2024-2025学年广东省揭阳市揭东区两校九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省揭阳市揭东区两校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是(

)A.ax2+bx+c=0 B.x2=0

2.已知x2−3x+1=0，依据下表，它的一个解的范围是x2.52.62.72.8x−0.25−0.040.190.44A.2.5<x<2.6 B.2.6<x<2.7 C.2.7<x<2.8 D.2.5<x<2.83.若关于x的方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是A.k>−1且k≠0 B.k>−1 C.k<−1 D.k<1且k≠04.已知关于x的一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1=1，x2=nA.1 B.0 C.32024 D.5.下列命题为真命题的是(

)A.有两边相等的平行四边形是菱形 B.有一个角是直角的平行四边形是菱形

C.对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D.有三个角是直角的四边形是矩形6.已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是(

)A.12cm2 B.24cm2 C.7.若顺次联结一个四边形各边的中点得到的图形是矩形，则这个四边形的对角线(

)A.互相平分 B.相等 C.互相垂直 D.互相垂直且平分8.等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足2a−3b+8与(2a+3b−16)2互为相反数，则此等腰三角形的周长为(

)A.10 B.8 C.8或10 D.7或109.在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x(m)，则可列方程(

)A.(30−2x)(20−x)=468B.(20−2x)(30−x)=468

C.30×20−2⋅30x−20x=46810.如图，正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P，若AE=AP=1，PB=3.下列结论：①EB⊥ED；②点B到直线DE的距离为22；③S△APDA.①③④ B.①②③ C.②③④ D.①②③④二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.若(m+2)x|m|+(m−1)x−1=0是关于x的一元二次方程，则m12.以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是

13.对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2−ab，例如，5※3=52−5×3=10.若14.若关于x的一元一次不等式组3x+82≤x+63x+a>4x−5.的解集为x≤4，关于x的一元二次方程(a−1)x15.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH.若AB=8，AD=6，EF=5，则GH的最小值是______．三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题7分)

已知代数式A=(a−4a)÷2a−4a．

(1)化简A；

(2)若一个矩形两条对角线的长为17.(本小题7分)

如图，已知▱ABCD(AD>AB)，连接AC．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作图(保留作图痕迹，不写作法)：

作AC的垂直平分线MN，分别交AD，BC，AC于点M，N，O，连接CM和AN；

(2)在(1)的条件下，若四边形AMCN的周长为16，求AM的长．18.(本小题7分)

阅读下列材料：

方程x2+3x−1=0两边同时除以x(x≠0)，得x+3−1x=0，即x−1x=−3.因为(x−1x)2=x2+1x2−2，所以x2+1x19.(本小题9分)

已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．

(1)求证：CF=CP；

(2)若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；

(3)求证：CP−BM=2FN．20.(本小题9分)

如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为12米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．

(1)如果要围成面积为54平方米的花圃，那么AD的长为多少米？

(2)能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由．21.(本小题9分)

在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A，B分别在x轴和y轴上，已知OA=6，OB=10，点D坐标为(0,2)，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿线段AC−CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动的时间为t秒．

(1)如图1，当点P经过点C时，DP的长为______．

(2)如图2，把长方形沿着直线OP折叠，点B的对应点B′；恰好落在AC边上，求点P的坐标．

(3)在点P的运动过程中，是否存在某个时刻使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

22.(本小题13分)

在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE(A,P,E按逆时针排列)，点E的位置随点P的位置变化而变化．

(1)如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是______，BC与CE的位置关系是______；

(2)如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；

(3)当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE.若AB=23，BE=219，请直接写出△APE23.(本小题14分)

【课本再现】

(1)如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形OEBF为两个正方形重叠部分，正方形A1B1C1O可绕点O转动.则下列结论正确的是______(填序号即可)．

①△AEO≌△BFO；

②OE=OF；

③四边形OEBF的面积总等于14；

④连接EF，总有AE2+CF2=EF2．

【类比迁移】

(2)如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，猜想AE，CF，EF之间的数量关系，并进行证明；

【拓展应用】

(3)如图3，在Rt△ACB参考答案1.B

2.B

3.A

4.A

5.D

6.B

7.C

8.A

9.A

10.A

11.2

12.30°或150°

13.1

14.5

15.7.5

16.解：(1)A=(a−4a)÷2a−4a

=a2−4a⋅a2a−4

=(a+2)(a−2)a⋅a2(a−2)

