2024-2025学年课时作业人教A版数学课时作业26

课时作业26函数性质的综合问题基础强化1.函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－5，－3)上()A．先减后增B．先增后减C．单调递减D．单调递增2．已知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(1,2)对称，且在(－∞，eq\f(1,2)]上单调递增，a＝f(－eq\f(1,2))，b＝f(1)，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系为()A．c<b<aB．c<a<bC．b<c<aD．a<b<c3．若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足f(x)<0的x的取值范围是()A．(－2，2)∪(2，＋∞)B．(－2，0)∪(0，2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2，0)∪(2，＋∞)4．已知函数f(x)在区间(0，2)上是减函数，又函数y＝f(x＋2)是偶函数，那么f(x)()A．在区间(2，4)内是减函数B．在区间(2，4)内是增函数C．在区间(－2，0)内是减函数D．在区间(－2，0)内是增函数5．若函数f(x＋3)是偶函数，函数y＝f(x)在[3，＋∞)上单调递减，则()A．f(－1)>f(8)B．f(－2)>f(1)C．f(5)>f(2)D．f(－1)>f(7)6．(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＋f(2－x)＝0，下列结论正确的是()A．f(2)＝0B．f(－1)是函数f(x)的最小值C．f(x＋2)＝f(x－2)D．函数f(x)的图象的一个对称中心是点(2，0)7．已知函数y＝f(x)为定义在R上的奇函数，写出函数y＝f(x－1)－2的图象的一个对称中心________．8．已知奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(4)＋f(5)＝________．9．已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝eq\f(1－x,1＋x).(1)判断函数f(x)在x∈(0，＋∞)上的单调性，并用定义法证明；(2)求f(x)在R上的解析式．10．设函数f(x)＝x2－2ax＋3.(1)当a＝1时，求函数f(x)在区间[－2，3]的最大值和最小值；(2)设函数f(x)在区间[－2，3]的最小值为g(a)，求g(a).能力提升11.函数f(x)在[0，＋∞)单调递增，且f(x＋3)关于x＝－3对称，若f(－2)＝1，则f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2，2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．(－∞，0]∪[4，＋∞)D．[0，4]12．已知函数f(x)＝|x－3|＋|x－a|的图象关于直线x＝1对称，则实数a的取值为()A．－1B．1C．－3D．313．已知y＝f(x＋1)为偶函数，若对任意a，b∈[1，＋∞)，(a≠b)，总有af(b)＋bf(a)<af(a)＋bf(b)成立，则不等式f(2x)<f(4)的解集为()A．(－1，2)B．(－2，2)C．(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))D．[eq\f(1,3)，eq\f(2,3)]14．(多选)已知定义在R上的函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，则下列结论成立的是()A．f(x＋1)为偶函数B．f(1＋x)＝f(1－x)C．f(2＋x)＋f(－x)＝0D．f(1)＝015.已知函数y＝φ(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是y＝φ(a＋x)－b为奇函数．据此，写出图象关于点(1，0)对称的一个函数解析式________，函数f(x)＝－x＋eq\f(6,x－1)图象的对称中心是________．16．定义在(0，＋∞)的函数f(x)，满足f(mn)＝f(m)＋f(n)＋1，且当x>1时，f(x)>－1.(1)求f(1)的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并说明理由；(3)若f(2)＝1，解不等式f(x＋3)＋f(x)>2.课时作业261．解析：若m＝1，则函数f(x)＝2x＋3，则f(－x)＝－2x＋3≠f(x)，此时函数不是偶函数，所以m≠1.若m≠1，且函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则一次项2mx＝0恒成立，则m＝0，因此，函数为f(x)＝－x2＋3，此函数图象是开口向下，以y轴为对称轴的二次函数图象．所以，函数在区间(－5，－3)上单调递增．故选D.答案：D2．解析：f(x)的图象关于x＝eq\f(1,2)对称，所以a＝f(－eq\f(1,2))＝f(eq\f(3,2))，又因为f(x)在(－∞，eq\f(1,2)]上单调递增，所以f(x)在[eq\f(1,2)，＋∞)上单调递减，所以f(1)>f(eq\f(3,2))>f(2).故选B.答案：B3．解析：因为定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－2)＝0，所以由f(x)<0可得x∈(－2，0)∪(2，＋∞)，故选D.答案：D4．解析：∵函数y＝f(x＋2)是偶函数，∴函数y＝f(x＋2)关于y轴对称，即函数y＝f(x)关于x＝2对称，∵函数f(x)在(0，2)上是减函数，∴函数f(x)在(2，4)上是增函数，故选B.答案：B5．解析：由题知函数f(x＋3)是偶函数，关于y轴对称，所以y＝f(x)关于x＝3轴对称，因为函数y＝f(x)在[3，＋∞)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，3)上单调递增，所以f(－1)＝f(7)>f(8)，故A正确，f(－2)<f(1)，故B错误，f(5)＝f(－1)<f(2)，故C错误，f(－1)＝f(7)，故D错误．故选A.答案：A6．