2024-2025学年天津市河西区新华中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津市河西区新华中学高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合U={x|x∈N，且x≤5}，A={2,4}，B={2,3}，则∁U(A∪B)=(

)A.{1,5} B.{2} C.{0,1,5} D.{3,4}2.已知p：a≥0；q：∀x∈R，x2−ax+a>0，则p是q的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知a=20.5，b=log0.52，A.b>c>a B.a>c4.已知向量a=(1,2)，b=(2,−1)，若向量c满足(c+a)//bA.(1,3) B.(−1,3) C.(−1,−3) D.(−3,−1)5.已知数列an是各项均为正数的等比数列，a1=2，a3=2A.15 B.16 C.17 D.186.函数f(x)=ln|x|⋅cosxx+sinx在[−π,0)∩(0,π]的图象大致为A. B. C. D.7.若tan(α+π4)=3，则A.1 B.65 C.75 8.已知函数f(x)=3sinx+cosx(x∈R)，将y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度，得到y=g(x)的图象，则以下关于函数A.若x1，x2是g(x)的零点，则x1−x2是2π的整数倍

B.函数g(x)在区间[−π4,π4]上单调递增

9.在平面四边形ABCD中，已知∠A=∠C=90°，∠ADB=30°，|BD|=10，|CD|=6，则AC⋅BD=A.35 B.39 C.43 D.6010.已知函数f(x)=ex+x−xa−alnx在区间(1,e2A.(e,e22) B.(0,e2二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.计算：1−i2+i=______．12.已知向量a=(1,2),b=(−2,0)，则a在b13.南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第15项为______．14.已知偶函数f(x)=sin(ωx+φ)−3cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)15.如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，D，E分别是边AB，AC上的点，AE=1，且AD⋅AE=12，则|AD|=

，若P是线段DE三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.已知实数x，y满足x>0，y>0，且x+y3+1x+317.已知数列{an}满足：a1=4，且an=Sn−1+2n+1，其中Sn为an的前n项和．18.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知a=6，b=2c，cosA=14．

(1)求c的值；

(2)求sinB的值：

(3)求19.已知向量a=(2sinx,cosx),b=(cos(x−π6),3sinx)，函数f(x)=a⋅b−cos2x+1．

(1)求f(x)的解析式；20.已知函数f(x)=2ln(x+1)+sinx+1．

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)若不等式f(x)≤a(x+1)+sinx恒成立，求整数a的最小值；

(3)证明：当x≥0时，有f(x)≤(x+1)2ex参考答案1.C

2.B

3.B

4.D

5.C

6.D

7.C

8.D

9.B

10.A

11.1512.(1,0)

13.211

14.[2π,6π]

15.1；−116.3

17.解：(1)证明：由a1=4，且an=Sn−1+2n+1，n≥2，又an=Sn−Sn−1，

可得Sn=2Sn−1+2n+1，

则Sn2n=Sn−12n−1+2，

由bn=Sn2n，可得bn=b18.解：(1)因为a=6，b=2c，cosA=14，

由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc=4c2+c2−64c2=14，解得c=62．

(2)因为cosA=14，A∈(0,π2)，

所以sinA=1−19.解：(1)由题意，f(x)=a⋅b−cos2x+1

=2sinxcos(x−π6)+3sinxcosx−cos2x+1

=2sinx(32cosx+12sinx)+32sin2x−cos2x+1

=32sin2x+sinx2+32sin2x−cos2x+1

=3sin2x−cos2x+1

=2sin(2x−π20.解：(1)f′(x)=2x+1+cosx，则f′(0)=20+1+cos0=3，

又f(0)=2ln(0+1)+sin0+1=1，

故曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y−1=3(x−0)，即y=3x+1；

(2)若不等式f(x)≤a(x+1)+sinx恒成立，即2ln(x+1)+1≤a(x+1)恒成立，

即a≥2ln(x+1)+1x+1在(−1,+∞)上恒成立，即a≥2lnx+1x在(0,+∞)上恒成立，

令g(x)=2lnx+1x，则g′(x)=2x⋅x−(2lnx+1)x2=1−2lnxx2，

当x∈(0,e12)时，g′(x)>0，当x∈(e12,+∞)时，g′(x)<0，

即f(x)在(0,e212)上单调递增，在(e12,+∞)上单调递