2024-2025学年高一上学期初高中数学衔接知识-1.3不等式性质及应用-专项训练【含解析】

第三节不等式性质及应用【原卷版】1.（多选）下列命题为真命题的是（）A.若3a＞3b，则aB.若a＞b＞0，则a2＞b2C.若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D.若a＜b＜0，则1a＞2.（多选）设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是（）A.c2＜cd B.a－c＜b－dC.ac＞bd D.ca－db3.若a＝ln22，b＝ln33，则ab（填“＞”或“＜”4.设M＝x2＋y2＋1，N＝2（x＋y－1），则M与N的大小关系为.5.已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a＋2b的取值范围是.（多选）下列命题中正确的是（）A.若a＜b，则ac2＜bc2B.若b＞a＞0，则a+2bC.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－dD.若ab＞0，a＞b，则1a＜比较两个数（式）的大小1.设a，b∈[0，＋∞），A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是（A.A≤B B.A≥BC.A＜B D.A＞B2.若a＜0，b＜0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋bA.p＜q B.p≤qC.p＞q D.p≥q3.若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则A.a＜b＜c B.c＜b＜aC.c＜a＜b D.b＜a＜c不等式的基本性质【例1】（1）已知a，b∈R，满足ab＜0，a＋b＞0，a＞b，则（）A.1a＜1b B.ba＋C.a2＞b2 D.a＜｜b｜（2）（多选）若1a＜1b＜0，则下列不等式正确的是（A.1a＋b＜1ab B.｜a｜C.a－1a＞b－1b D.lna2＞ln1.已知x，y∈R，且x＋y＞0，则（）A.1x＋1y＞0 B.x3＋y3C.lg（x＋y）＞0 D.sin（x＋y）＞02.（多选）已知a＞b＞c，ac＞0，则下列关系式一定成立的是（）A.c2＞bc B.bc（a－c）＞0C.a＋b＞c D.cb＋bc【例2】已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则x－y的取值范围是，3x＋2y的取值范围是.（变设问）若本例条件不变，则x+1y的取值范围为1.已知1＜a＜b＜3，则a－b的取值范围是，ab的取值范围是2.已知－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，则3x＋2y的取值范围为.1.已知a＞0，b＞0，设m＝a－2b＋2，n＝2a－b，则（）A.m≥n B.m＞nC.m≤n D.m＜n2.已知a＋b＜0，且a＞0，则（）A.a2＜－ab＜b2 B.b2＜－ab＜a2C.a2＜b2＜－ab D.－ab＜b2＜a23.若a＞0，b＞0，则p＝（ab）a＋b2与q＝abbaA.p≥q B.p≤qC.p＞q D.p＜q4.在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区.为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（）A.4×x0.5＜150 B.4×C.4×x0.5≤150 D.4×5.已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是（）A.xy＞yz B.xy＞xzC.xz＞yz D.x｜y｜＞｜y｜z6.（多选）已知a＞b≥2，则（）A.b2＜3b－a B.a3＋b3＞a2b＋ab2C.ab＞a＋b D.12＋2ab＞17.已知p：a＞｜b｜，q：a2＞b2，则p是q的条件.8.（1）已知a＋b＞0，试比较ab2＋ba2与1（2）若bc－ad≥0，bd＞0，求证：a＋bb9.已知点M（x0，y0）在直线3x＋y＋2＝0上，且满足x0＞y0－1，则y0x0的取值范围为A.－B.（－∞，－3）∪－C.（－∞，－3]∪－D.－10.已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A.1x－1y＞0 B.sinx－sinyC.（12）x－（12）y＜0 D.lnx＋lny11.（多选）设a，b为正实数，下列命题正确的有（）A.若a2－b2＝1，则a－b＜1B.若1b－1a＝1，则a－bC.若｜a－b｜＝1，则｜a－b｜＜1D.