2024-2025学年高中数学模块素养评价含解析新人教A版选修2-2

PAGE模块素养评价(120分钟150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知i是虚数单位,则复数QUOTE的虚部为 ()A.-i B.-1 C.1 D.i【解析】选C.复数QUOTE=QUOTE=-1+i,故复数的虚部为1.2.若复数z满意z(2-i)=11+7i(i为虚数单位),则z= ()A.3+5i B.3-5iC.-3+5i D.-3-5i【解析】选A.由z(2-i)=11+7i得,z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=3+5i.3.曲线y=1-QUOTE在点(-1,-1)处的切线方程为 ()A.y=2x+1 B.y=2x-1C.y=-2x-3 D.y=-2x-2【解析】选A.因为y=1-QUOTE=QUOTE,所以y′=QUOTE=QUOTE,y′|x=-1=2,所以曲线在点(-1,-1)处的切线斜率为2,所以所求切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.4.演绎推理“因为对数函数y=logax(a>0且a≠1)是增函数,而函数y=loQUOTEx是对数函数,所以y=loQUOTEx是增函数”所得结论错误的缘由是 ()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.大前提和小前提都错误【解析】选A.因为当a>1时,函数y=logax(a>0且a≠1)是一个增函数,当0<a<1时,此函数是一个减函数,所以y=logax(a>0且a≠1)是增函数这个大前提是错误的,从而导致结论错误.5.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE>2QUOTE时,若已假设n=k(k≥2,且k为偶数)时等式成立,则还需利用假设再证()A.n=k+1时不等式成立B.n=k+2时不等式成立C.n=2k+2时不等式成立D.n=2(k+2)时不等式成立【解析】选B.由于k是偶数,所以k+2是k后面的第一个偶数.6.已知点列:P1(1,1),P2(1,2),P3(2,1),P4(1,3),P5(2,2),P6(3,1),P7(1,4),P8(2,3),P9(3,2),P10(4,1),P11(1,5),P12(2,4),…,则P60的坐标为 ()A.(3,8)B.(4,7)C.(4,8)D.(5,7)【解析】选D.横纵坐标之和为2的有1个,横纵坐标之和为3的有2个,横纵坐标之和为4的有3个,横纵坐标之和为5的有4个.因此横纵坐标之和为2,3,…,11的点共有1+2+3+…+10=55个,横纵坐标之和为12的有11个.因此P60为横纵坐标之和为12的第5个点,即为(5,7).7.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,则函数y=ax2+QUOTEbx+QUOTE的单调递增区间是()A.(-∞,-2] B.QUOTEC.[-2,3] D.QUOTE【解析】选D.由题图可知d=0.不妨取a=1,因为f(x)=x3+bx2+cx,所以f′(x)=3x2+2bx+c.由图可知f′(-2)=0,f′(3)=0,所以12-4b+c=0,27+6b+c=0,所以b=-QUOTE,c=-18.所以y=x2-QUOTEx-6,y′=2x-QUOTE.当x>QUOTE时,y′>0,所以y=x2-QUOTEx-6的单调递增区间为QUOTE.8.下面为函数y=xsinx+cosx的递增区间的是 ()A.QUOTE B.(π,2π)C.QUOTE D.(2π,3π)【解析】选C.y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx,当x>0时,由y′>0得xcosx>0,即cosx>0.【补偿训练】设函数f(x)=x2-2x-4lnx,则f(x)的递增区间为 ()A.(0,+∞) B.(-1,0),(2,+∞)C.(2,+∞) D.(0,1)【解析】选C.