第6讲数列的综合(原卷版+解析)

第6讲数列的综合高考预测一：数列不等式的证明1．（1）当时，求证：；（2）当时，求证：．2．若为正整数），求证：不等式对一切正整数恒成立．3．已知正项数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求，的值，并写出数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：．4．等比数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数且，，均为常数）的图象上．（1）求的值；（2）当时，记，证明：对任意的，不等式成立．5．已知曲线，，2，．从点向曲线引斜率为的切线，切点为，．（1）求数列与的通项公式；（2）证明：．6．已知函数．（Ⅰ）当曲线在，（1）处的切线与直线垂直时，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间．求证：．7．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若恒成立，试确定实数的取值范围；（3）证明：，．8．已知函数．（1）求的极值；（2）求证：且．9．已知函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）求证：．10．设数列的前项和为，已知，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：对一切正整数，有．11．已知二次函数的图象过点，且．（1）求的解析式；（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；（3）对于（2）中的数列，求证：．12．已知函数．（1）若，求的值；（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．13．已知函数，（1），，令，（1）求数列的通项公式；（2）证明．14．已知函数，数列满足条件：，．试比较与1的大小，并说明理由．15．设数列的前项和为，且，．（1）求证：数列为等比数列，并求；（2）设数列满足，数列的前项和为，求证：．16．已知数列满足：且，且．（1）求数列的通项公式；（2）当时，记，设数列的前项和为，求证：．17．设二次函数满足：的解集为；对任意都有成立．数列满足：．，．（1）求的值；（2）求的解析式；（3）求证：．第6讲数列的综合高考预测一：数列不等式的证明1．（1）当时，求证：；（2）当时，求证：．【解析】解：（1）证明：，，故不等式成立．（2）证明：，即．2．若为正整数），求证：不等式对一切正整数恒成立．【解析】证明：即：．不等式对一切正整数恒成立．．3．已知正项数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求，的值，并写出数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：．【解析】解：（Ⅰ）解：当时，，即，，，又，解得，由，可得，即，，，又，是首项为1，公差为1的等差数列，；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得：，当时，，将上式对从1到求和，得，注意到：，将上式对从1到求和，得，所以．经验证，当时，上式也成立．4．等比数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数且，，均为常数）的图象上．（1）求的值；（2）当时，记，证明：对任意的，不等式成立．【解析】解：（1）由题意，，当时，，且，所以时，是以为公比的等比数列，又，，，即，解得，的值；（2）证明：当时，由（1）知，因此，不等式为①当时，左式，右式，左式右式，所以结论成立②假设时结论成立，即，则当时，要证当时结论成立，只需证成立，只需证：成立，显然成立，当时，成立，综合①②可知不等式成立．5．已知曲线，，2，．从点向曲线引斜率为的切线，切点为，．（1）求数列与的通项公式；（2）证明：．【解析】解：（1）设直线，联立，得，则△，（负值舍去），可得，；（2）证明：，由，即为，即有，，可得；由，设，，由，可得，即，在，递增，由，，可得，即有，即，则．6．已知函数．（Ⅰ）当曲线在，（1）处的切线与直线垂直时，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间．求证：．【解析】解：，，（2分）由题意可得（1），即解得，（3分）由知：（5分）①当时，，在区间和上，；在区间上，．（6分）故的单调递减区间是和，单调递增区间是．（7分）②当时，，在区间上；在区间上（8分）故的单调递增区间是，单调递减区间是．（9分）综上所述：当时，函数的单调递减区间是和，单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是（10分）由及知：当时，，且即当，，时，恒有成立由知：；得，，即（14分）7．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若恒成立，试确定实数的取值范围；（3）证明：，．【解析】解：（1）函数的定义域为，．当时，，在上是增函数；当时，若时，有，若，时，有，则在上是增函数，在，上是减函数．（2）由（1）知时，在上是增函数，而（1），不成立，故，又由（1）知的最大值为，要使恒成立，则即可．，即，得．（3）由（2）知，当时，有在恒成立，且在上是减函数，（1），即在，上恒成立，令，则，即，从而，则，，．8．已知函数．（1）求的极值；（2）求证：且．【解析】解：（1）的定义域为，，令，解得：，当时，，在是增函数，当时，，在，是减函数，在处取得极大值，，无极小值．（2）证明：由（1），取，，当时取等号，令，，故故；；；．9．已知函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）求证：．【解析】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）的定义域为，．（1分）①当时，，在上单调递减；（2分）②当时，由解得；由解得；（4分）所以在上单调递增，在上单调递减．（5分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得当时，（1），即当且仅当时等号成立．（6分）所以，，（7分），（9分）所以，（11分）即．（12分）10．设数列的前项和为，已知，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：对一切正整数，有．【解析】（Ⅰ）解：，．①当时，②由①②，得，，，，数列是以首项为，公差为1的等差数列．，．当时，上式显然成立．；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，①当时，，原不等式成立．②当时，原不等式亦成立．③当时，，，当时，原不等式亦成立．综上，对一切正整数，有．11．已知二次函数的图象过点，且．（1）求的解析式；（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；（3）对于（2）中的数列，求证：．【解析】解：（1）由，解之得，即；（2），，，由累加得，；（3），当时，显然成立；当时，．12．已知函数．（1）若，求的值；（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．【解析】解：（1）因为函数，，所以，且（1）．所以当时恒成立，此时在上单调递增，这与矛盾；当时令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，即（a），若，则（a）（1），从而与矛盾；所以；（2）由（1）可知当时，即，所以当且仅当时取等号，所以，．，即；因为为整数，且对于任意正整数，成立，当时，，所以的最小值为3．13．已知函数，（1），，令，（1）求数列的通项公式；（2）证明．【解析】（1）解：函数，（1），，，，联立解得：．．令，，，两边取倒数可得：，变形为：，，数列是等比数列，首项为1，公比为．，．（2）证明：，数列单调递增，，，．14．已知函数，数列满足条件：，．试比较与1的大小，并说明理由．【解析】解：，，．函数在区间，上单调递增，于是由，得，由此猜想：．以下用数学归纳法证明这个猜想：①当时，，结论成立；②假设时结论成立，即，则当时，由在区间，上单调递增知，，即时，结论也成立．由①、②知，对任意，都有．即，，．15．设数列的前项和为，且，．（1）求证：数列为等比数列，并求；（2）设数列满足，数列的前项和为，求证：．【解析】证明：（1），时，，相减可得，化为：，，数列为等比数列，首项与公比都为．，化为：．（2），．数列的前项和为，．16．已知数列满足：且，且．（1）求数列的通项公式；（2）当时，记，设数列的前项和为，求证：．【解析】解：（1）当时，，当时，，故；当时，，，；故；（2）证明：当时，可验