B=QUOTE,故△ABC是直角三角形.推断三角形形态的方法(1)推断三角形的形态,可以从三边的关系入手,也可以从三个内角的关系入手,从条件动身,利用正弦定理进行代换、转化,呈现出边与边的关系或角与角的关系,从而进行推断.(2)推断三角形的形态,主要看其是否为正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形等,要特殊留意“等腰直角三角形”与“等腰或直角三角形”的区分.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形态为 ()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定【解析】选B.因为bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,sin(B+C)=sin2A⇒sinA=sin2A,所以sinA=1,A=QUOTE,所以△ABC是直角三角形.【拓展延长】正弦定理的作用(1)解三角形(①已知两角和任一边,求其他两边和其余一角;②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其余两个角).(2)证明化简过程中边角互化.(3)求三角形外接圆半径.【拓展训练】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的外接圆的半径是3,a=3,则A= ()A.30° B.60°C.60°或120° D.30°或150°【解析】选D.依据正弦定理得QUOTE=2R,所以sinA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因为0°<A<180°,所以A=30°或150°.类型三三角形的面积问题(数学运算)【典例】(1)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=QUOTE,cosC=QUOTE,a=1,则△ABC的面积S=________.

(2)已知在△ABC中,边a,b,c的对角分别为A,B,C,且a=QUOTE,c=QUOTE,C=QUOTE,则△ABC的面积S=________.

【思路导引】(1)可由余弦值,得出相应的正弦值,再求出其中的一边长,再利用面积公式求出三角形的面积.(2)由正弦定理求sinA从而求得∠A,∠B,再利用面积公式求出三角形的面积.【解析】(1)在△ABC中,由cosA=QUOTE,cosC=QUOTE,可得sinA=QUOTE,sinC=QUOTE,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosA·sinC=QUOTE,又a=1,由正弦定理得b=QUOTE=QUOTE.所以S=QUOTEabsinC=QUOTE×1×QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE(2)由正弦定理知,sinA=QUOTEa=QUOTE·QUOTE=QUOTE.由a<c,得A<C,所以A∈QUOTE,所以A=QUOTE,所以B=π-A-C=QUOTE,所以S=QUOTEacsinB=QUOTE×QUOTE×QUOTE×sinQUOTE=QUOTE.答案:QUOTE在△ABC中,∠A=60°,AC=4,BC=2QUOTE,则△ABC的面积为 ()A.4QUOTE B.4 C.2QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为在△ABC中,∠A=60°,AC=4,BC=2QUOTE,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以sinB=1,所以∠B=90°,∠C=30°,所以S△ABC=QUOTE×2QUOTE×4×sin30°=2QUOTE.1.利用正弦定理求三角形面积的步骤(1)依据已知条件,先确定应当求出哪个量.(2)选择相应的边及相应的角,利用正弦定理求出所须要的量.(3)利用面积公式求解.2.求三角形面积的两点留意一是留意选择哪类、哪个三角形面积公式;二是要留意三角形内角和定理的应用.1.在△ABC中,若a=3QUOTE,cosC=QUOTE,S△ABC=4QUOTE,则b=________.

【解析】因为cosC=QUOTE,所以C∈QUOTE,所以sinC=QUOTE=QUOTE,又S△ABC=QUOTEabsinC=QUOTE·3QUOTE·b·QUOTE=4QUOTE,所以b=2QUOTE.答案:2QUOTE2.在△ABC中,AB=QUOTE,AC=1,B=30°,S△ABC=QUOTE,则C= ()A.60°或120° B.30°C.60° D.45°【解析】选C.在△ABC中,AB=QUOTE,AC=1,S△ABC=QUOTEAB·AC·sinA=QUOTE,可得sinA=1,所以A=90°,所以C=180°-A-B=180°-90°-30°=60°.备选类型三角形解的个数推断(数学运算、逻辑推理)【典例】设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3,b=QUOTE,A=QUOTE,则B=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE或QUOTEπ D.QUOTE【思路导引】依据正弦定理求解可得sinB,然后依据a>b,可得B为锐角.【解析】选B.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以sinB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.又因为b<a,所以B<A,故B=QUOTE.1.已知三角形的两角和随意一边,求另两边和另一角,此时有唯一解,三角形被唯一确定.2.已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角,此时可能出现一解、两解或无解的状况,三角形不能被唯一确定.在△ABC中,已知边a,边b和角A时,解的状况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式①a=bsinA②a≥bbsinA<a<ba<bsinAa>ba≤b解的个数一解两解无解一解无解△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60°,b=10,则结合a的值解三角形有两解的为 ()A.a=8 B.a=9 C.a=10 D.a=11【解析】选B.由正弦定理知sinB=QUOTE,由题意知,若a=b,则A=B=60°,只有一解;若a>b,则A>B,只有一解;从而要使a的值解三角形有两解,则必有b>a,且0<sinB<1,即QUOTE=QUOTE<1,解得a>5QUOTE,即75<a2<100,因此只有B选项符合条件.课堂检测·素养达标1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=60°,a=4QUOTE,b=4QUOTE,则B= ()A.45° B.135°C.45°或135° D.以上都不对【解析】选A.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以sinB=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因为a>b,所以A>B,所以B=45°.2.在△ABC中,A∶B∶C=1∶1∶4,则a∶b∶c等于 ()A.1∶1∶QUOTE B.2∶2∶QUOTEC.1∶1∶2 D.1∶1∶4【解析】选A.△ABC中,因为A∶B∶C=1∶1∶4,所以三个内角分别为30°,30°,120°,故a∶b∶c=sin30°∶sin30°∶sin120°=1∶1∶QUOTE.3.(教材二次开发:练习改编)在△ABC中,角A,B,C所对边分别是a,b,c,若b=QUOTE,c=3,且sinC=QUOTE,满意题意的△ABC有 ()A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定【解析】选B.b=QUOTE