2025届河南省郸城县第二高级中学高二数学第一学期期末综合测试试题含解析

2025届河南省郸城县第二高级中学高二数学第一学期期末综合测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线与圆相交与A，B两点，则AB的长等于（）A3 B.4C.6 D.12．若直线被圆截得的弦长为4，则的最大值是（）A. B.C.1 D.23．如图，，是平面上两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为，的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以，为焦点的椭圆M上，则（）A.点B和C都在椭圆M上 B.点C和D都在椭圆M上C.点D和E都在椭圆M上 D.点E和B都在椭圆M上4．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A、B是的ON边上的两个定点，C是OM边上的一个动点，当C在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边OM相切于点C时，最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点P、Q的坐标分别是（2，0），（4，0），R是y轴正半轴上的一动点，当最大时，点R的纵坐标为（）A.1 B.C. D.25．若数列为等比数列，且，，则（）A.8 B.16C.32 D.646．已知双曲线C的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B.C. D.7．设两个变量与之间具有线性相关关系，相关系数为，回归方程为，那么必有（）A.与符号相同 B.与符号相同C.与符号相反 D.与符号相反8．命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，9．函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（）A. B.C D.10．椭圆：的左焦点为，椭圆上的点与关于坐标原点对称，则的值是（）A.3 B.4C.6 D.811．已知双曲线的两个焦点为，，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（）A. B.C. D.12．已知圆与圆外切，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为___________14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点M是双曲线左支上的一点，若，，则双曲线的离心率是____________15．如图，某海轮以的速度航行，若海轮在点测得海面上油井在南偏东，向北航行后到达点，测得油井在南偏东，海轮改为沿北偏东的航向再行驶到达点，则，间的距离是________16．设双曲线(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆：与x轴负半轴交于点A，过A的直线交抛物线于B，C两点，且.（1）证明：点C的横坐标为定值；（2）若点C在圆内，且过点C与垂直的直线与圆交于D，E两点，求四边形ADBE的面积的最大值.18．（12分）已知在△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，求△的面积S的最大值.19．（12分）如图，分别是椭圆C：的左，右焦点，点P在椭圆C上，轴，点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且，.（1）求椭圆C的方程；（2）已知M，N是椭圆C上的两点，若点，，试探究点M，，N是否一定共线？说明理由.20．（12分）已知集合，．若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围21．（12分）已知数列的前n项和为，且（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，其公差为，求数列的前n项和22．（10分）已知数列是等差数列，其前项和为，且，.（1）求；（2）记数列的前项和为，求当取得最小值时的的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据弦长公式即可求出【详解】因为圆心到直线的距离为，所以AB的长等于故选：C2、A【解析】根据弦长求得的关系式，结合基本不等式求得的最大值.【详解】圆的圆心为，半径为，所以直线过圆心，即，由于为正数，所以，当且仅当时，等号成立.故选：A3、C【解析】根据椭圆的定义判断即可求解.【详解】因为，所以椭圆M中，因为，,,,所以D，E在椭圆M上.故选：C4、C【解析】由题意，借助米勒定理，可设出坐标，表示出的外接圆方程，然后在求解点R的纵坐标.【详解】因为点P、Q的坐标分别是（2，0），（4，0）是x轴正半轴上的两个定点，点R是y轴正半轴上的一动点，根据米勒定理，当的外接圆与y轴相切时，最大，由垂径定理可知，弦的垂直平分线必经过的外接圆圆心，所以弦的中点为（3，0），故弦中点的横坐标即为的外接圆半径，即，由垂径定理可得，圆心坐标为，故的外接圆的方程为，所以点R的纵坐标为.