2025届重庆市江津、巴县、长寿等七校联盟高二数学第一学期期末考试模拟试题含解析

2025届重庆市江津、巴县、长寿等七校联盟高二数学第一学期期末考试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A.分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法；B.分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法；C.分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法；D.分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；2．已知等差数列的前项和为，若，，则（）A. B.C. D.3．数列满足，对任意，都有，则（）A. B.C. D.4．已知曲线，则曲线W上的点到原点距离的最小值是（）A. B.C. D.5．已知命题：△中，若，则；命题：函数，，则的最大值为.则下列命题是真命题的是（）A. B.C. D.6．下列说法中正确的是（）A.命题“若，则”的否命题是真命题；B.若为真命题，则为真命题；C.“”是“”的充分条件；D.若命题：“，”，则：“，”7．已知直线l：的倾斜角为，则（）A. B.1C. D.－18．若椭圆的短轴为,一个焦点为,且为等边三角形的椭圆的离心率是A. B.C. D.9．已知双曲线的两个焦点，，是双曲线上一点，且，，则双曲线的标准方程是（）A. B.C. D.10．直线的一个法向量为（）A. B.C. D.11．圆关于直线对称，则的最小值是（）A. B.C. D.12．等差数列的通项公式，数列，其前项和为，则等于（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于、两点，交C的准线于、两点.，，则C的焦点到准线的距离为____.14．已知数列的前项和，则该数列的首项__________，通项公式__________.15．若曲线在处的切线平行于x轴，则___________.16．曲线在点处的切线方程为__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在三棱柱中，，D为BC的中点，平面平面ABC（1）证明：；（2）已知四边形是边长为2的菱形，且，问在线段上是否存在点E，使得平面EAD与平面EAC的夹角的余弦值为，若存在，求出CE的长度，若不存在，请说明理由18．（12分）已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列（1）求数列通项公式；（2）设，求数列的前项和19．（12分）中国共产党建党100周年华诞之际，某高校积极响应党和国家的号召，通过“增强防疫意识，激发爱国情怀”知识竞赛活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的心路历程，表达对建党100周年以来的丰功伟绩的传颂．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图（1）求值并估计中位数所在区间（2）需要从参赛选手中选出6人代表学校参与省里的此类比赛，你认为怎么选最合理，并说明理由20．（12分）已知过抛物线的焦点F且斜率为1的直线l交C于A，B两点，且（1）求抛物线C的方程；（2）求以C的准线与x轴的交点D为圆心且与直线l相切的圆的方程21．（12分）设椭圆E：（a，b>0）过M（2，），N(，1)两点，O为坐标原点，（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由.22．（10分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.军营所在区域可表示为.（1）求“将军饮马”的最短总路程；（2）因军情紧急，将军来不及饮马，直接从A点沿倾斜角为45°的直线路径火速回营，已知回营路径与军营边界的交点为M，N，军营中心与M，N连线的斜率分别为，，试求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据题意，分别按照选项说法列式计算验证即可做出判断.【详解】选项A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有种分配方法，故该选项错误；选项B，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，先将6本书分成4-1-1的3组，再将三组分给甲乙丙三人，有种分配方法，故该选项错误；选项C，6本不同的书分给甲乙每人各2本，有种方法，其余分给丙丁每人各1本，有种方法，所以不同的分配方法有种，故该选项错误；选项D，先将6本书分为2-2-1-14组，再将4组分给甲乙丙丁4人，有种方法，故该选项正确.故选：D.2、B【解析】根据和可求得，结合等差数列通项公式可求得.【详解】设等差数列公差为，由得：；又，，.故选：B.3、C【解析】首先根据题设条件可得，然后利用累加法可得，所以，最后利用裂项相消法求和即可.【详解】由，得，则，所以，.故选：C.【点睛】本题考查累加法求数列通项，考查利用错位相减法求数列的前n项和，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.4、A【解析】化简方程，得到，求出的范围，作出曲线的图形，通过图象观察，即可得到原点距离的最小值详解】解：即为，两边平方，可得，即有，则作出曲线的图形，如下：则点与点或的距离最小，且为故选：A5、A【解析】由三角形内角及正弦函数的性质判断、的真假，应用换元法令，结合对勾函数的性质确定的值域即知、的真假，根据各选项复合命题判断真假即可.【详解】由且，可得或，故为假命题，为真命题；令，又，则，故，∵在上递减，∴，故的最大值为.∴为真命题，为假命题；∴为真，为假，为假，为假.故选：A.6、C【解析】A.写出原命题的否命题，即可判断其正误；B.根据为真命题可知的p,q真假情况，由此判断的真假；C.看命题“”能否推出“”，即可判断；D.根据含有一个量词的命题的否定的要求，即可判断该命题的正误.【详解】A.命题“若x=y，则sinx=siny”，其否命题为若“，则”为假命题，因此A不正确；B.