若｜a3－b3｜＝1，则｜a－b｜＜112.已知a，b∈R，给出下面三个论断：①a＞b；②1a＜1b；③a＜0且b＜0.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：13.若α，β满足－1≤α＋β≤1，1≤α14.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c满足f（1）＝0，且a＞b＞c，则ca的取值范围是15.若a＞b＞0，c＜d＜0，｜b｜＞｜c｜.（1）求证：b＋c＞0；（2）求证：b＋c（（3）在（2）的不等式中，能否找到一个代数式，满足b＋c（a－c）2＜所求式＜a＋16.求证：2（n+1－1）＜1＋12＋13＋…＋1n＜2n（n∈第三节不等式性质及应用【解析版】1.（多选）下列命题为真命题的是（）A.若3a＞3b，则aB.若a＞b＞0，则a2＞b2C.若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D.若a＜b＜0，则1a＞解析：ABDC中，若a＝－2，b＝－1，则a2＞ab＞b2，故C错误.2.（多选）设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是（）A.c2＜cd B.a－c＜b－dC.ac＞bd D.ca－db解析：AD对于A，c2－cd＝c（c－d）＜0，所以A正确；对于B，a－c－（b－d）＝（a－b）－（c－d），无法判断与0的大小关系，所以B错误；对于C，不妨设a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝bd，所以C错误；对于D，ca－db＝bc－adab＞ac－adab＝a（c－3.若a＝ln22，b＝ln33，则ab（填“＞”或“＜”答案：＜解析：易知a，b都是正数，ba＝2ln33ln2＝log89＞1，所以b4.设M＝x2＋y2＋1，N＝2（x＋y－1），则M与N的大小关系为.答案：M＞N解析：M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝（x－1）2＋（y－1）2＋1＞0.故M＞N.5.已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a＋2b的取值范围是.答案：（－7，12）解析：∵－3＜b＜5，∴－6＜2b＜10，又－1＜a＜2，∴－7＜a＋2b＜12.（多选）下列命题中正确的是（）A.若a＜b，则ac2＜bc2B.若b＞a＞0，则a+2bC.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－dD.若ab＞0，a＞b，则1a＜比较两个数（式）的大小1.设a，b∈[0，＋∞），A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是（A.A≤B B.A≥BC.A＜B D.A＞B解析：B由题意得，B2－A2＝－2ab≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.2.若a＜0，b＜0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋bA.p＜q B.p≤qC.p＞q D.p≥q解析：Bp－q＝b2a＋a2b－a－b＝b2－a2a＋a2－b2b＝（b2－a2）·1a－1b＝（b2－a2)(b－a）ab＝（b－a）2（b＋a）ab，∵a＜0，b＜0，∴a＋b＜0，ab＞0.若a3.若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则A.a＜b＜c B.c＜b＜aC.c＜a＜b D.b＜a＜c解析：B法一易知a，b，c都是正数，ba＝3ln44ln3＝log8164＜1，∴a＞b；bc＝5ln44ln5＝log6251024＞1，∴b＞c.即c法二构造函数f（x）＝lnxx，则f'（x）＝1－lnxx2，由f'（x）＞0，得0＜x＜e；由f'（x）＜0，得x＞e.∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减.∴f（3）＞f（4）＞f（5），即不等式的基本性质【例1】（1）已知a，b∈R，满足ab＜0，a＋b＞0，a＞b，则（）A.1a＜1b B.ba＋C.a2＞b2 D.a＜｜b｜（2）（多选）若1a＜1b＜0，则下列不等式正确的是（A.1a＋b＜1ab B.｜a｜C.a－1a＞b－1b D.lna2＞ln答案：（1）C（2）AC解析：（1）因为ab＜0，a＞b，则a＞0，b＜0，1a＞0，1b＜0，A不正确；ba＜0，ab＜0，则ba＋ab＜0，B不正确；又a＋b＞0，即a＞－b＞0，则a2＞（－b）2，a2＞b2，C正确；由a＞－b＞0得a＞｜（2）由1a＜1b＜0，可知b＜a＜0.A中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以1a＋b＜0，1ab＞0.