高考真题与模拟训练专题练习专题03指数、对数函数、幂函数(原卷版+解析)

专题3指数、对数函数、幂函数第一部分真题分类一、单选题1．（2021·全国高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.62．（2021·全国高考真题（理））设，，．则（）A． B． C． D．3．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（）A． B．C． D．4．（2020·海南高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．（2020·全国高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b6．（2020·全国高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．697．（2020·全国高考真题（理））若，则（）A． B． C． D．8．（2020·全国高考真题（理））设函数，则f(x)（）A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减9．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10．已知，则（）A． B． C． D．11．设，，则（）A． B．C． D．二、填空题12．已知常数，函数的图象经过点，．若，则______．13．已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则____．第二部分模拟训练一、单选题1．设，是的前项和.若是递增数列，且对任意，存在，使得.则的取值范围是（）A． B． C． D．2．若实数，满足，，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．3．已知函数，若，则（）A． B． C． D．4．函数（且）与函数的图像关于直线对称，则函数与二次函数在同一坐标系内的图像可能是（）A． B． C．D．5．设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知函数，设方程的四个不等实根从小到大依次为，，，，则下列判断中错误的是（）A． B．C． D．二、填空题7．已知函数，是函数的反函数，若的图象过点，则的值为.8．已知函数则___________．9．若函数，满足：，均有，成立，则称“与关于分离”.已知函数与（，且）关于分离，则a的取值范围是________.10．已知n∈N*,，，，其中表示这个数中最大的数．数列的前n项和为，若对任意的n∈N*恒成立，则实数的最大值是______．三、解答题11．已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若为R上的偶函数，且关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围.12．已知，其中是常数.(1)若是奇函数，求的值；(2)求证：的图像上不存在两点，使得直线平行于轴.13．已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，是数列的前项和，若，求的最小值.14．已知函数(1)求函数的反函数；(2)试问:函数的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；(3)若方程的三个实数根满足:，且，求实数的值．专题3指数、对数函数、幂函数第一部分真题分类一、单选题1．（2021·全国高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6【答案】C【解析】由，当时，，则.故选：C.2．（2021·全国高考真题（理））设，，．则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】,所以;下面比较与的大小关系.记,则,，由于所以当0<x<2时，,即,,所以在上单调递增，所以,即,即;令,则,,由于，在x>0时,,所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b<c;综上，,故选：B.3．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．4．（2020·海南高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得或所以的定义域为因为在上单调递增所以在上单调递增所以故选：D5．（2020·全国高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】A【解析】由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.综上所述，.故选：A.6．（2020·全国高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【解析】，所以，则，所以，，解得.故选：C.7．（2020·全国高考真题（理））若，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.8．（2020·全国高考真题（理））设函数，则f(x)（）A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.9．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.10．已知，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】则．故选B．11．设，，则（）A． B．C． D．【答案】B【解析】.,即又即故选B.二、填空题12．已知常数，函数的图象经过点，．若，则______．【答案】6【解析】函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为613．已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则____．【答案】-1【解析】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为﹣1．第二部分模拟训练一、单选题1．设，是的前项和.若是递增数列，且对任意，存在，使得.则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，因为是递增数列，所以．因为，所以对任意，存在，使得，即：对任意，存在，使得，①当时，由题意可知：对任意，存在，成立，则成立，而，，解不等式无解．②当时，由题意可知：对任意，存在，成立，则成立，而，，恒成立.故选：D．2．若实数，满足，，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵实数，满足，，，，．∴，，的大小关系为．故选B．3．已知函数，若，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题得所以故答案为D4．函数（且）与函数的图像关于直线对称，则函数与二次函数在同一坐标系内的图像可能是（）A． B． C．D．【答案】A【解析】因为函数（且）与函数的图像关于直线对称，所以，在选项A中，对数函数的图像单调递增，所以a>1,所以a-1>0,所以二次函数的抛物线开口向上，抛物线的对称轴为所以选项A是正确的，故选A..5．设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】画出函数的图象如图所示．不妨令，则，则．结合图象可得，故．∴．故选：B．6．已知函数，设方程的四个不等实根从小到大依次为，，，，则下列判断中错误的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意知函数的图象关于直线对称，故，，故正确；又，故正确；又，故正确；故选：C.二、填空题7．已知函数，是函数的反函数，若的图象过点，则的值为.【答案】48．已知函数则___________．【答案】1【解析】由题意，，∴．故答案为：1．9．若函数，满足：，均有，成立，则称“与关于分离”.已知函数与（，且）关于分离，则a的取值范围是________.【答案】【解析】函数与的图象关于对称当与相切于上一点时，，即，由可得，代入（1）得所以，两边同时取对数得，即所以，解得此时，即又因为越大，的图象越靠近轴，的图象越靠近轴所以当函数与关于分离时，故答案为：10．已知n∈N*,，，，其中表示这个数中最大的数．数列的前n项和为，若对任意的n∈N*恒成立，则实数的最大值是______．【答案】【解析】设，即∴∴即，由与图象可知：在第一象限n取正整数时，仅有n=3时，即∴，即实数的最大值是故答案为三、解答题11．已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若为R上的偶函数，且关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1），偶函数；，奇函数；，非奇非偶函数，理由见解析；（2）.【解析】（1）f（﹣x）＝2﹣x+m•2x，若f（x）是偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即2﹣x+m•2x＝2x+m•2﹣x，所以（m﹣1）（2x﹣2﹣x）＝0对任意实数x成立，所以m＝1；若f（x）是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即2﹣x+m•2x＝﹣2x﹣m•2﹣x，所以（m+1）（2x+2﹣x）＝0对任意实数x成立，所以m＝﹣1．综上，当m＝1时，f（x）是偶函数；当m＝﹣1时，f（x）是奇函数；当m≠±1时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．（2）f（x）0，3k2+1＞0，且2k•f（x）＞3k2+1在（﹣∞，0）上恒成立，故原不等式等价于在（﹣∞，0）上恒成立，又x∈（﹣∞，0），所以f（x）∈（2，+∞），所以，从而，即有3k2﹣4k+1≤0，因此，．12．已知，其中是常数.(1)若是奇函数，求的值；(2)求证：的图像上不存在两点，使得直线平行于轴.【答案】(1).(2)见解析.【解析】(1)设定义域为，因为是奇函数，所以对任意,有，整理得，故.此时，，为奇函数.(2)若，则，若，则，若，则，设定义域内任意，设，..当时，总有，，得；当时，，得；当时，，，，，得，故总有在定义域上单调递增，所以总有在定义域上单调递增.的图像上不存在两点,使得所连的直线与轴平行.13．已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，是数列的前项和，若，求的最小值.【答案】（I）.（II）的最小值为100.【解析】（I）∵，，成等差数列，∴，又数列是公比为2的等比数列，∴，解得，∴．（II）由（Ⅰ）得，∴．由，得，∴，又，∴的最小值为100.14．已知函数(1)求函数的反函数；(2)试问:函数的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；(3)若方程的三个实数根满足:，且，求实数的值．【答案】（1）；（2）存在点关于原点对称；（3）.【解析】(1)当时，.由，得，互换，可得.当时，.由，得，互换，可得.