专题95中心对称与中心对称图形（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.5中心对称与中心对称图形（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】中心对称图形把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点.特别提醒：1.中心对称是指两个图形之间的位置关系.2.如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称.【知识点二】中心对称的基本性质1.中心对称的两个图形是全等图形.2.中心对称的两个图形，对称点所连接线段都经过对称中心，而且被对称中心平分.3.中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等.【知识点三】作已知图形成中心对称图形的一般步骤1.连接原图形上的所有关键点与对称中心；2.再将以上连接延长找对称点，使得关键点与其对称点到对称中心的距离相等；3.江对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出余原图形成中心对称的图形.【知识点四】中心对称图形1.把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形，这个点就是它的对称中心.2.中心对称图形的性质：（1）中心对称图形上的对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分，经过对称中心的直线与中心对称图形的两个对应角电视对称点.（2）过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分的面积和周长都分别相等.特别提醒：中心对称图形的判定必须同时满足三个条件.①图形绕着某点旋转；②旋转180°；③旋转后与自身重合.中心对称图形与旋转对称图形.中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形.旋转对称图形旋转角为180°中心对称图形.【知识点五】关于原点对称的点的坐标在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，那么它们的坐标符号相反，即点p（x，y）关于原点的对称点p’的坐标为（x，y）.特别提醒：若点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）关于点P（x，y）对称，则点P是线段P1P2的中点，即x=x1+x2【知识点六】中心对称与中心对称图形的区别与联系区别联系中心对称中心对称是指两个图形之间的位置关系把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则这个“整体”式中心对称图形；把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则它们成中心对称中心对称图形中心对称图形是指具有某种特性的一个图形【考点目录】【定义理解与图形识别】【考点1】中心对称图形与轴对称图形；【中心对称图形的性质】【考点2】利用中心对称图形的性质求面积、周长、角度【考点3】利用中心对称图形的性质证明【考点4】利用中心对称图形的性质求点的坐标【利用中心对称性质作图】【考点5】利用中心对称图形的性质作图求值【中心对称的应用】【考点6】中心对称图形和轴对称图形的应用【定义理解与图形识别】【考点1】中心对称图形与轴对称图形；【例1】（2022下·八年级课时练习）观察如图图形，并回答下面的问题：（1）哪些是轴对称图形？（2）哪些是中心对称图形？（3）哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？【答案】（1）②③④⑤⑥；（2）①②⑤；（3）②⑤【分析】（1）根据轴对称图形的定义即可求解；（2）根据中心对称图形的定义即可求解；（3）综合（1）（2）结论即可求解．（1）解：根据轴对称图形的定义，②③④⑤⑥是轴对称图形；（2）解：根据中心对称图形的定义，①②⑤是中心对称图形；（3）解：由（1）（2）可知，②⑤既是轴对称图形，又是中心对称图形．【点拨】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握定义．一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．【变式1】（2023上·河南新乡·九年级统考期末）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】本题考查中心对称图形的概念．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：B．【变式2】（上海市宝山区20232024学年七年级上学期数学期末试题）在“线段、圆、等边三角形”中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的为．【答案】线段、圆【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．解：线段和圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故答案为：线段、圆．【中心对称图形的性质】【考点2】利用中心对称图形的性质求面积、周长、角度【例2】（2023上·九年级课时练习）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，求的长．

【答案】【分析】根据含角的直角三角形的性质可得，设，，在中，根据勾股定理列方程，求出、的长，根据中心对称图形的性质可得，得到结果．解：∵，，∴，设，，在中，，∴，解得：（负值舍去），∴，∵原图形为中心对称图形，为对称中心，∴．【点拨】本题考查了中心对称图形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，根据角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理列方程求解是解题的关键．【变式1】（2018·黑龙江鹤岗·九年级统考期中）如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（）A．20cm2 B．15cm2 C．10cm2 D．25cm2【答案】A解：由图形可知，长方形的面积=10×4=40cm2，再根据中心对称的性质得，图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，则图中阴影部分的面积=×40=20cm2，故选A．【变式2】（2023上·河北保定·九年级统考期中）如图，D是边的中点，连接并延长到点E，使，连接．（1）和成中心对称，（2）已知的面积为4，则的面积是．【答案】8【分析】本题考查了中心对称图形及三角形中线的性质，（1）根据中心对称图形的性质即可求解；（2）根据三角形中线的性质即可求解；熟练掌握相关性质是解题的关键．解：（1）根据中心对称图形的性质可得；和成中心对称，故答案为：；（2）由（1）得：和成中心对称，线段是的中线，，D是边的中点，，故答案为：8．【考点3】利用中心对称图形的性质证明【例3】（2023上·广东广州·九年级广东广雅中学校考期中）如图，与关于点中心对称，若点，分别在、上，且，求证：．

【答案】见详解【分析】因为与关于点中心对称，所以，，因为，所以，即，结合，得证，即可作答．解：证明：因为与关于点中心对称，所以所以，，因为，则所以，因为所以即，因为，所以，则【点拨】本题考查了成中心对称的图形特征以及全等三角形的判定与性质，成中心对称的两个图形必定能重合，难度较小．【变式1】（2018·河北邯郸·九年级阶段练习）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（

