第07讲不等关系不等式的基本性质不等式的解集

第07讲不等关系、不等式的基本性质、不等式的解集思维导图核心考点聚焦1.不等式的定义2.列不等式3.不等式的基本性质4.利用不等式的基本性质解不等式5.不等式的解6.不等式的解集1.不等式的概念：一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．特别说明：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大“≤”读作“小于或等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“≥”读作“大于或等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，1＞2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．2.不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．特别说明：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．3.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.4.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．注意：不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围不等式的解集是一个集合，是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立；②能够使不等式成立的所有数值都在解集中1.充分理解不等式的概念，特别注意的是用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．2.不等式的基本性质中，左右两边乘或除以不为0的数.3.不等式的解与不等式的解集之间的区别与联系.考点剖析考点一、不等式的定义例题：在下列数学表达式中，不等式的个数是（）①；②；③；④；⑤．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解析】不等式有：①；②；④；⑤；所以共有4个．故选C．【变式训练】1．式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解析】①；②；⑤；⑥是不等式，∴共个不等式．故选．2．下列式子：；；；；．其中是不等式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【解析】不等式有；；，故选B．考点二、列不等式例题：将“x与3的和小于5”用不等式表示为．【答案】【解析】根据题意，得．故答案为：．【变式训练】1．根据数量关系“x的2倍与y的差大于3”，列不等式：．【答案】【解析】解∶“x的2倍与y的差大于3”可表示为．故答案为∶．2．据气象台报道．2023年2月14日郑州市的最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是．【答案】/【解析】由郑州市的最高气温为，最低气温为，可得当天气温的变化范围是，故答案为：．考点三、不等式的基本性质例题：下列不等式的变形正确的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得【答案】D【解析】A.当时，，，故选项错误，不符合题意；

B.当，，，故选项错误，不符合题意；C.当，由，得，故选项错误，不符合题意；

D.由，得，故选项正确，符合题意．故选D．【变式训练】1．若，则下列结论成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A选项，由，可得，原变形错误，不符合题意；对于B选项，由，可得，原变形错误，不符合题意；对于C选项，由，可得，原变形错误，不符合题意；对于D选项，由，可得，原变形正确，符合题意；故选D．2．下列说法错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若且，则 D．若，则【答案】C【解析】A、若，则是正确的；B、若，那么，则是正确的；C、若且，当，则；当，则，当时，则，所以故该选项是错误的；D、若，则，因为，所以，则，故该选项是正确的；故选C。考点四、利用不等式的基本性质解不等式例题：根据不等式的性质，把下列不等式化为“”或“”的形式（a为常数）．(1)；(2)．【解析】（1）不等式两边同时加得，，不等号两边同时除以5得，；（2）不等号两边同时乘以3得，，不等号两边同时减1得，，不等号两边同时除以得，．【变式训练】1．把下列各不等式化成“”或“”的形式．(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1），，；（2），，；（3），，；（4），，．2．将下列不等式化成“”或“”的形式：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）两边同时减去得：，即；（2）两边同时加上2得：，两边同时乘得：；（3），两边同时除以得：；（4），两边同时减去得：，合并同类项得：，两边同时乘2得：．考点五、不等式的解例题：下列各数，是不等式的解的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A、，所以3不是不等式的解，故本选项不符合题意；B、，所以1不是不等式的解，故本选项不符合题意；C、，所以1不是不等式的解，故本选项不符合题意；D、，所以是不等式的解，故本选项符合题意；故选D．【变式训练】1．如果是某不等式的解，那么该不等式可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴是不等式的解，故D正确．故选D．2．下列说法中，正确的是（

）A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集【答案】A【解析】A、当x＝3时，2×3＞1，成立，故A符合题意；B、当x＝3时，2×3＞1成立，但不是唯一解，例如x＝4也是不等式的解，故B不符合题意；C、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，故C不符合题意；D、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，但不是不等式的解集，其解集为：x＞，故D不符合题意；故选A．考点六、不等式的解集例题：下列说法错误的是（

