2023-2024学年北京一零一中高二（上）期中数学试题和答案

高中PAGE1试题2023北京一零一中高二（上）期中数学（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.下列直线中，倾斜角为锐角的是（）A. B. C. D.2.若，，，则的值为（）A.3 B.4 C.7 D.153.若直线过点，且的方向向量为，则直线的方程为（）A. B.C. D.4.设，则“”是“直线与直线平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知向量，，，若，，共面，则等于（）A. B. C.5 D.96.已知实数x，y满足，则的最小值为（）A. B. C. D.7.如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（）A. B. C.4 D.28.如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，在图2中，则下列结果不正确的是（）A.B.点D到平面的距离为C.点D到直线的距离为D.平面与平面夹角的余弦值为9.如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，且，，的长分别为a，b，c.M为内部的任意一点，点M到平面，平面，平面的距离分别为，，，则（）A.4 B.1 C. D.210.设直线系M：，对于下列四个命题：①M中所有直线均经过一个定点；②存在无数多个点不在M中的任一条直线上；③对于任意整数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.其中真命题为（）A.①②④ B.②③ C.②③④ D.③④二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11.已知向量，，若，则____________.12.两条直线与之间的距离是______.13.若实数满足，则的取值范围是____________.14.已知点在圆上，点、，则点到直线的距离的最大值为____________；当最大时，____________.15.如图，在直三棱柱中，，，，，.记，给出下列四个结论：①对于任意点H，都不存在点P，使得平面平面；②的最小值为3；③当取最小时，过点A，H，P作三棱柱的截面，则截面面积为；④满足的点P有无数个.其中所有正确结论的序号是____________.三、解答题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱锥中，底面为矩形且，侧面底面，且侧面是正三角形，分别是，的中点.（1）求证：//平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值，17.已知点和点是圆C直径的两个端点．（1）求线段的中点坐标和圆C的方程；（2）过点A作圆C的切线l，求切线l的方程．18.如图，在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，，且，，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）设是棱的中点，在棱上是否存在一点，使？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.19.已知圆：.（1）若圆与轴相切，求圆的方程；（2）如图，当时，圆与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）.问：是否存在圆：，使得过点M的任一条直线与该圆的交点为A，B，都有?若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由.20.已知：为有穷数列.若对任意的，都有（规定），则称具有性质.设.（1）判断数列：1，0.1，-0.2，0.5，：1，2，0.7，1.2，2是否具有性质P?若具有性质P，写出对应的集合；（2）若具有性质，证明：；（3）给定正整数，对所有具有性质的数列，求中元素个数的最小值.

