2024-2025学年上海市浦东新区南汇中学高三（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市浦东新区南汇中学高三（上）段考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为(

)A.y=lnx B.y=tanx C.y=x3+x2.已知函数f(x)=1+loga(2x−3)(a>0,a≠1)恒过定点(m,n)，则m+n=A.1 B.2 C.3 D.43.已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过π6后，终边交单位圆于P(−13,y)，则sinαA.22−36 B.24.如图所示，已知直线y=kx与曲线y=f(x)相切于两点，函数g(x)=kx+m(m>0)，则对函数F(x)=g(x)−f(x)描述正确的是(

)A.有极小值点，没有极大值点

B.有极大值点，没有极小值点

C.至少有两个极小值点和一个极大值点

D.至少有一个极小值点和两个极大值点二、填空题：本题共12小题，共54分。5.集合M={x|x−4<1,x∈N}，则M中元素的个数为______．6.函数y=2x+6从x=2到x=2.5的平均变化率是______．7.不等式3x<1的解集为______．8.已知α∈[0,π2]，且sinα=35，则9.若logx(2x)=4，则x=10.不等式2x≥2−log11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2−b2=3bc，sinC=2sinB，则12.已知函数f(x)=−x2+2ax+3在区间(−∞,4)上是增函数，则实数a的取值范围是

13.若函数y=ax+1x+2(x≠−2)的值域为{y|y≠2}，则实数a14.若函数y=ln|a−11+x|+b是奇函数，则15.如图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边A处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸40km的B处，河岸边D处与A处相距50km(其中BD⊥AD)，两家工厂要在此岸边建一个供水站C，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，供水站C建在岸边距离A处______km才能使水管费用最省．16.已知函数f(x)=x4x2+16,x≥2(12)|x−a|三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知集合A={x||x−a|<2},B={x|x−2x+1<0}．

(1)若a=2，求A∩B；

(2)“x∈B”是“x∈A”的充分非必要条件，求实数a18.(本小题14分)已知y=f(x)为奇函数，其中fx=cos(1)求函数y=f(x)的最小正周期和fx(2)若fα2=−419.(本小题14分)

流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为48mm2，经过3分钟覆盖面积为64mm2，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积y(单位：mm2)与经过时间x(单位：min)的关系现有三个函数模型：①y=kax(k>0,a>1)，②y=logbx(b>1)，③y=px+q(p>0)可供选择.(参考数据：20.(本小题18分)

设t为实数，函数f(x)=−x2+1，g(x)=|x−t|．

(1)判断函数y=g(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)当t=2时，求函数y=g(x)−f(x)的最小值；

(3)对于函数y=m(x)，在定义域内给定区间[a,b]，如果存在x0(a<x0<b)，满足m(x0)=m(b)−m(a)b−a，则称函数m(x)是区间[a,b]上的“平均值函数”，x0是它的一个“均值点”.如函数y=x21.(本小题18分)

设P是坐标平面xOy上的一点，曲线Γ是函数y=f(x)的图像.若过点P恰能作曲线Γ的k条切线(k∈N)，则称P是函数y=f(x)的“k度点”．

(1)判断点O(0,0)与点A(2,0)是否为函数y=lnx的1度点，不需要说明理由；

(2)已知0<m<π，g(x)=sinx.证明：点B(0,π)是y=g(x)(0<x<m)的0度点；

(3)求函数y=x3−x的全体2度点构成的集合．参考答案1.C

2.C

3.D

4.C

5.5

6.2

7.(−∞,0)∪(3,+∞)

8.24259.2

10.[1,+∞)

11.30°

12.[4,+∞)

13.2

14.1e15.20

16.[−2,6)

17.解：(1)A={x||x−a|<2}={x|a−2<x<2+a}，B={x|x−2x+1<0}={x|−1<x<2}，

若a=2时，则A={x|0<x<4}，

则A∩B={x|0<x<2}；

(2)“x∈B”是“x∈A”的充分非必要条件，

则B⫋A，

a−2≤−12≤2+a，则0≤a≤1，

则a18.解：(1)最小正周期是T=2π2=π，

因为y=f(x)为奇函数，所以f(x)+f(−x)=0，

化简得2cos2xcosθ=0对于x∈R恒成立，

θ∈(0,π)，所以θ=π2，f(x)=−sin2x；

(2)结合已知可得sinα=45，∵α∈(19.解：(1)因为y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快，

y=logbx(b>1)和y=px+q(p>0)的增长速度越来越慢，

所以应选函数模型y=kax(k>0,a>1)．

由题意得ka2=48ka3=64，解得a=43k=27，

所以该函数模型为y=27×(420.解：(1)函数g(x)的定义域为R，

当t=0时，g(x)=|x|，∵g(−x)=|−x|=|x|=g(x)，∴g(x)为偶函数，

当t≠0时，g(x)=|x−t|，∵g(−x)=|−x−t|=|x+t|，∴g(−x)≠g(x)，∴g(−x)≠−g(x)，∴g(x)为非奇非偶函数，

综上，当t=0时，g(x)为偶函数，当t≠0时，g(x)为非奇非偶函数．

(2)当t=2时，y=)=|x−2|+x2−1，

①当x≥2时，函数y=x2+x−3=(x+12)2−134在[2,+∞)上递增，∴ymin=3，

②当x<2时，函数y=x2−x+1=(x−12)2+34，∴ymin=34，

∵34<3，∴y=g(x)−f(x)的最小值为34

(3)∵ℎ(x)=−x2+mx+1是区间[−1,1]的平均值函数

∴存在x0∈(−1,1)，使ℎ(x21.解：(1)由题意，设t>0，则曲线y=lnx在点(t,lnt)处的切线方程为y−lnt=1t(x−t)，

该切线过原点O时，−lnt=−1，解得t=e，故原点O是函数y=lnx的一个1度点；

又因为该切线过点A(2,0)，所以−lnt=1t(2−t)，

设s(t)=tlnt−t+2，则s′(t)=1+lnt−1=lnt，令s′(t)=0，得t=1，

所以t∈(0,1)时，s′(t)<0，s(t)单调递减；t∈(1,+∞)时，s′(t)>0，s(t)单调递增，

所以s(t)=tlnt−t+2在x=1处取得极小值，也是最小值，且s(1)=0−1+2=1>0，

所以−lnt=1t(2−t)无解，点A(2,0)不是函数y=lnx的1度点；

(2)证明：设t>0，y′=cost，则曲线y=sinx在点(t,sint)处的切线方程为y−sint=cost(x−t)，

则该切线过点(0,π)，当且仅当π−sint=−tcost(∗)，

设G(t)=sint−tcost−π，G′(t)=tsint，∴0<t<π时，G′(t)>0，

故y=G(t)在区间(0,π)上单调递增，

∴当0<t<m<π时，G(t)<G(π)=0，(∗)恒不成立，即点B(0,π)是y=g(x)的一个0度点；

(3)y′=3x2−1，

对任意t∈R，曲线y=x3−x在点(t,t3−t)处的切线方程为y−(t3−t)=(3t2−1)(x−t)，

故点(a,b)为函数y=x3−x的一个2度点当且仅当关于t的方程b−(t3−t)=(3t2−1)(a−t)恰有两个不同的实数解，

设ℎ(t)=2t3−3at2+(a+b)，则点(a,b)为函数y=x3−x的一个2度点，当且仅当y=ℎ(t)有两个不同的零点，

若a=0，则ℎ(t)=2t3+b在R上严格增，只有一