）A．不等式的解集是3 B．3是不等式的解C．不等式的解集是 D．是不等式的解集【答案】A【解析】解∶A、3是不等式的解，但是不等式的解集不是3，故本选项错误，符合题意；B、3是不等式的解，说法正确，故本选项不符合题意；C、不等式的解集是，说法正确，故本选项不符合题意；D、是不等式的解集，说法正确，故本选项不符合题意．故选∶A．【变式训练】1．下列说法错误的是（

）A．不等式的解集是B．不等式的整数解有无数个C．不等式的整数解是0D．是不等式的一个解【答案】C【解析】A、不等式x−3＞2的解集是x＞5，正确，不符合题意；B、由于整数包括负整数、0、正整数，所以不等式x＜3的整数解有无数个，正确，不符合题意；C、不等式x＋3＜3的解集为x＜0，所以不等式x＋3＜3的整数解不能是0，错误，符合题意；D、由于不等式2x＜3的解集为x＜1.5，所以x＝0是不等式2x＜3的一个解，正确，不符合题意．故选C．2．如果关于的不等式的解集为，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】关于的不等式的解集为，，解得，故选C．过关检测一、选择题1．已知，则下列不等式一定正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，所以符合题意．故选D．2．x与y的差为负数，用不等式表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】与的差是；差是负数，．故选A．3．给出下列数学式：①；②；③；④；⑤．其中不等式的个数是（

）A．5 B．4 C．3 D．1【答案】C【解析】③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．不等式有①②⑤，共3个．故选C．4．下列判断中，不正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】A．若，则，故A正确，不符合题意；B．若，则，故B正确，不符合题意；C．当时，则，故C错误，符合题意；D．若，则，故D正确，不符合题意．故选C．5．下列说法错误的是（）A．是不等式的解 B．是不等式的解C．的解集是 D．的解集就是、、【答案】D【解析】A选项，把代入不等式，不等式成立，故正确；B选项，把代入不等式，不等式成立，故正确；C选项，解不等式得，故正确；D选项，不是不等式的解，故错误．故选D．二、填空题6．在，，，四个数中，是不等式的解．【答案】6【解析】，，在，，，四个数中，符合条件的只有，即是不等式的解，故答案为：．7．“x的倍与的和大于”用不等式表示．【答案】【解析】∵x的2倍为，∴x的2倍与3的和大于35可表示为：，故答案为：．8．已知，试比较大小：（填“”或“”）．【答案】【解析】∵，∴，故答案为：．9．有下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有个．【答案】3【解析】①是用“＞”连接的式子，是不等式，符合题意；②是用“≤”连接的式子，是不等式，符合题意；③是等式，不是不等式，不符合题意；④没有不等号，不是不等式，不符合题意；⑤是用“＞”连接的式子，是不等式，符合题意；∴不等式有①②⑤共3个，故答案为：3．10．已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为．【答案】【解析】∵不等式的解集为，∴，∴a的取值范围为：，故答案为：．三、解答题11．说出下列不等式的变形依据．(1)若，则；(2)若，则．【解析】（1）由，得，根据不等式的性质1，不等式的两边同时加1，不等号的方向不变；（2）由，得，根据不等式的性质3，不等式的两边同除以，不等号的方向改变．12．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）52；（7）．【解析】等式有：（3）（5），不等式有：（2）（4）（7），既不是等式也不是不等式的有：（1）（6）．13．用不等式表示：(1)0大于；(2)x减去y不大于；(3)a的倍与的和是非负数；(4)a的与b的平方的和为正数．【解析】（1）0大于表示为：；（2）x减去y不大于表示为：；（3）a的倍与的和是非负数表示为：；（4）a的与b的平方的和为正数：．14．将下列不等式化成“”或“”的形式．(1)；(2)．【解析】（1），不等式两边同时乘以，可得，（2），不等式两边同时减，可得，不等式两边同时减，可得，系数化为，可得，15．试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件：（1）是不等式的一个解；（2），，0都是不等式的解；（3）不等式的正整数解只有1，2，3；（4）不等式的非正整数解只有，，0；（5）不等式的解中不含0．【解析】（1）满足题意的不等式为（答案不唯一）；（2）满足题意的不等式为（答案不唯