《抛物线的标准方程》教学设计一

高中数学精选资源3/3《抛物线的标准方程》教学设计一教学设计教学环节教学内容师生互动设计意图情境导入我们知道，二次函数的图像是一条抛物线，一个向上斜抛的乒乓球的运动轨迹是抛物线的一部分……那什么是抛物线呢？抛物线有没有一个类似于圆、椭圆、双曲线的定义呢？教师提问，学生思考.开门见山，抛出问题，引入抛物线的概念.知识形成1.抛物线的定义.一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线.2.抛物线的画法.如图所示，在画板上画一条直线l，使l与画板左侧的边线平行；再在直线l外画一个定点F取个丁字尺靠紧画板左侧外沿，丁字尺和直线l垂直且相交于点P，在丁字尺的另一端取一点Q，将条长度等于PQ的细绳，一端固定在点Q，另一端固定在点F，用笔尖靠着丁字尺边缘并扣紧细绳，然后上下平移丁字尺，笔尖作出的曲线是抛物线的部分.3.焦点位于x轴，开口向右的抛物线的标准方程的推导.为了方便,过抛物线的焦点作其准线的垂线,记垂足为,设(即到准线的距离为),因为直线不过点,所以.如图所示,以直线为轴,线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系.此时,抛物线的焦点为,准线为.设是抛物线上一点,则到的距离为，到直线的距离为,所以.上式两边平方,整理可得.=1\*GB3①该方程就是抛物线的方程,通常称为焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程.4.尝试与发现.如果建立的平面直角坐标系分别如下图的（1）（2）（3）所示,其他条件不变,则抛物线的焦点坐标和准线方程有变化吗?此时能否通过=1\*GB3①式得到抛物线的标准方程具有的形式呢?5.抛物线的标准方程由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形（列表如下）：教师给出抛物线的定义，让学生理解概念.然后，教师再出示下列判断题，让学生思考、回答，其他同学进行补充发言.（1）抛物线是双曲线的一支（）（2）平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线.（）提示：两个命题都不正确.教师先通过提问的形式帮助学生回忆画双曲线的方法，然后引导学生独立尝试画出抛物线的图像.教师巡视，了解学生存在的问题，并适时给予指导.学生尝试自己完成画图，并展示答案.教师通过多媒体展示画法并指出学生在作图过程中存在的问题.教师指出作抛物线的方法实际上验证了抛物线定义中的P点一定存在而且有无数多个那么，如何从数学上进行证明呢？学生思考，类比双曲线的标准方程的学习过程，通过建系设点P，寻找等量关系，化简得到抛物线的方程.考虑到学生建系方式不唯，可能会给出以下几种建系方式：（1）以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系；（2）以定点F为原点，平行于l的直线为y轴建立直角坐标系；（3）取过点F且垂直于直线L的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.教师让学生展示这三种不同建系方式后得出的结果，引导学生比较所得的各个方程，让学生选择：应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？学生思考、交流、对比得出：方式（3）中得出的方程作为抛物线的标准方程更简洁教师肯定学生答案，并指出抛物线上的点是存在的，而且有无数多个，从而证明了前面提出的问题.教师出示教材第151页下面的“尝试与发现”栏目，引导学生结合图像特征，从代换的角度得出另外三种不同情形下的标准方程.学生动手尝试，得出焦点分别位于x轴负半轴、y轴正半轴、y轴负半轴上的抛物线的标准方程.教师展示四个不同情形对应的标准方程、焦点坐标、准线方程及图形，师生共同得出规律：（1）方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍.（2）当焦点在x轴上时，方程等号右端为，相应地，左端为；当焦点在y轴上时，方程等号的右端为士，相应地，左端为.（3）当焦点在正半轴上时，一次项系数取正号；当焦点在负半轴上时，一次项系数取负号.抛物线的定义由教师直接给出，通过两道判断题帮助学生加深理解抛物线的定义，理清双曲线与抛物线不是一个概念，体会定义中易忽略的条件“定点不在定直线上”.通过学生独立完成，培养学生的动手能力，提升学生的直观想象核心素养.学生动手操作得出抛物线的方程，并对比三个不同建系方式得出的方程，选出最优建系方式，突破标准方程中的“标准”二字，同时提升学生的数学运算等核心素养.在教师指导下，学生通过合作交流，探究问题，多角度理解抛物线的标准方程，提升学生的数学抽象核心素养.应用举例例1分别根据下列条件,求抛物线的标准方程和准线方程;（1）抛物线的焦点到准线的距离是3,而且焦点在轴的正半轴上;（2）抛物线的焦点是.解（1）根据题意可知,抛物线的标准方程具有的形式,而且,因此所求标准方程为.准线方程为.（2）因为抛物线的焦点坐标是,所以抛物线的标准方程具有的形式,而且,因此,从而所求抛物线的标准方程是.准线方程为.例2分别根据下列条件,求抛物线的焦点坐标和标准方程：（1）抛物线的焦点到轴的距离是2,而且焦点在轴的正半轴上;（2）抛物线的焦点是双曲线的焦点之一.解（1）由已知可得焦点坐标为,因此抛物线的标准方程具有的形式,且,从而所求抛物线的标准方程是.（2）因为双曲线中,5,又因为双曲线的焦点在轴上,所以焦点坐标为或.如果抛物线的焦点坐标为,则抛物线的标准方程具有的形式,且,此时抛物线的标准方程是；如果抛物线的焦点坐标为,则抛物线的标准方程具有的形式,且,此时抛物线的标准方程是例3已知平面直角坐标系中,动点到的距离比到轴的距离大2,求的轨迹方程,并在平面直角坐标系中作出轨迹曲线.解设的坐标是,则根据题意可知，化简得.当时,方程可变为,这表示的是端点在原点、方向为轴正方向的射线,且不包括端点,如图所示;当时,方程可变为,这表示的是焦点为的抛物线,如图所示.对于例1，交给学生独立完成，可请2~3位学生进行板演，教师请其他学生进行补充.教师邀请2~3位学生进行板演例2，根据具体情况适时点拨，明确求抛物线标准方程的关键——确定焦点位置.教师请3~4位优等生板演例3，并适时指导有困难的学生，重点讨论、交流，然后画出标准方程下的轨迹曲线.通过例题，巩固所学，使学生学会抛物线的标准方程的求法，发展数学运算核心素养.固化概念，提升学生的数学运算与逻辑推理核心素养.归纳小结1.抛物线的定义.2.抛物线的标准方程.教师引导学生分组回答，小组评价.锻炼学生归纳总结、合作学习的能力.布置作业教材第153页练习A第1，2，3题.生课后完成.巩固所学知识.板书设计2.7.1抛物线的标准方程1.抛物线的定义一般地，设F是平面内的一个定点，是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到