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文档简介
安徽省安庆一中2025届数学高二上期末学业质量监测试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设,,,则,,大小关系为A. B.C. D.2.已知函数的定义域为,若,则()A. B.C. D.3.二次方程的两根为2,,那么关于的不等式的解集为()A.或 B.或C. D.4.已知F为椭圆C:=1(a>b>0)右焦点,O为坐标原点,P为椭圆C上一点,若|OP|=|OF|,∠POF=120°,则椭圆C的离心率为()A. B.C.-1 D.-15.过点且垂直于直线的直线方程为()A. B.C. D.6.已知双曲线C:-=1(a>b>0)的左焦点为F1,若过原点倾斜角为的直线与双曲线C左右两支交于M、N两点,且MF1NF1,则双曲线C的离心率是()A.2 B.C. D.7.若直线与直线垂直,则a=()A.-2 B.0C.0或-2 D.18.设是等差数列,是其公差,是其前n项的和.若,,则下列结论不正确的是()A. B.C. D.与均为的最大值9.命题“,”的否定是A., B.,C., D.,10.设集合,则AB=()A.{2} B.{2,3}C.{3,4} D.{2,3,4}11.过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为()A B.C. D.12.如图,在平行六面体中,设,,,用基底表示向量,则()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列满足,则的前20项和___________.14.若等比数列满足,则的前n项和____________15.设a为实数,若直线与直线平行,则a值为______.16.设、、是三个不同的平面,、是两条不同的直线,给出下列三个结论:①若,,则;②若,,则;③若,,则其中,正确结论的序号为__三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,A1C的中点,AD=AA1=2,AB=(1)求证:EF∥平面ADD1A1;(2)求平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值;(3)在线段A1D1上是否存在点M,使得BM⊥平面EFD?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由18.(12分)已知三棱柱中,.(1)求证:平面平面.(2)若,在线段上是否存在一点使平面和平面所成角的余弦值为若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.19.(12分)已知数列满足,,且成等比数列(1)求的值和的通项公式;(2)设,求数列的前项和20.(12分)在平面直角坐标系中,点,直线轴,垂足为H,,圆N过点O,与l的公共点的轨迹为(1)求的方程;(2)过M的直线与交于A,B两点,若,求21.(12分)如图,在四棱锥中,底面为正方形,底面,,为棱的中点.(1)求直线与所成角的余弦值;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)求二面角的余弦值.22.(10分)王同学入读某大学金融专业,过完年刚好得到红包6000元,她计划以此作为启动资金进行理投资,每月月底获得的投资收益是该月月初投入资金的20%,并从中拿出1000元作为自己的生活费,余款作为资金全部投入下个月,如此继续.设第n个月月底的投资市值为an.(1)求证:数列{-5000}为等比数列;(2)如果王同学想在第二年过年的时候给奶奶买一台全身按摩椅(商场标价为12899元),将一年后投资市值全部取出来是否足够?
