《微积分I（PM）》课程教学大纲

《微积分Ⅰ（PM）》教学大纲课程编号：121104A课程类型：通识教育必修课□通识教育选修课□学科基础课□专业核心课□专业提升课□专业拓展课总学时：60讲课学时：60实验（上机）学时：0学分：4考试类型：eq\o\ac(□,√)考试□考查适用对象：公共管理专业□是eq\o\ac(□,√)否适合作为其他专业学生的个性化选修课先修课程：无一、教学目标《微积分I》是我校城市学院公共管理专业的一门公共基础课，为一学期课程。通过本课程的学习，使学生掌握1.函数与极限；2.一元函数微分学及应用；3.一元函数积分学等微积分学的基本概念、基本理论及基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。目标1：培养学生的运算能力、自学能力以及空间想象能力；目标2：培养学生的抽象概括问题的能力、逻辑推理能力与；目标3：培养学生综合运用所学知识去分析和解决有关实际问题的能力:；目标4：提高学生数学素养，完善学生知识结构，深化学生思想构造，通过不断的学习与实践，建构起自身有机运转的知识体系与思想体系，落实立德树人的根本任务。二、教学内容及其与毕业要求的对应关系通过本课程的学习，要求学生掌握极限与连续、导数与微分、中值定理、不定积分的相关定理及公式，熟练解决与此相关计算及应用问题。重点讲授数列、函数极限的定义、无穷小与无穷大、极限的运算规则、两个重要极限、函数的连续与间断、导数的概念、求导法则、复合函数及隐函数求导、函数的微分、中值定理、洛必达法则、泰勒公式、函数的单调性、凹凸性与极值、不定积分的概念、求不定积分的方法等相关内容。对数学实验与应用建模等问题，做简单提示、引导学生依据自身兴趣自学。教学中主要采用讲授法为主，讲练结合的方式。要求学生做到课前预习课后练习，做好每章的课后习题。作业计入平时成绩。课程考核方式以笔试、闭卷方式进行。课程成绩评定采用综合评定方式，期末卷面成绩占总成绩的70%，期中测验成绩占总成绩的10%，平时成绩占总成绩的20%，平时成绩主要以平时作业、课堂考勤、课堂讨论发言等情况综合评定。三、各教学环节学时分配教学课时分配序号章节内容讲课实验习题课合计1函数、极限与连续202222导数与微分102123中值定理与导数应用162184不定积分10212合计56664四、教学内容第一章函数、极限与连续第一节函数1.实数与集合2.函数的概念3.函数特性第二节初等函数反函数基本初等函数复合函数初等函数第三节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质第四节函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限左、右极限函数极限的性质第五节无穷小与无穷大无穷小无穷小的运算性质无穷大无穷小与无穷大的关系第六节极限运算法则第七节极限存在准则与两个重要极限夹逼准则单调有界准则两个重要极限第八节无穷小的比较无穷小比较的概念等价无穷小第九节函数的连续与间断函数的连续性函数的间断点第十节连续函数的运算与性质连续函数的算术运算复合函数的连续性初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质教学重点、难点：本章教学重点是数列与函数极限的概念、极限的运算法则、两个重要极限、无穷小量的概念及性质、函数连续的概念，难点是极限的存在准则和闭区间上连续函数的性质。课程的考核要求：理解初等函数的概念和性质；理解数列与函数极限的概念（关于数列与函数极限的分析定义不作过高的要求）；熟练掌握两个重要极限及其应用，了解两个极限存在的准则，并能用于求一些简单的极限问题；理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量比较的方法，了解无穷大量的概念，知道无穷小量与无穷大量之间的关系；熟练掌握求极限的基本方法：利用极限运算法则、无穷小量性质、两个重要极限以及函数的连续性等方法求极限；理解函数连续性与间断的概念，掌握函数间断点的分类，掌握讨论分段函数连续性的方法，了解闭区间上连续函数的基本定理（定理不证明，只作几何说明），会用零点定理证明方程实根的存在性。课程思政切入点：（1）极限思想的产生过程，引出“虽不能至，然心向往之”；（2）极限定义与微积分学科体系的关系，依靠此定义支撑起微积分学科体系；（3）中西极限思想的发展与异同；（4）函数的三要素与探讨问题的范围；（5）极限思想与日常争论中可能出现几种的情况；（6）极限、定义域与杠精逻辑；（7）关于“去心邻域”：自己与周边。