）

A．点与点是对称点 B． C． D．【答案】D【分析】根据中心对称的性质判断即可．解：与关于点成中心对称，点与是一组对称点，，，，，都不合题意；∴，∴∴，C不符合题意；与不是对应角，不成立，D符合题意；故选：D．【点拨】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键．【变式2】（2021上·江西赣州·九年级统考期中）如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称,要得到△DEF,需要将△ABC绕点O旋转角是【答案】180°/180度【分析】如果一个图形绕一点O旋转180°后能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于点O中心对称，点O叫做对称中心．根据两个图形成中心对称的定义即可得到结果．解：根据两个图形成中心对称的含义知，旋转的角度是180°故答案为：180°【点拨】本题考查了两个图形成中心对称的含义，掌握此含义是关键．【考点4】利用中心对称图形的性质求点的坐标【例4】（2023上·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考期中）如图，是经过某种变换得到的图形，点A与点，点与点，点与点分别是对应点，观察对应点坐标之间的关系，解答下列问题：（1）分别写出点A与点，点与点的坐标．（2）若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求的值．【答案】（1），；，；（2）【分析】（1）根据各个点在平面直角坐标系中的位置写出坐标即可；（2）根据（1）得出的结论可知点P和点Q的横坐标和纵坐标都互为相反数，列出方程组求解即可．本题主要考查了在平面直角坐标系中点的变化规律、二元一次方程组的应用等知识，熟练的掌握平面直角坐标中点的坐标变化规律是解题的关键．解：（1），；，．（2）由（1）可知对应点的横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数．根据题意得：，解得【变式1】（2023上·山东滨州·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点和点，则A、两点（

）A．关于轴对称 B．关于轴对称C．关于原点对称 D．关于直线对称【答案】C【分析】根据这两点的坐标特点，即可判定．解：点和点的横纵坐标都互为相反数，A、两点关于原点对称，故选：C．【点拨】本题考查了关于坐标轴及原点对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用关于坐标轴及原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键．【变式2】（2023上·吉林·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点和关于原点对称，则．【答案】5【分析】根据关于原点对称的点的特点：横纵坐标均互为相反数，确定的值，进而求出的值即可．掌握关于原点对称的点的特点，是解题的关键．解：∵点和关于原点对称，∴，∴；故答案为：5．【利用中心对称性质作图】【考点5】利用中心对称图形的性质作图求值【例5】（2023上·广西防城港·九年级统考期中）如图，已知点、、是的三个顶点．

（1）画出关于y轴对称的；（2）画出关于原点O中心对称的，并写出点，，的坐标；（3）在（1）、（2）的条件下，请在y轴上求作点P，使得的值最小．（不写作法，请保留作图痕迹）【答案】（1）见分析；（2）见分析，，，；（3）见分析.【分析】（1）先作出A，B，C关于y轴的对称点，然后再顺次连接即可；（2）先作出A，B，C关于y轴的对称点，然后再顺次连接即可；（3）连接与y轴的交点即为点P．（1）解：如图：即为所求．（2）解：如图：即为所求．由图可知：，，.（3）解：如图：点P为所求．【点拨】本题考查作图主要考查了旋转变换、轴对称变换、两点间线段最短等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键．【变式1】（2021上·河北邢台·八年级邢台三中校考期末）如图，根据的已知条件，按如下步骤作图：（1）以圆心，长为半径画弧；（2）以为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点；（3）连接，与交于点，连接、．以下结论：①BP垂直平分AC；②AC平分；③四边形是轴对称图形也是中心对称图形；④，请你分析一下，其中正确的是（

）A．①④ B．②③ C．①③ D．②④【答案】D【分析】由题意得：AB=AP，CB=CP，从而可判断①；根据等腰三角形的性质，可判断②；根据轴对称和中心对称图形的定义，可判断③；根据SSS，可判断④．解：由题意得：AB=AP，CB=CP，∴点A、C在BP的垂直平分线上，即：AC垂直平分BP，故①错误；∵AB=AP，AC⊥BP，∴AC平分，故②正确；∵AC垂直平分BP，∴点B、P关于直线AC对称，即：四边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故③错误；∵AB=AP，CB=CP，AC=AC，∴，故④正确；故选D．【点拨】本题主要考查垂直平分线的判定定理。等腰三角形的性质，轴对称图形和中心对称图形的定义，全等三角形的判定定理，熟练掌握上述判定定理和性质定理，是解题的关键．【变式2】（2021上·辽宁大连·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是．

【答案】（1，1）【分析】根据旋转的性质“一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等”可求解．解：如图点O′即为所求．旋转中心的坐标是（1，1）．故答案为（1，1）．【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，旋转变换等知识，解题的关键是知道旋转中心是对应点的连线段的垂直平分线的交点即可；【中心对称的应用】【考点6】中心对称图形和轴对称图形的应用【例6】（2022上·全国·九年级专题练习）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，、，的对称中心的坐标为，．观察应用：（1）如图，在平面直角坐标系中，若点、的对称中心是点，则点的坐标为；（2）另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，则点、的坐标分别为、．拓展延伸：求出点的坐标，并直接写出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标．【答案】（1）点的坐标为；（2）、的坐标分别为，；（3）；或或或．【分析】（1）直接利用题目所给公式即可求出点A的坐标；（2）根据题目所给公式求出，，的坐标，依此类推即可求出的坐标；（3）根据所求出的坐标可得的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环，利用这个规律即可求出点的坐标；然后分情况讨论，根据等腰三角形的性质求出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标．（1）解：∵，，∴点的坐标为；（2）解：∵，，∴的横坐标为，纵坐标为，即，∵，∴的横坐标为，纵坐标为，即，∵，∴的横坐标为，纵坐标为，即，同理可得：，，，，即点、的坐标分别为，，故答案为：，；（3）解：，，，，，，，；的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环，，的坐标与的坐标相同，即；∴，设轴上与点、点构成等腰三角形的点为点D，当时，点D坐标为或；当时，∵，∴，点D坐标为；当时，点D