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由,可得,,故选C.考点:指数函数性质2、D【解析】利用导数的定义可求得的值.【详解】由导数的定义可得.故选:D.3、B【解析】根据,确定二次函数的图象开口方向,再由二次方程的两根为2,,写出不等式的解集.【详解】因为二次方程的两根为2,,又二次函数的图象开口向上,所以不等式的解集为或,故选:B4、D【解析】记椭圆的左焦点为,在中,通过余弦定理得出,,根据椭圆的定义可得,进而可得结果.【详解】记椭圆的左焦点为,在中,可得,在中,可得,故,故,故选:D.5、A【详解】因为所求直线垂直于直线,又直线的斜率为,所以所求直线的斜率,所以直线方程为,即.故选:A【点睛】本题主要考查直线方程的求法,属基础题.6、C【解析】根据双曲线和直线的对称性,结合矩形的性质、双曲线的定义、离心率公式、余弦定理进行求解即可.【详解】设双曲线的右焦点为F2,过原点倾斜角为的直线为,设M、N分别在第三、第一象限,由双曲线和直线的对称性可知:M、N两点关于原点对称,而MF1NF1,因此四边形是矩形,而,所以是等边三角形,故,因此,因为,所以,在等腰三角形中,由余弦定理可知:,由矩形的性质可知:,由双曲线的定义可知:,故选:C【点睛】关键点睛:利用矩形的性质、双曲线的定义是解题的关键.7、C【解析】代入两直线垂直的公式,即可求解.【详解】因为两直线垂直,所以,解得:或.故选:C8、C【解析】由已知条件可以得出,,,即可得公差,再利用等差数列的性质以及前n项的和的性质可判断每个选项的正误,进而可得正确选项.【详解】由可得,由可得,故选项B正确;由可得,因为公差,故选项A正确,,所以,故选项C不正确;由于是等差数列,公差,,,,所以都是的最大值,故选项D正确;所以选项C不正确,故选:C9、C【解析】特称命题的否定是全称命题,改量词,且否定结论,故命题的否定是“”.本题选择C选项.10、B【解析】按交集定义求解即可.【详解】AB={2,3}故选:B11、D【解析】设双曲线的方程为,再代点解方程即得解.【详解】解:由得,所以椭圆的焦点为.设双曲线的方程为,因为双曲线过点,所以.所以双曲线的方程为.故选:D12、B【解析】直接利用空间向量基本定理求解即可【详解】因为在平行六面体中,,,,所以,故选:B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、135【解析】直接利用数列的递推关系式写出相邻四项之和,进而求出数列的和.【详解】数列满足,所以,故,当时,,当时,,,当时,,所以.故答案为:135.14、##【解析】由已知及等比数列的通项公式得到首项和公比,再利用前n项和公式计算即可.【详解】设等比数列的公比为,由已知,得,解得,所以.故答案为:15、【解析】根据两直线平行得到,解方程组即可求出结果.【详解】由题意可知,解得,故答案为:.16、①②【解析】利用线面垂直的性质可判断命题①、②的正误;利用特例法可判断命题③的正误.综合可得出结论.【详解】、、是三个不同的平面,、是两条不同的直线.对于①,若,,由同垂直于同一平面的两直线平行,可得,故①正确;对于②,若,,由同垂直于同一直线的两平面平行,可得,故②正确;对于③,若,,考虑墙角处的三个平面两两垂直,可判断、相交,则不正确故答案为:①②【点睛】本题考查空间中线面、面面位置关系有关命题真假的判断,考查推理能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2);(3)不存在;理由见解析【解析】(1)连接AD1,A1D,交于点O,所以点O是A1D的中点,连接FO,根据判定定理证明四边形AEFO是平行四边形,进而得到线面平行;(2)建立坐标系,求出两个面的法向量,求得两个法向量的夹角的余弦值,进而得到二面角的夹角的余弦值;(3)假设在线段A1D1上存在一点M,使得BM⊥平面EFD,设出点M的坐标,由第二问得到平面EFD的一个法向量,判断出和该法向量不平行,故不存在满足题意的点M.