因为f(x)=x2-2x-4lnx,x>0,所以f′(x)=2x-2-QUOTE.令f′(x)=2x-2-QUOTE>0(x>0),解得x>2,所以函数f(x)=x2-2x-4lnx的递增区间是(2,+∞).9.如图,在平面直角坐标系xOy中,圆x2+y2=r2(r>0)内切于正方形ABCD,任取圆上一点P,若=m+n(m,n∈R),则QUOTE是m2,n2的等差中项.现有一椭圆QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)内切于矩形ABCD,任取椭圆上一点P,若=m+n(m,n∈R),则m2,n2的等差中项为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】选A.如图,设P(x,y),由QUOTE+QUOTE=1知A(a,b),B(-a,b),由=m+n,可得QUOTE代入QUOTE+QUOTE=1可得(m-n)2+(m+n)2=1,即m2+n2=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,即m2,n2的等差中项为QUOTE.10.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=QUOTE,类比这个结论可知:四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球半径为R,四面体S-ABC的体积为V,则R= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解题指导】依据平面与空间之间的类比推理,由点类比点或直线,由直线类比直线或平面,由内切圆类比内切球,由平面图形面积类比立体图形的体积,结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可.【解析】选C.设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则四面体的体积为V=QUOTE(S1+S2+S3+S4)R,所以R=QUOTE.11.已知函数f(x)=x3-ax在(-1,1)上单调递减,则实数a的取值范围为()A.(1,+∞) B.[3,+∞)C.(-∞,1] D.(-∞,3]【解析】选B.因为f(x)=x3-ax,所以f′(x)=3x2-a.又f(x)在(-1,1)上单调递减,所以3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,所以a≥3.12.定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x),若对随意的实数x,都有2f(x)+xf′(x)<2恒成立,则使x2f(x)-f(1)<x2-1成立的实数x的取值范围为()A.{x|x≠±1} B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,1) D.(-1,0)∪(0,1)【解析】选B.构造函数g(x)=x2f(x)-x2,x∈R,则g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)-2x=x[2f(x)+xf′(x)-2].由题意得2f(x)+xf′(x)-2<0恒成立,故当x<0时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;当x>0时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.因为x2f(x)-f(1)<x2-1,所以x2f(x)-x2<f(1)-1,即g(x)<g(1),当x>0时,解得x>1;当x<0时,因为f(x)是偶函数,所以g(x)是偶函数,同理解得x<-1.故实数x的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).二、填空题(每小题5分,共20分)13.已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是________.