故有1a＋b＜1ab，即A正确；B中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞｜a｜，即｜a｜＋b＜0，故B错误；C中，因为1a＜1b＜0，则－1a＞－1b＞0，0＞a＞b，所以a－1a＞b－1b，故C正确；D中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在（－∞，0）上单调递减，可得b2＞a2＞0，而y＝lnx在定义域（0，＋∞1.已知x，y∈R，且x＋y＞0，则（）A.1x＋1y＞0 B.x3＋y3C.lg（x＋y）＞0 D.sin（x＋y）＞0解析：B对于A，令x＝1，y＝－12，显然1x＋1y＝1－2＜0，错误；对于B，x3＋y3＝（x＋y）（x2－xy＋y2）＝（x＋y）［（x－12y）2＋34y2］≥0，又x＝12y，y＝0不能同时成立，故（x＋y）［（x－12y）2＋34y2］＞0，正确；对于C，取x＝1，y＝0，则lg（x＋y）＝0，错误；对于D，取x＝1，y＝3，则sin（x＋y）＝2.（多选）已知a＞b＞c，ac＞0，则下列关系式一定成立的是（）A.c2＞bc B.bc（a－c）＞0C.a＋b＞c D.cb＋bc解析：BD因为ac＞0，所以a＞b＞c＞0或0＞a＞b＞c，当a＞b＞c＞0时，bc＞c2，A不成立，bc（a－c）＞0，a＋b＞c，由cb＞0，bc＞0，故cb＋bc≥2cb·bc＝2，当且仅当cb＝bc，即b＝c时，等号成立，因为b＞c，故等号不成立，故cb＋bc＞2；当0＞a＞b＞c时，bc（a－c）＞0，不妨设0＞－1＞－2＞－3，则a＋b＝c，故C不成立；由cb＞0，bc＞0，故cb＋bc≥2cb·bc＝2，当且仅当cb＝bc，即b＝c时，等号成立，因为b不等式性质的应用【例2】（教材题改编）已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则x－y的取值范围是，3x＋2y的取值范围是.答案：（－4，2）（1，18）解析：因为－1＜x＜4，2＜y＜3，所以－3＜－y＜－2，所以－4＜x－y＜2.由－3＜3x＜12，4＜2y＜6，得1＜3x＋2y＜18.（变设问）若本例条件不变，则x+1y的取值范围为答案：（0，52解析：∵－1＜x＜4，∴0＜x＋1＜5，又2＜y＜3，13＜1y＜12，∴0＜x1.已知1＜a＜b＜3，则a－b的取值范围是，ab的取值范围是答案：（－2，0）（13，解析：因为1＜a＜b＜3，所以1＜a＜3，－3＜－b＜－1，所以－2＜a－b＜2，因为a＜b，所以－2＜a－b＜0；因为13＜1b＜1，1＜a＜b，所以13＜2.已知－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，则3x＋2y的取值范围为.答案：（92，19解析：设3x＋2y＝λ（x－y）＋μ（x＋y），即3x＋2y＝（λ＋μ）x＋（μ－λ）y，于是λ＋μ=3，μ－λ=2，解得λ＝12，μ＝52，∴3x＋2y＝12（x－y）＋52（x＋y）.∵－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，∴－12＜12（x－y）＜2，5＜52（x＋y）＜152，∴92＜12（1.已知a＞0，b＞0，设m＝a－2b＋2，n＝2a－b，则（）A.m≥n B.m＞nC.m≤n D.m＜n解析：A由题意可知，m－n＝a－2b＋2－2a＋b＝（a－1）2＋（b－1）2≥0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，即m≥n，故选A.2.已知a＋b＜0，且a＞0，则（）A.a2＜－ab＜b2 B.b2＜－ab＜a2C.a2＜b2＜－ab D.－ab＜b2＜a2解析：A法一由a＋b＜0，且a＞0可得b＜0，且a＜－b.因为a2－（－ab）＝a（a＋b）＜0，所以0＜a2＜－ab.又因为0＜a＜－b，所以0＜－ab＜（－b）2，所以0＜a2＜－ab＜b2，故选A.法二令a＝1，b＝－2，则a2＝1，－ab＝2，b2＝4，从而a2＜－ab＜b2，故选A.3.若a＞0，b＞0，则p＝（ab）a＋b2与q＝abbaA.p≥q B.p≤qC.p＞q D.p＜q解析：Apq＝（ab）a＋b2abba＝aa－b2bb－a2＝（ab）a－b2，若a＞b＞0，则ab＞1，a－b＞0，∴pq＞1；若0＜a＜b，则0＜ab＜14.在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区.