【详解】(1)证明:连接AD1,A1D,交于点O,所以点O是A1D的中点,连接FO因为F是A1C的中点,所以OF∥CD,OF=CD因AE∥CD,AE=CD,所以OF∥AE,OF=AE所以四边形AEFO是平行四边形所以EF∥AO因为EF⊄平面ADD1A1,AO⊂平面ADD1A1,所以EF∥平面ADD1A1(2)以点A为坐标原点,直线AB,AD,AA1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,因为点E,F分别是AB,A1C的中点,AD=AA1=2,AB=,所以B(,0,0),D(0,2,0),E,F所以=,=(0,1,1)设平面EFD的法向量为,则即令y=1,则z=-1,x=2所以,由题知,平面DEC的一个法向量为m=(0,0,1),所以cos<,>==所以平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值是(3)假设在线段A1D1上存在一点M,使得BM⊥平面EFD设点M的坐标为(0,t,2)(0≤t≤2),则=(,t,2)因为平面EFD的一个法向量为,而与不平行,所以在线段A1D1上不存在点M,使得BM⊥平面EFD18、(1)证明见解析;(2)在线段上存在一点,且P是靠近C的四等分点.【解析】(1)连接,根据给定条件证明平面得即可推理作答.(2)在平面内过C作,再以C为原点,射线CA,CB,Cz分别为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系,利用空间向量计算判断作答.【小问1详解】在三棱柱中,四边形是平行四边形,而,则是菱形,连接,如图,则有,因,,平面,于是得平面,而平面,则,由得,,平面,从而得平面,又平面,所以平面平面.【小问2详解】在平面内过C作,由(1)知平面平面,平面平面,则平面,以C为原点,射线CA,CB,Cz分别为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系,如图,因,,则,假设在线段上存在符合要求的点P,设其坐标为,则有,设平面的一个法向量,则有,令得,而平面的一个法向量,依题意,,化简整理得:而,解得,所以在线段上存在一点,且P是靠近C的四等分点,使平面和平面所成角的余弦值为.19、(1);;(2)【解析】(1)由于,所以可得,再由成等比数列,列方程可求出,从而可求出的通项公式;(2)由(1)可得,然后利用错位相减法求【详解】解:(1)数列{an}满足,所以,所以a2+a3=a1+a2+d,由于a1=1,a2=1,所以a2+a3=2+d,a8+a9=2+7d,且a1,a2+a3,a8+a9成等比数列,所以,整理得d=1或2(1舍去)故an+2=an+2,所以n奇数时,an=n,n为偶数时,an=n﹣1所以数列{an}的通项公式为(2)由于,所以所以T2n=b1+b2+...+b2n=﹣20×12+20×22﹣22×32+22×42+...+[﹣22n﹣2•(2n﹣1)2]+22n﹣2•(2n)2,=20×(22﹣12)+22×(42﹣32)+...+22n﹣2•[(2n)2﹣(2n﹣1)2]=20×3+22×7+...+22n﹣2•(4n﹣1)①,所以,②,①﹣②得:﹣3T2n=20×3+22×4+...+22n﹣2×4﹣22n×(4n﹣1),=3+4×﹣22n×(4n﹣1),=,所以20、(1);(2).【解析】(1)设出圆N与l的公共点坐标,再探求出点N的坐标,并由圆的性质列出方程化简即得.(2)设出直线AB的方程,与的方程联立,结合已知条件并借助韦达定理计算作答.【小问1详解】设为圆N与l的公共点,而直线轴,垂足为H,则,又,,于是得,因O,P在圆N上,即,则有,化简整理得:,所以的方程为.【小问2详解】显然直线AB不垂直于y轴,设直线AB的方程为,,由消去x并整理得:,则,因为,则点A到x轴距离是点B到x轴距离的2倍,即,由解得或,则有,因此有,所以.21、(1);(2);(3).【解析】以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,设.(1)写出、的坐标,利用空间向量法计算出直线与所成角的余弦值;(2)求出平面的一个法向量的坐标,利用空间向量法可计算得出直线与平面所成角的正弦值;(3)求出平面的一个法向量的坐标,利用空间向量法可求得二面角的余弦值.【详解】平面,四边形为正方形,设.以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,如下图所示:则、、、、、.(1),,,所以,异面直线、所成角的余弦值为;(2)设平面的一个法向量为,,,由,可得,取,可得,则,,,因此,直线与平面所成角的正弦值为;(3)设平面的一个法向量为,,,由,可得,得,取,则,,所以,平面的一个法向量为,,由图形可知,二面角为锐角,因此,二面角的余弦值为.【点睛】方法点睛:求空间角的常用方法:(1)定义法:由异面直线所成角、线面角、二面角的定义,结合图形,
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