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】B【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系可得.【详解】设直线倾斜角为，A选项，直线，斜率，即倾斜角为钝角；B选项，直线，斜率，倾斜角为，是锐角；C选项，直线，斜率，即倾斜角为，不是锐角；C选项，直线，斜率不存在，即倾斜角为，是直角不是锐角.故选：B.2.【答案】A【分析】应用向量线性运算及数量积的坐标表示求的值.【详解】由题设，则.故选：A3.【答案】B【分析】由直线的方向向量与斜率的关系求得直线斜率，根据点斜式建立直线方程，化简为直线的一般式方程即可得解.【详解】解：∵的方向向量为，∴直线的斜率，又∵直线过点，∴直线的方程为：，即.故选：B.4.【答案】A【分析】计算直线平行等价于或，根据范围大小关系得到答案.【详解】直线与直线平行，则，或，验证均不重合，满足.故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.5.【答案】D【分析】根据列方程，根据空间向量坐标的线性运算求解出的值.【详解】由于共面，所以存在，使得，即，所以，解得：，所以.故选：D.6.【答案】D【分析】由表示直线上一动点到定点的距离之和，利用数形结合法求解.【详解】解：表示直线上一动点到定点的距离之和，如图所示：设点关于直线的对称点为，则，解得，所以对称点为，则由图知：的最小值为，故选：D7.【答案】C【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由二面角的平面角的定义知，∴，由，得，又，∴，所以，即.故选：C.8.【答案】C【分析】根据给定条件，求出图1中点A,B,D,M的坐标，建立空间直角坐标系，求出图2中点A,B,D,M的坐标，再逐项判断作答.【详解】在图1中，由，得，，，，在图2中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，得，A正确．设平面的法向量为，，则，即，取，则，，所以平面的一个法向量，所以点D到平面的距离为，B正确．取，，则，，所以点D到直线的距离为，C错误．平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为，D正确.故选：C.9.【答案】D【分析】根据，利用等体积法即可求得答案.【详解】如图，设点M到平面，平面，平面的投影点分别为,连接，则.而，，所以，则，则，故选：D.10.【答案】B【分析】点到直线系中每条直线的距离，直线系表示圆的切线的集合.从切线的角度逐一判断各个命题即可得到答案.【详解】因为点到直线系中每条直线的距离，直线系表示圆的切线的集合.①：由于直线系表示圆的所有切线，其中存在两条切线平行，中所有直线均经过一个定点不可能，故①不正确；②：直线系表示圆的所有切线，故圆内部的点不在中的任一条直线上，所以存在无数多个点不在中的任一条直线上，故②正确；③：由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上，故③正确；④：如图，中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，故④不正确.故选：B.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11.【答案】##10.5【分析】由向量平行可设，可得，解方程即可得解.【详解】由设，则，解得,所以，故答案为：.12.【答案】【分析】根据平行直线间距离公式可直接求得结果.【详解】由平行直线间距离公式可得：之间的距离.故答案为：.13.【答案】【分析】已知等式变形后得到圆方程，找出圆心和半径，令，得到，根据直线和圆有公共点列式求解即可.【详解】令，即，表示一条直线，又方程可化为，表示圆心为，半径为的圆，由题意可知圆与直线有公共点，所以圆心到直线的距离，解得，即的取值范围是，故答案为：14.【答案】①.②.【分析】先求出直线AB的方程，由圆心到直线的距离加上半径可得最大值；找到当最大时P点所在的位置，再结合勾股定理可得的值.【详解】由题意可得AB的直线方程为，即，圆的圆心坐标为(5,5)，半径为4，圆心(5,5)到直线AB的距离为，所以点P到直线AB的距离的最大值为，如图：，当最大或最小时，直线PB与圆相切，上图的P点位置满足最大的情况，，，所以，故答案为：；.15.【答案】②③【分析】①问题化为对于任意点H，是否存在点P，使面面，由已知证面面，结合面面垂直判定判断存在性即可；②将绕翻折到平面内，证为等边三角形，进而确定的最小值；③为的中点，为的重心，平面中，延长交于点，取的中点，为的中点，证过点的三棱柱的截面为梯形，根据已知求其面积；④由时，，进而得到，几何法确定不等式两端的范围，即可判断.