=a+2217.解：(1)如图，MN为所作；

(2)∵MN垂直平分AC，

∴OA=OC，MN⊥AC，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD/​/BC，

∴∠MAO=∠NCO，

在△AOM和△CON中，

∠MAO=∠NCOAO=CO∠AOM=∠CON，

∴△AOM≌△CON(ASA)，

∴OM=ON，

∴AC和MN互相垂直平分，

∴四边形AMCN为菱形，

∵四边形AMCN的周长为16，

∴AM的长为4．18.(1)4，18；

(2)∵m是方程2x2−7x+2=0的根，

∴2m2−7m+2=0，

方程两边同时除以2m，得m−72+1m19.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠CAD=∠ACD=45°，

∵CP⊥CF，

∴∠FCP=90°=∠BCD，

∴∠BCF=∠DCP，

∵CD=CB，∠CBF=∠CDP=90°，

∴△CDP≌△CBF(ASA)，

∴CF=CP；

(2)∵CF平分∠ACB，

∴∠ACF=∠BCF=22.5°，

∴∠BFC=67.5°，

∵△CDP≌△CBF，

∴∠P=∠BFC=67.5°，且∠CAP=45°，

∴∠ACP=∠P=67.5°，

∴AC=AP，

∵AC=2AB=42，

∴S△ACP=12AP×CD=82；

(3)在CN上截取NH=FN，连接BH，

∵△CDP≌△CBF，

∴CP=CF，

∵FN=NH，且BN⊥FH，

∴BH=BF，

∴∠BFH=∠BHF=67.5°，

∴∠FBN=∠HBN=∠BCH=22.5°，

∴∠HBC=∠BAM=45°，

∵AB=BC，∠ABM=∠BCH，

∴△AMB≌20.解：(1)设AD的长为x米，则AB=27−3x，根据题意，得x(27−3x)=54，

整理，得x2−9x+18=0，

解得x1=3，x2=6

∵墙的最大可用长度为12米，

∴27−3x≤12，

∴x≥5，

∴x=6，即AD的长为6米；

(2)不能围成面积为90平方米的花圃．

理由：假设存在符合条件的长方形，设AD的长为y米，

于是有(27−3y)⋅y=90，

整理得y2−9y+30=0，

∵Δ=(−921.10

【解析】解：(1)如图1，

∵BC=OA=6，BD=OB−OD=10−2=8，

∴DP=BD2+BC2=82+62=10；

(2)由折叠的性质可知，PB=PB′，OB=OB′=10，

在Rt△AOB′中，由勾股定理可得：AB′=8，

∴B′C=2，

设BP=x，则CP=6−x，

在Rt△CPB′中，由勾股定理可得：x2=(6−x)2+4，

解得：x=103，

∴P(103,10)；

(3)存在，

∵D(0,2)，

∴BD=8，

①当BP=BD=8时，

∵BP>BC，

∴P在AC上，

由勾股定理可得：CP=82−62=27，

∴P(6,10−27)，

②当BP=DP时，P在22.(1)BP=CE，CE⊥AD；

(2)(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD

仍然成立，理由如下：

如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，

∵菱形ABCD，∠ABC=60°，

∴△ABC和△ACD都是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAD=120°，∠BAP=120°+∠DAP，

∵△APE是等边三角形，

∴AP=AE，∠PAE=60°，

∴∠CAE=60°+60°+∠DAP=120°+∠DAP，

∴∠BAP=∠CAE，

∴△ABP≌△ACE(SAS)，

∴BP=CE，∠ACE=∠ABD=30°，

∴∠DCE=30°，

∵∠ADC=60°，

∴∠DCE+∠ADC=90°，

∴∠CHD=90°，

∴CE⊥AD；

∴(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD

仍然成立；

(3)如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD

BD平分∠ABC，

∵∠ABC=60°，AB=23，

∴∠ABO=30°，

∴AO=12AB=3，OB=3AO=3，

∴BD=6，

由(2)知CE⊥AD，

∵AD//BC，

∴CE⊥BC，

∵BE=219，BC=AB=23，

∴CE=(219)2−(23)2=8，

由(2)知BP=CE=8，

∴DP=2，

∴OP=5，

23.(1)①②③④；

(2)猜想：AE2+CF2=EF2，理由如下：

连接AC，∵O是矩形ABCD的中心，

∴点O是AC的中心．

∴AO=CO，

延长EO