故选：C.5、B【解析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到，即可求出，再根据计算可得；【详解】解：设等比数列公比为，因为、，所以，所以；故选：B6、B【解析】根据双曲线的离心率，求出即可得到结论【详解】∵双曲线的离心率是，∴，即1+，即1，则，即双曲线的渐近线方程为，故选：B7、A【解析】利用相关系数的性质，分析即得解【详解】相关系数r为正，表示正相关，回归直线方程上升，r为负，表示负相关，回归直线方程下降，与r的符号相同故选：A8、A【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题“，”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即为，，故选：A9、C【解析】根据函数的定义域和特殊点，判断出正确选项.【详解】由，解得，也即函数的定义域为，由此排除A,B选项.当时，，由此排除D选项.所以正确的为C选项.故选：C【点睛】本小题主要考查函数图像识别，属于基础题.10、D【解析】令椭圆C的右焦点，由已知条件可得四边形为平行四边形，再利用椭圆定义计算作答.【详解】令椭圆C的右焦点，依题意，线段与互相平分，于是得四边形为平行四边形，因此，而椭圆：的长半轴长，所以.故选：D11、A【解析】由，可得进一步求出，由此得到，则该双曲线的方程可求【详解】，即，则．即，则该双曲线的方程是：故选：A【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的方程，常用待定系数法，先定式（根据已知确定焦点所在的坐标轴，设出曲线的方程），再定式（根据已知建立方程组解方程组得解）.12、D【解析】根据两圆外切关系，圆心距离等于半径的和列方程求参数.【详解】由题设，两圆圆心分别为、，半径分别为1、r，∴由外切关系知：，可得.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据圆柱表面积公式求解即可.【详解】根据题意得到圆柱的高，底面半径，则表面积.故答案为：14、5【解析】根据得出，设，从而利用双曲线的定义可求出，的关系，从而可求出答案.【详解】设双曲线的焦距为，则，因为，所以，因为，不妨设，，由双曲线的定义可得，所以，，由勾股定理可得，，所以，所以双曲线的离心率故答案为：.15、【解析】根据条件先由正弦定理求出的长，得出,求出的长，由勾股定理可得答案.【详解】海轮向北航行后到达点，则由题意，在中，又则,由正弦定理可得：,即在中，，所以故答案为：16、e＝2.【解析】先求出直线的方程，利用原点到直线的距离为，，求出的值，进而根据求出离心率【详解】由l过两点(a,0)，(0，b)，得l的方程为bx＋ay－ab＝0.由原点到l的距离为c，得＝c.将b＝代入平方后整理，得162－16·＋3＝0.解关于的一元二次方程得＝或.∵e＝，∴e＝或e＝2.又0<a<b，故e＝＝＝>.∴应舍去e＝.故所求离心率e＝2.【点睛】本题考查双曲线性质，考查求双曲线的离心率常用的方法即构造出关于的等式，属于中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）设直线方程，与抛物线方程联立，设，，结合，得到，结合根与系数的关系，即可解得答案；（2）根据（1）所设，表示出弦长，再求出，进而表示出四边形ADBE的面积，据此求其最大值,【小问1详解】由题意知点的坐标为，易知直线的斜率存在且不为零，设直线：，，，联立，得，则，即，由韦达定理得，由，即，得，即，代入，得或，又抛物线开口向右，，所以点的横坐标为定值.【小问2详解】由（1）知点的坐标为，故，由（1）知点的坐标为，由点在圆内，得，解得，又，得的斜率，故的方程为，即，故圆心到直线的距离为，由垂径定理得，故，（），当且仅当时，有最大值，所以四边形的面积的最大值为.18、（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理、和角正弦公式及三角形内角的性质可得，进而可得C的大小；（2）由余弦定理可得，根据基本不等式可得，由三角形面积公式求面积的最大值，注意等号成立条件.【小问1详解】由正弦定理知：，∴，又，∴，则，故.【小问2详解】由，又，则，∴，当且仅当时等号成立，∴△的面积S的最大值为.19、（1）（2）不一定共线，理由见解析【解析】（1）由椭圆定义可得a，利用∽△BOA可解；（2）考察轴时的情况，分析可知M，，N不一定共线.【小问1详解】由题意得，，设，，代入椭圆C的方程得，，可得.可得.由，，所以∽△BOA，所以，即，可得.又，，得.所以椭圆C的方程为.【小问2详解】当轴时，，设，，则由已知条件和方程，可得，整理得，，解得或.由于，所以当时，点M，，N共线；所以当时，点M，，N不共线.所以点M，，N不一定共线.20、【解析】由题设A是的真子集，结合已知集合的描述列不等式求a的范围.【详解】由“”是“”的充分不必要条件，即A是的真子集，又，，所以，可得，则实数a的取值范围为21、（1）证明见解析，（2）【解析】（1）根据公式得到，得到，再根据等比数列公式得到答案.（2）根据等差数列定义得到，再利用错位相减法计算得到答案.【小问1详解】