【详解】①因为三棱锥为直三棱锥，所以面，又面，所以，又，所以，所以，由，面，故面，面，所以面面，而且都在面内，由于面即为面，要使面面，只需面面，综上，面时，面，此时面面，即面面，对于任意点，只需对应平行于中边上的高时，均满足要求，错；②将绕翻折到平面内，则的最小值为点到直线的距离，又，，，所以，所以到直线的距离为3，所以的最小值为3，对；③当取最小时，为的中点，因为为等边三角形，为的中点，所以为的重心，故，在平面中，延长交于点，因为，，，所以，故，取的中点，为的中点，则，因为，，所以四边形为平行四边形，则，又，所以，所以，故过点的三棱柱的截面为梯形，，，，，如下图，过作，设，因为，则，所以，则梯形的面积为，错；④当时，，结合题设知，在下图中过点作，垂足为，则，综上，，又，，（对于：只需，只需，即，则显然成立.）故对于任意的点，当时，都存在对应的点，满足，故满足的点P有无数个，对；故答案为：②③【点睛】关键点点睛：③利用平面基本性质找到截面并证明其为梯形，求出相关线段长为关键；④注意取时，，过点作，垂足为，并得到为关键.三、解答题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）详见解析（2）【分析】（1）作出辅助线，证明线线平行，进而证明出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角；【小问1详解】取PC的中点M，连接MF，ME，因为F是PB的中点，所以MF是三角形PBC的中点，所以MF∥BC，且，因为底面ABCD为矩形，E是AD的中点，所以AE∥BC，，所以MF∥AE，且MF=AE，所以四边形AFME是平行四边形，故AF∥ME，因为AF平面PCE，ME平面PCE，所以AF∥平面PCE.【小问2详解】因为侧面PAD是正三角形，E是AD的中点，所以，又因为侧面PAD底面ABCD，交线为AD，所以PE底面ABCD，以E为坐标原点，ED所在直线为x轴，取BC中点H，EH所在直线为y轴，EP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，，，，，，设平面PEC的法向量，则，解得：，令得：，所以，，设直线CF与平面PCE所成角为，故；所以直线CF与平面PCE所成角的正弦值为.17.【答案】（1）中点，（2）【分析】（1）根据中点坐标公式即可求得的中点，即圆心坐标，利用两点间距离公式可求得直径，即可写出圆C的方程；（2）根据直线和圆的位置关系可得切线l的斜率，再利用点斜式方程即可求得切线l的方程．【小问1详解】由点和点是圆C直径的两个端点，可得的中点即为圆心C，根据中点坐标公式可得，即线段的中点坐标为，根据两点间距离公式得直径，所以圆C的半径为，则圆的方程为【小问2详解】根据题意可知直线与切线l垂直，直线的斜率为，设切线l的斜率为，满足，得；又切线l过点A，利用直线的点斜式方程得；即切线l的方程为.18.【答案】（1）见解析（2）（3）不存在，理由见解析【分析】（1）根据面面垂直的性质即可得出结论；（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，利用向量法即可得出答案；（3）假设存在，设此时，分别求出，根据，可得存在唯一的实数，使得，列出方程组，解得即可得出结论.【小问1详解】证明：因为平面平面，平面平面，，所以平面；【小问2详解】解：作轴平面，则轴在平面中，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，则，设为平面的法向量，为平面的法向量，则有，可取，同理，可取，则，所以平面与平面夹角的余弦值为；【小问3详解】解：假设存在，设此时，，，，则，因为，则，所以存在唯一的实数，使得，即，所以，方程组无解，与题设矛盾，所以不存在一点，使.19.【答案】19.或20.存在；【分析】（1）根据圆的一般方程确定圆心和半径，由题意列出方程，即可求得答案；（2）先求出点M的坐标，假设符合题意的圆存在，当直线斜率存在时，设出直线的方程并和圆的方程联立，可得根与系数的关系，结合得出，即，利用根与系数的关系化简求值，结合验证直线AB的斜率不存在时是否适合题意，即可得出结论.【小问1详解】由已知圆：知圆心为，半径为，由于圆与轴相切，故，即，解得或，故圆C的方程为：或；【小问2详解】当时，圆方程为，令，则，解得或，故，假设存在圆：，使得过点M的任一条直线与该圆的交点为A，B，都有，则必有M点在圆内，即；当直线与x轴不垂直时，设其方程为，联立，得，由于直线AB经过点M，M在圆内，则必有，设，则，由可知，由题意知不可能为直角，故，故，即，即即，则，当直线与x轴垂直时，关于x轴对称，显然，符合题意，综上可知，存在圆，使得过点M的任一条直线与该圆的交点为A，B，都有.【点睛】关键点睛：本题考查圆的方程的应用以及直线和圆的位置关系中的探索问题，解答的关键是假设探索性问