命题“”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，当二者为一真一假时，为假命题，故B不正确C.命题“若，则”为真命题，故C正确；D.命题：“，”，为特称命题，其命题的否定：“，”，故D错误，故选：C7、A【解析】由倾斜角求出斜率，列方程即可求出m.【详解】因为直线l的倾斜角为，所以斜率.所以，解得：.故选：A8、B【解析】因为为等边三角形,所以.考点：椭圆的几何性质.点评：椭圆图形当中有一个特征三角形，它的三边分别为a,b,c.因而可据此求出离心率.9、D【解析】根据条件设，，由条件求得，即可求得双曲线方程.【详解】设，则由已知得，，又，，又，，双曲线的标准方程为.故选：D10、B【解析】直线化为，求出直线的方向向量，因为法向量与方向向量垂直，逐项验证可得答案.【详解】直线的方向向量为，化为，直线的方向向量为，因为法向量与方向向量垂直，设法向量为，所以，由于，A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误；故选：B.11、C【解析】先求出圆的圆心坐标，根据条件可得直线过圆心，从而可得，然后由，展开利用均值不等式可得答案.【详解】由圆可得标准方程为，因为圆关于直线对称，该直线经过圆心，即，，，当且仅当，即时取等号，故选：C.12、D【解析】根据裂项求和法求得，再计算即可.【详解】解：由题意得====所以.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可.【详解】解：设抛物线为y2＝2px，如图：，又，解得，设圆的半径为，，解得：p＝2，即C的焦点到准线的距离为：2.故答案为：2.14、①.；②..【解析】空一：利用代入法直接进行求解即可；空二：利用之间的关系进行求解即可.【详解】空一：；空二：当时，，显然不适合上式，所以，故答案为：；15、【解析】求出导函数得到函数在时的导数，由导数值为0求得a的值【详解】由，得，则，∵曲线在点处的切线平行于x轴，∴，即.故答案为：16、【解析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可【详解】由题，当时，，故点在曲线上求导得：，所以故切线方程为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）存在，1【解析】（1）由面面垂直证明线面垂直，进而证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.【小问1详解】∵，且D为BC的中点，∴，因为平面平面ABC，交线为BC，AD⊥BC，AD面ABC，所以AD⊥面，因为面，所以.【小问2详解】假设存在点E，满足题设要求连接，，∵四边形为边长为2的菱形，且，∴为等边三角形，∵D为BC的中点∴，∵平面平面ABC，交线为BC，面，所以面ABC，故以D为原点，DC，DA，分别为x，y，z轴的空间直角坐标系则，，，，设，，设面AED的一个法向量为，则，令，则设面AEC的一个法向量为，则，令，则设平面EAD与平面EAC的夹角为，则解得：，故点E为中点，所以18、（1）（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，依题意得到方程组，解得、，即可求出数列的通项公式；（2）由（1）可得，再利用分组求和法求和即可；【小问1详解】解：设等差数列的公差为，由题意，得，解得或，因为，所以【小问2详解】解：当时，，所以19、（1）；中位数所在区间（2）选90分以上的人去参赛；答案见解析【解析】（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1，即可求得a值，根据各组的频率，即可分析中位数所在区间.（2）计算可得之间共有6人，满足题意，分析即可得答案.【小问1详解】，解得成绩在区间上的频率为，，所以中位数所在区间，【小问2详解】选成绩最好的同学去参赛，分数在之间共有人，所以选90分以上的人去参赛．（其它方案如果合理也可以给分）20、（1）；（2）【解析】（1）首先表示出直线l的方程，再联立直线与抛物线方程，消去，列出韦达定理，再根据焦点弦公式计算可得；（2）由（1）可得，再利用点到直线的距离求出半径，即可求出圆的方程；【详解】解析：（1）由已知得点，∴直线l的方程为，联立去，消去整理得设，，则，，∴抛物线C的方程为（2）由（1）可得，直线l的方程为，∴圆D的半径，∴圆D的方程为【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于中档题.21、（1）；（2）存在，，.【解析】（1）根据椭圆E：（a，b>0）过M（2，），N(，1)两点，直接代入方程解方程组即可.（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为，联立，根据，结合韦达定理运算，同时满足，则存在，否则不存在，当切线斜率不存在时，验证即可；在该圆的方程存在时，利用弦长公式结合韦达定理得到求解.【详解】（1）因为椭圆E：（a，b>0）过M（2，），N(，1)两点，所以，解得，所以，所以椭圆E的方程为.（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线方程为，联立得，则△=，即，，，要使，需使，即，所以，所以，又，所以，所以，即或，因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，，所以，则所求的圆为，此时圆的切线都满足或，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且.因为，所以，，①当时，，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取”=”.②当时，.③当AB的斜率不存在时，两个交点为或，所以此时，综上，|AB|的取值范围为，即：【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单2、设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(k为直线斜率)注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的