【解析】因为z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i2=3i-1,所以|z|=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE14.若曲线y=QUOTE上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标为________.

【解析】设P(x0,y0),因为y=e-x,所以y′=-e-x,所以点P处的切线斜率为k=-QUOTE=-2,所以-x0=ln2,所以x0=-ln2,所以y0=eln2=2,所以点P的坐标为(-ln2,2).答案:(-ln2,2)15.视察下图中各正方形图案,每条边上有n(n≥2)个点,第n个图案中圆点的总数是Sn.n=2,S2=4;n=3,S3=8;n=4,S4=12;….按此规律,推出Sn与n的关系式为________.

【解析】由题意可得:S2=2×4-4,S3=3×4-4,S4=4×4-4(正方形四个顶点重复计算一次,应减去).…猜想:Sn=4n-4(n≥2,n∈N*).答案:Sn=4n-4(n≥2,n∈N*)16.定义“正对数”:ln+x=QUOTE现有四个命题:①若a>0,b>0,则ln+(ab)=bln+a;②若a>0,b>0,则ln+(ab)=ln+a+ln+b;③若a>0,b>0,则ln+(QUOTE)≥ln+a-ln+b;④若a>0,b>0,则ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2.其中的真命题有:________.(写出全部真命题的编号)

【解题指南】本题为新定义问题,要留意新定义的函数的特点,依据新定义解决问题.【解析】①当a≥1,b>0时,ab≥1,ln+(ab)=lnab=blna,bln+a=blna,所以ln+(ab)=bln+a成立.当0<a<1,b>0时,0<ab<1,此时ln+(ab)=0,bln+a=0,即ln+(ab)=bln+a成立.综上ln+(ab)=bln+a恒成立.②当a=e,b=QUOTE时,ln+(ab)=ln1=0,ln+a=lne=1,ln+b=0,所以ln+(ab)=ln+a+ln+b不成立.③探讨a,b的取值,可知正确.④探讨a,b的取值,可知正确.所以正确的命题为①③④.答案:①③④三、解答题(共70分)17.(10分)(1)计算QUOTE+QUOTE;(2)复数z=x+yi(x,y∈R)满意z+2QUOTE=3+i,求复数z.【解析】(1)原式=QUOTE+QUOTE=i+QUOTE=i+QUOTE=QUOTE+QUOTEi.(2)(x+yi)+2i(x-yi)=3+i,即(x+2y)+(2x+y)i=3+i,即QUOTE解得QUOTE所以z=-QUOTE+QUOTEi.18.(12分)设a,b,c均为大于1的正数,且ab=10,求证:logac+logbc≥4lgc.【证明】方法一:因为ab=10,所以lga+lgb=lgab=1,则logac+logbc=QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE.因为a>1,b>1,所以lga>0,lgb>0,则lga·lgb≤QUOTE=QUOTE,QUOTE≥4,又c>1,lgc>0.所以QUOTE≥4lgc,即logac+logbc≥4lgc.方法二:要证logac+logbc≥4lgc,只需证QUOTE+QUOTE≥4lgc.又因为c>1,所以lgc>0,故只需证QUOTE+QUOTE≥4,即证QUOTE≥4.又因为ab=10,所以lga+lgb=lg(ab)=1,故只需证QUOTE≥4.又因为lga>0,lgb>0,所以0<lga·lgb≤QUOTE=QUOTE=QUOTE,则QUOTE≥4成立.所以原不等式成立,即logac+logbc≥4lgc.19.(12分)已知:a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0.求证:a>0,b>0,c>0.【证明】假设a,b,c不都是正数,由abc>0可知,这三个数中必有两个为负数,一个为正数,不妨设a<0,b<0,c>0,则由a+b+c>0,可得c>-(a+b).又a+b<0,所以c(a+b)<-(a+b)(a+b),ab+c(a+b)<-(a+b)(a+b)+ab,即ab+bc+ca<-a2-ab-b2,因为a2>0,ab>0,b2>0,所以-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)<0,即ab+bc+ca<0,这与已知ab+bc+ca>0冲突,所以假设不成立.因此a>0,b>0,c>0成立.20.(12分)已知函数f(x)=-x3+ax2+b,其中a,b∈R.(1)若函数f(x)在(0,2)上单调递增,求实数a的取值范围.(2)当x∈(0,1]时,y=f(x)图象上随意一点处的切线的倾斜角为θ,且0≤θ≤QUOTE,求a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=-3x2+2ax,要使f(x)在(0,2)上单调递增,则f′(x)≥0在(0,2)上恒成立,因为f′(x)是开口向下的抛物线,所以QUOTE所以a≥3.(2)因为0≤θ≤QUOTE,所以tanθ=-3x2+2ax∈[0,1].据题意0≤-3x2+2ax≤1在(0,1]上恒成立,由-3x2+2ax≥0,得a≥QUOTEx,a≥QUOTE,由-3x2+2ax≤1,得a≤QUOTEx+QUOTE.又QUOTEx+QUOTE≥QUOTE(当且仅当x=QUOTE时取“=”),所以a≤QUOTE.综上,a的取值范围是QUOTE.21.(12分)已知函数f(x)=ln(x+1)+QUOTE(a∈R).(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程.(2)探讨函数f(x)的极值.【解析】(1)当a=1时,f(x)=ln(x+1)+QUOTE,所以f′(x)=QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以f′(0)=2.又f(0)=0,所以函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.(2)f′(x)=QUOTE+QUOTE=QUOTE(x>-1).令x+1+a=0,得x=-a-1.若-a-1≤-1,即a≥0,则f′(x)>0恒成立,此时f(x)无极值.若-a-1>-1即a<0,则当-1<x<-a-1时,f′(x)<0,当x>-a-1时,f′(x)>0,此时f(x)在x=-a-1处取得微小值,微小值为ln(-a)+a+1.22.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-QUOTE,Sn+QUOTE=