2024-2025学年陕西科技大学附中九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西科技大学附中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是(

)A.x2+3x−5=0 B.x22.已知菱形的两条对角线长分别是4和6，则菱形的面积为(

)A.48 B.24 C.12 D.93.如图，菱形的对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，且OE=3，则CD的长是(

)A.3

B.4

C.5

D.64.下列命题中正确的是(

)A.对角线相等的四边形是矩形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.有一个角是直角的平行四边形是矩形

D.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形5.根据表格对应值：判断关于x的方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是x1.11.21.31.4a−3.59−2.16−0.710.76A.1.1<x<1.2 B.1.2<x<1.3 C.1.3<x<1.4 D.无法判定6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC边于点E，点F是AE的中点，连接OF，若AB=OB=1，则FO的长度为(

)A.32 B.C.12 D.7.一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2−6x+8=0的两根．则该等腰三角形的周长是(

)A.2 B.8 C.10 D.10或88.如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，M是CD的中点，连接GM，若正方形ABCD的边长为8，则GM的最小值为(

)A.4

B.23

C.2二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。9.方程x(x−2)+3(x−2)=1化成一般形式是______．10.如图，在正方形ABCD中，点E是AC上一点，连接DE并延长到点F，使得EF=DE，连接BF，则∠CBF的度数为______．11.关于x的一元二次方程x2+4x−3a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．12.若x1，x2是方程x2+x−2=0的两根，则(13.如图，在正方形ABCD中，AB=2，对角线AC、BD交于点O，点E、F分别为边BC、CD上的动点(不与端点重合)，且BE=CF，连接OE、OF、EF，则线段EF的最小值为______．

三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.（4分）解方程：x(x+2)=3x+2．15.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，请用尺规作图法，以AC为对角线求作一个菱形AECF，点E在AD上，点F在BC上.(保留作图痕迹，不写作法)16.（5分）已知关于x的一元二次方程x2+(2m−3)x+m2=0的两个不相等的实数根α，β，且满足α+β=αβ17.（5分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，∠AEB=∠AFD，求证：BE=DF．18.（5分）【阅读材料】老师的问题：

已知：如图，AE/​/BF．

求作：菱形ABCD，使点C，D分别在BF，AE上．

小明的作法：

(1)以A为圆心，AB长为半径画弧，交AE于点D；

(2)以B为圆心，AB长为半径画弧，交BF于点C；

(3)连接CD．

四边形ABCD就是所求作的菱形．

【解答问题】

请根据材料中的信息，证明四边形ABCD是菱形．19.（6分）已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH，HE，得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形)．

(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；

(2)当四边形ABCD的对角线满足______条件时，四边B形EFGH是矩形？并说明理由．20.（6分）已知▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程2x2−2mx+m−12=0的两个实数根．

(1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？

(2)若AB=221.（6分）已知关于x的一元二次方程x2+6x+3−3k2=0.若方程的一个根是322.（6分）已知关于x的一元二次方程kx2−(2k+1)x+k+2=0有两个实数根，则k23.（7分）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC，BE，若∠AFC=2∠D.求证：四边形ABEC是矩形．24.（7分）如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动.如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒.(0<t<3)

(1)当t为何值时，PQ的长度等于5cm？

(2)连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于8cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．25.（7分）有两个全等的三角形纸片△ABC和△DEF，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F，将△ABC和△DEF按如图所示方式摆放，斜边AC和DF的中点重合(标记为点O)，DE交AB于点G.当DF/​/AB时，试判断四边形AGDO的形状，并说明理由．26.（12分）定义：如图1对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．

问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连结BE，EG，GC．

(1)连结EC，BG，问EC，BG的数量关系和位置关系是什么？请说明理由．

(2)四边形BCGE______“中方四边形”(此空填“是”或“不是”)

拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点．

(3)试探索BD与MN的数量关系，并说明理由．

参考答案1.C

2.C

3.D

4.C

5.C

6.D

7.C

8.C

9.x210.45°

11.a>−412.0

13.214.解：∵x(x+2)=3x+2，

∴x2−x−2=0，

∴(x−2)(x+1)=0，

∴x−2=0或x−3=+1，

解得x115.解：①分别以A、C为圆心，大于12AC长度为半径画弧，两弧分别交于点M、N，

②连接MN，分别与AD、AC、BC，交于点E、O、F，

③连接CE、AF；

如图，

根据作图可知：EF是AC的垂直平分线，

∴OA=OC，AE=CE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，

∴∠OEA=∠OFC，∠OAE=∠OCF，

∴△OAE≌△OCF(AAS)，

∴AE=CF，

∵AE/​/CF，

∴四边形AECF是平行四边形，

又∵AE=CE，

∴四边形AECF是菱形，

∴菱形AECF即为所求．16.解：∵方程有两个不相等的实数根，

∴Δ=(2m−3)2−4m2>0，

解得：m<34，

依题意得：α+β=3−2m，αβ=m2，

∵α+β=αβ，

∴3−2m=m2，即m2+2m−3=017.证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，∠B=∠D，

在△ABE与△ADF中，

∠B=∠D∠AEB=∠AFDAB=AD，

∴△ABE≌△ADF(AAS)，

∴BE=DF18.证明：由作图可知AD=AB=BC，

∵AE//BF，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB=AD，

∴四边形ABCD是菱形．

19.(1)证明：如图，连接BD．

∵E、H分别是AB、AD中点，

∴EH//BD，EH=12BD，

同理FG//BD，FG=12BD，

∴EH//FG，EH=FG，

∴四边形EFGH是平行四边形；

(2)互相垂直

理由如下：

如图，连接AC，

∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，

∴EH//BD，HG//AC，

∵AC⊥BD，

∴EH⊥HG，

又∵四边形EFGH是平行四边形，

∴平行四边形EFGH20.解：(1)因为四边形ABCD是菱形，

所以AB=AD，则方程有两个相等的实数根，

则Δ=(−2m)2−4×2×(m−12)=0，

解得m=1．

(2)∵AB=2，

∴8−4m+m−12=0，

解得m=52，

因此，原方程为2x221.解：设方程的另一个根为t，

根据根与系数的关系得，3+t=−6，3t=3−3k2，

解得t=−9，k=±10，

即k的值为±22.解：∵关于x的一元二次方程kx2−(2k+1)x+k+2=0有两个实数根，

∴k≠0△=[−(2k+1)]2−4k(k+2)≥0，

解得：k≤14且k≠0．

23.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB/​/CD，∠ABC=∠D，

∵CE=CD，

∴AB=CE，

∴四边形ABEC是平行四边形，

∴BC=2BF，AE=2AF，

∵∠AFC=∠ABC+∠BAE=2∠D，

∴∠ABC=∠BAE，

∴AF=BF24.解：(1)在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，设运动时间为t秒(0<t<3)，

∴BQ=2t cm，AP=t cm，

∴PB=AB−AP=(5−t)cm，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，

在Rt△PBQ中，由勾股定理得PQ2=PB2+BQ2，

∴(5−t)2+(2t)2=52，

解得t1=0(舍去)，t2=2，

∴当t=2时，PQ的长度等于5cm；

(2)由题意得：CQ=BC−BQ=(6−2t)cm，

∵△PQC的面积等于8cm2，

25.解：四边形AGDO是菱形，理由如下：

∵∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F，

∴∠A=∠D，

∵DF//AB，

∴∠BGD=∠D，

∴∠BGD=∠A，

∴DG//AO，

∴四边形AGDO是平行四边形，

∵△ABC≌△DEF，

∴AC=DF，

又∵点O是斜边AC和DF的中点，

∴AO=12AC=12DF=DO，26.(1)结论：CE=BG，CE⊥BG．

理由：如图2中，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，

∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，

∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°，

∴∠EAC=∠BAG，

∴△EAC≌△BAG(SAS)，

∴CE=BG，∠AEC=∠ABG，

∵∠EAB=90°，

∴∠AEP+∠APE=90°．

又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK，

∴∠ABG+∠BPK=90°，

∴∠BKP=90°，

∴EC⊥BG；

(2)是“中方四边形“．

理由：如图2，设四边形BCGE的边BC、CG、GE、BE的中点分别为M、N、R、L，

∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L，

∴MN、NR，RL，LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线，

∴MN//BG，MN=12BG，RL//BG，RL=12BG，RN//CE，RN=12CE，ML//CE，ML=12CE，

∴MN//RL，MN=RL，RN//CE//ML，RN=ML，

∴四边形MNRL