解析：因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＋f(2－x)＝0，所以f(2)＋f(2)＝0，即f(2)＝0，故A正确；如图函数满足题意，而f(－1)不是函数f(x)的最小值，故B错误；由题可得f(x＋2)＝－f(2－x)＝f(x－2)，故C正确；由f(x＋2)＋f(2－x)＝0，可知函数f(x)的图象关于(2，0)对称，即f(x)的图象的一个对称中心是点(2，0)，故D正确．故选ACD.答案：ACD7．解析：根据题意，函数y＝f(x)为定义在R上的奇函数，其对称中心为(0，0)，将y＝f(x)的图象向右平移1个单位得y＝f(x－1)，再向下平移2个单位可得y＝f(x－1)－2的图象，所以函数y＝f(x－1)－2的图象的一个对称中心为(1，－2).答案：(1，－2)8．解析：由于f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，由于f(x＋2)为偶函数，所以f(x)关于直线x＝2对称，所以f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(－1)＝－f(1)＝－1.答案：－19．解析：(1)函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，证明如下：任取x1、x2∈(0，＋∞)且x1>x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(1－x1,1＋x1)－eq\f(1－x2,1＋x2)＝eq\f(（1－x1）（1＋x2）－（1－x2）（1＋x1）,（1＋x1）（1＋x2）)＝eq\f(2（x2－x1）,（1＋x1）（1＋x2）)<0，即f(x1)<f(x2)，所以，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．(2)因为函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，当x<0时，－x>0，则f(x)＝－f(－x)＝－eq\f(1＋x,1－x)＝eq\f(x＋1,x－1)，综上所述，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)，x>0,0，x＝0,\f(x＋1,x－1)，x<0)).10．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－2x＋3，其对称轴为x＝1，故函数f(x)在[－2，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，又f(1)＝1－2＋3＝2，f(－2)＝(－2)2－2×(－2)＋3＝11，f(3)＝32－2×3＋3＝6，故函数f(x)在区间[－2，3]的最大值为11，最小值为2.(2)f(x)＝x2－2ax＋3对称轴为x＝a，当a≤－2时，g(a)＝f(－2)＝4＋4a＋3＝4a＋7，当－2<a<3时，g(a)＝f(a)＝a2－2a2＋3＝3－a2，当a≥3时，g(a)＝f(3)＝9－6a＋3＝12－6a，综上所述：g(a)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋7，a≤－2,3－a2，－2<a<3,12－6a，a≥3)).11．解析：因为f(x＋3)的图象关于直线x＝－3对称，所以f(x)的图象关于y轴对称，则有f(－2)＝f(2)＝1，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以由f(x－2)≤1可得－2≤x－2≤2，解得0≤x≤4，故选D.答案：D12．解析：因为形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数图象，其对称轴为x＝eq\f(a＋b,2)，故对f(x)＝|x－3|＋|x－a|，其对称轴为eq\f(a＋3,2)＝1，解得a＝－1.故选A.答案：A13．解析：由af(b)＋bf(a)<af(a)＋bf(b)可得af(b)－bf(b)<af(a)－bf(a)，即(a－b)f(b)<(a－b)f(a)，也即(a－b)[f(b)－f(a)]<0，当a>b≥1时，f(a)>f(b)，当b>a≥1时，f(b)>f(a)，所以函数f(x)在[1，＋∞)单调递增，又因为y＝f(x＋1)为偶函数，所以f(x)的图象关于x＝1对称，所以f(x)在(－∞，1]单调递减，且f(4)＝f(－2)，所以由f(2x)<f(4)得－2<2x<4，解得－1<x<2，故选A.答案：A14．解析：定义在R上的函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，则函数图象上的点(x，f(x))关于点(1，0)的对称点(2－x，－f(x))也在函数图象上，所以f(2－x)＝－f(x).函数f(x＋1)的图象由函数y＝f(x)的图象向左平移一个单位得到，则函数f(x＋1)的图象关于点(0，0)对称，不能得到函数为偶函数，所以A选项错误；由f(2－x)＝－f(x)，令x＝1－t，则有f(1＋t)＝－f(1－t)，故B选项错误；由f(2－x)＝－f(x)，令x＝－t，则有f(2＋t)＝－f(－t)，故C选项正确；由f(2－x)＝－f(x)，令x＝1，则有f(1)＝－f(1)，∴f(1)＝0，故D选项正确．故选CD.答案：CD15．解析：由题意，根据函数图象的平移变换，函数y＝φ(x)可由奇函数y＝φ(x＋1)－0向右平移1个单位得到，取奇函数y＝x，将该函数向右平移1个单位，可得函数y＝x－1，设函数f(x)图象的对称中心为(a，b)，则f(x＋a)－b＝－x－a＋eq\f(6,x＋a－1)－b，由函数y＝f(x＋a)－b是奇函数，则f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，即x－a＋eq\f(6,－x＋a－1)－b＝x＋a－eq\f(6,x＋a－1)＋b，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－1)).答案：y＝x－1(答案不唯一)(1，－1)16．解析：(1)因为f(mn)＝f(m)＋f(n)＋1，令m＝n＝1，可得f(1)＝f(1)＋f(1)＋1，所以f(1)＝－1.(2)函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则eq\f(x2,x1)>1，f(eq\f(x2,x1))>－1，所以f(x2)