2024届中国科学技术大学强基计划数学学科笔试模拟试题

2024届中国科学技术大学强基计划数学学科笔试模拟试题数学共15道试题，其中填空题14道，每题6分，解答题1道，16分，共计100分．一、填空题（本题共14小题，每小题6分，共84分）1．已知正整数a，b，c满足，则的组数是__________．2．若函数有一个二重零点，则a的所有可能取值是__________．3．全集U有2024个元素，若，，，则__________．4．已知，是方程的两个复数根，则__________．5．函数的值域是__________．6．已知，则的取值范围是__________．7．的小数点后第100位数字是__________．8．投掷一个质地均匀的正方体（各面标有1，2，3，4，5，6），当各次所得数字之和为6的整数倍时停止，则投掷次数的数学期望是__________．9．数列，，则命题“，，”的否定是__________．10．在数字和中，更大的数字是__________．11．已知圆锥的高为1，底面直径，则一蚂蚁从点A沿着侧面爬到点B，爬行距离的最小值是__________．12．函数满足，，，且，则__________．13．直线与双曲线的交点个数是__________．14．已知，，，则y的取值范围是__________．二、解答题（本题共1小题，共16分）15．已知斐波那契数列满足，，求的个位数字．数学笔试试题解析一、填空题（本题共14小题，每小题6分，共84分）1．解：整理得．当时，，只可能是，，；当时，，解得，其中，2，3，4，共4组；当时，，解得，无正整数解．显然当时亦无正整数解，则共有5组正整数解．2．解：设其二重零点为m，另一实根为n，则由韦达定理可知，解得．3．解：，类似的有，且，由集合的容斥原理有，等号可在时取得．4．解：整理得，因此，因此，进而，，因此．5．解：变形可得，设，，则表示动点P到点Q和y轴的距离之和，由几何意义显然有．6．解：由于，即．另一方面有，因此，即．令可得，因此．一方面，，即，因此所求下界是，在，，时可取等；另一方面，我们只需求的最小值即可，由几何意义可知其等价于点到单位圆面内点的距离再减去2，因此当，时取得最小值．即所求上界是，因此取值范围是．7．解：设．则由特征方程可知其递推式为．但注意到，都是整数，由数学归纳法可知是整数，但显然有，因此所求小数点后第100位数字是9．8．解：注意到无论此前投掷情况如何，下一次投掷均有的几率使得所求数字之和为6的整数倍，因此可转换为的几何分布，其数学期望．9．解：其否定是“，，”．10．解：同时取e为底的对数，转换为比较和的大小．设，则，即在上单调递减，因此，代回可知．11．解：考察其侧面展开图，半径，弧长，解得．因此爬行距离的最小值是．12．解：令可得，从而；另一方面有，因此，即．令可得，因此．13．解：0，1，2个交点．14．解：．二、解答题（本题共1小题，共16分）15．解：来吧happy起来吧直接开始枚举吧！为什么可以枚举呢，注意到连续两项的个位数字组成的二元数组最多仅有100种不同的情况，在1958项的前提下必然