为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（）A.4×x0.5＜150 B.4×C.4×x0.5≤150 D.4×解析：B由题意知导火索燃烧的时间为x0.5秒，人在此时间内跑的路程为（4×x0.5）米，由题意可得4×5.已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是（）A.xy＞yz B.xy＞xzC.xz＞yz D.x｜y｜＞｜y｜z解析：B因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，y的符号无法确定，对于A，因为x＞0＞z，若y＜0，则xy＜0＜yz，故A错误；对于B，因为y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正确；对于C，因为x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C错误；对于D，因为x＞z，当｜y｜＝0时，x｜y｜＝｜y｜z，故D错误.6.（多选）已知a＞b≥2，则（）A.b2＜3b－a B.a3＋b3＞a2b＋ab2C.ab＞a＋b D.12＋2ab＞1解析：BCa＞b≥2，取a＝3，b＝2，则b2＜3b－a不成立，故A不成立；a3＋b3－（a2b＋ab2）＝a2（a－b）－b2（a－b）＝（a－b）2（a＋b）＞0，故B成立；ab－a－b＝a（b－1）－b＝（b－1）（a－bb－1）＝（b－1）·a－（1+1b－1）＞0，故C成立；12＋2ab－1a－1b7.已知p：a＞｜b｜，q：a2＞b2，则p是q的条件.答案：充分不必要解析：当a＞｜b｜时，易得a＞｜b｜≥0，故a2＞b2，充分性成立；当a2＞b2时，则｜a｜＞｜b｜，当a＞0时，a＞｜b｜，当a＜0时，－a＞｜b｜，必要性不成立.故p是q的充分不必要条件.8.（1）已知a＋b＞0，试比较ab2＋ba2与1（2）若bc－ad≥0，bd＞0，求证：a＋bb解：（1）ab2＋ba2－（1a＋1＝（a－b）·（1b2－1a2∵a＋b＞0，（a－b）2≥0，∴（a＋∴ab2＋ba2≥（2）证明：∵bc≥ad，1bd＞0，∴cd≥∴cd＋1≥ab＋1，∴a＋9.已知点M（x0，y0）在直线3x＋y＋2＝0上，且满足x0＞y0－1，则y0x0的取值范围为A.－B.（－∞，－3）∪－C.（－∞，－3]∪－D.－解析：B由题意3x0＋y0＋2＝0，y0＝－3x0－2，∵x0＞y0－1，∴x0＞－3x0－2－1，解得x0＞－34，y0x0＝－3x0－2x0＝－3－2x0，∵x0＞－34且x0≠0，∴1x0＜－43或1x0＞10.已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A.1x－1y＞0 B.sinx－sinyC.（12）x－（12）y＜0 D.lnx＋lny解析：C对于A，函数f（x）＝1x在（0，＋∞）上单调递减，所以由x＞y＞0得1x＜1y，即1x－1y＜0，A错误；对于B，当x＝π，y＝π2时满足x＞y＞0，而sinx＝sinπ＝0＜1＝sinπ2＝siny，即sinx－siny＜0，B错误；对于C，函数f（x）＝（12）x在（0，＋∞）上单调递减，所以由x＞y＞0得（12）x＜（12）y，即（12）x－（12）y＜0，C正确；对于D，当x＝1，y＝1e时满足x＞y＞0，而lnx＋lny＝ln1＋ln1e＝11.（多选）设a，b为正实数，下列命题正确的有（）A.若a2－b2＝1，则a－b＜1B.若1b－1a＝1，则a－bC.若｜a－b｜＝1，则｜a－b｜＜1D.若｜a3－b3｜＝1，则｜a－b｜＜1解析：AD对于选项A，若a2－b2＝1，则a2－1＝b2，即（a＋1）（a－1）＝b2，∵a＋1＞a－1，∴a－1＜b，即a－b＜1，∴该选项正确；对于选项B，若1b－1a＝1，可取a＝7，b＝78，则a－b＞1，∴该选项错误；对于选项C，若｜a－b｜＝1，则可取a＝9，b＝4，而｜a－b｜＝5＞1，∴该选项错误；对于选项D，由｜a3－b3｜＝1，若a＞b，则a3－b3＝1，即a3－1＝b3，即（a－1）（a2＋1＋a）＝b3，∵a2＋1＋a＞b2，∴a－1＜b，即a－b＜1，若a＜b，则b3－a3＝1，即b3－1＝a3，即（b－1）（b2＋1＋b）＝a3，∵b2＋1＋b＞a2，∴b－1＜a，即b－a＜1，∴｜a－b｜＜1，∴该选项正确.故选12.已知a，b∈R，给出下面三个论断：①a＞b；②1a＜1b；③a＜0且b＜0.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：答案：若a＞b，a＜0且b＜0，则1a＜1b（解析：若a＞b，a＜0且b＜0，则1a＜1b，证明：1a－1b＝b－aab，∵a＞b