复习思考题：求极限的基本方法有哪些？如何求函数的间断点第二章导数与微分第一节导数概念导数的定义左、右导数用定义计算导数导数的几何意义函数的可导性与连续性的关系第二节函数的求导法则导数的四则运算法则反函数的导数复合函数的求导法则第三节导数的应用边际分析弹性分析第四节高阶导数第五节隐函数的导数隐函数求导法对数求导法第六节函数的微分微分的定义函数可微的条件基本初等函数的微分公式与微分运算法则微分的几何意义函数的线性化教学重点、难点：本章教学重点是导数的定义、函数的求导法则、微分的定义及运算，难点是导数概念的理解、复合函数求导法。课程的考核要求：理解导数的概念、导数的几何意义，了解可导与连续的关系；熟练掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算公式，了解反函数的导数公式（公式证明不作要求）；熟练掌握复合函数的求导公式、取对数求导法和隐函数求导法；了解高阶导数的概念，掌握求二阶、三阶导数及某些简单函数的n阶导数的方法；理解微分的概念，了解可导与可微的关系，以及一阶微分形式的不变性，熟练掌握求可微函数微分的方法；掌握边际、弹性的概念及其经济意义。课程思政切入点：动与静的辩证关系：物质世界的运动是绝对的，而物质在运动过程中又有某种暂时的静止，静止是相对的。静止是物质运动在一定条件的稳定状态，包括空间位置和根本性质暂时未变这两种运动的特殊状态。运动的绝对性体现了物质运动的变动性、无条件性，静止的相对性体现了物质运动的稳定性、有条件性。运动和静止相互依赖、相互渗透、相互包含，“动中有静、静中有动”。无条件的绝对运动和有条件的相对静止构成了事物的矛盾运动。复习思考题：函数在一点可导、可微、连续的关系？第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理第二节洛必达法则00型与∞其他类型的未定式第三节泰勒公式第四节函数的单调性、凹凸性与极值函数的单调性曲线的凹凸性函数的极值第五节数学建模—最优化函数的最值在经济学中的应用第六节函数图形的描绘渐近线函数图形的描绘教学重点、难点：本章教学重点是微分中值定理的理解与运用(尤其是罗尔定理和拉格朗日定理的运用)、洛必达法则、函数单调性、凹凸性的讨论、函数极值、拐点的求法，难点是泰勒公式的理解和运用。课程的考核要求：理解罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理，会利用这些定理证明一些简单的证明题；熟练掌握洛必达法则与各种未定式的定值方法，注意洛必达法则适用的条件；掌握函数在一点的泰勒展开式和几个基本初等函数的麦克劳林公式；熟练掌握函数单调性的判别方法及单调性的简单应用；熟练掌握求函数极值与最值的方法，知道函数的极值与最值的关系与区别，会求解某些简单的经济应用问题、会用需求弹性分析总收益的变化；熟练掌握曲线凹凸性判别方法，熟练掌握求曲线拐点及渐近线的方法；掌握函数作图的方法与步骤，会作某些简单函数的图形．课程思政切入点：（1）在运动发展中看问题，并在运动中看到问题的本质；（2）从特殊到一般，通过放宽条件而带来进步；（3）不争一时争一世，不争一世争千秋；（4）起起落落、急急缓缓的必然性；（5）你竭尽全力做到的，在别人那里可能都是垂手可得，甚至与生俱来。所以不要跟别人比，跟自己比，不断超越自己就对了；（6）有条件要上，没有条件创造条件也要上；（7）由小到大，部分与整体的关系。复习思考题：中值定理之间有什么关系？函数画图的步骤。第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质原函数的概念不定积分的概念不定积分的性质基本积分表直接积分法第二节换元积分法第一类换元法第二类换元法第三节分部积分法第四节有理函数积分教学重点、难点：本章教学重点是不定积分的概念、基本积分公式及求不定积分的换元积分法、分部积分法，难点是第一、第二换元积分法的掌握。课程的考核要求：理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质；熟练掌握基本积分表；熟练掌握计算不定积分的两种换元积分法和分部积分法；会计算简单的有理函数和简单无理函数的不定积分。课程思政切入点：当你在某一方面无所不用其极而未能达到预期效果时，想想是不是“原函数”出了问题，你的努力可能只是重复了无数次的“竹篮打水”。复习思考题：求解不定积分有哪些方法？五、考核方式、成绩