122三角形全等的判定(二)（ASAAASHL）（原卷版）

八年级上册数学《第十二章全等三角形》12.2三角形全等的判定（二）“ASA”、“AAS”与“HL”知识点一知识点一全等三角形的判定方法◆利用“SSS”判定两个三角形全等文字语言：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.几何语言：在△ABC和△DEF中，AB=DE∴△ABC≌△DEF(SSS).◆利用“SAS”判定两个三角形全等1、文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.2、几何语言：在△ABC和△DEF中，AB=DE∴△ABC≌△DEF(SSS).3、方法：（1）已知两边，可以找“夹角”；（2）已知一角和这角的一夹边，可找这角的另一夹边【注意】1.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.2.说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.3.结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.题型一全等三角形判定的条件题型一全等三角形判定的条件【例题1】（2023春•台江区校级期末）根据下列条件，不能画出唯一确定的△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，AC＝6 B．AB＝4，∠B＝45°，∠A＝60° C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° D．∠C＝90°，AB＝8，AC＝4解题技巧提炼判断三角形全等的条件时，注意两边与其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.解题时要根据已知条件的情况来考虑，对于非特殊的三角形，只具备SSA时一般是不能判定三角形全等的．【变式11】（2023春•项城市校级月考）如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（）A．AC＝AD B．AC＝BC C．∠ABC＝∠ABD D．AD＝BD【变式12】（2023春•泉州期末）如图，AB＝AC，若要使△ABE≌△ACD，则添加的一个条件不能是（）A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．∠ADC＝∠AEB【变式13】（2023春•黄浦区期末）如图，点P是AB上任一点，∠ABC＝∠ABD，从下列各条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是（）A．BC＝BD B．∠ACB＝∠ADB C．AC＝AD D．∠CAB＝∠DAB【变式14】（2023春•闵行区期末）已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，且AC∥DF，AD＝BE，增加下列条件不能推导出△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝EF B．BC∥EF C．AC＝DF D．∠C＝∠F【变式15】（2023春•新都区期末）如图，已知CA＝CD，∠1＝∠2，在不加辅助线的情况下，增加下列4个条件中的一个：①BC＝EC，②∠B＝∠E，③AB＝DE，④∠A＝∠D，能使△ABC≌△DEC的条件的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4题型二利用“ASA”直接判定两三角形全等题型二利用“ASA”直接判定两三角形全等【例题2】（2022秋•亭湖区期末）已知：如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上．求证：△AEC≌△BED．​解题技巧提炼有两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.【变式21】（2022秋•洪山区校级期末）如图，点C是线段AB的中点，∠B＝∠ACD，AD∥CE．求证：△ACD≌△CBE．【变式22】（2023•呈贡区校级三模）如图，在△ABC和△ADE中，∠C＝∠E，AC＝AE，∠CAD＝∠EAB．求证：△ABC≌△ADE．​【变式23】（2023•碑林区校级模拟）如图，已知△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BD＝CE，∠DEF＝∠B＝∠C．求证：DE＝EF．题型三利用“AAS”直接判定两三角形全等题型三利用“AAS”直接判定两三角形全等【例题3】（2022•天津模拟）如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：△BAC≌△DAE．解题技巧提炼两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.【变式31】（2022•太仓市模拟）如图，AB＝AC，BE⊥AC，CD⊥AB垂足分别为点E，点D．求证：△ABE≌△ACD；【变式32】（2023春•碑林区校级期末）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，点E，F分别是BC，CD的中点，∠BAE＝∠DAF，∠B＝∠D．求证：AE＝AF．​【变式33】（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：△ABE≌△ACD；题型四利用“HL”直接判定两三角形全等题型四利用“HL”直接判定两三角形全等【例题4】（2022春•碑林区校级期末）如图，线段AC、BD相交于点E，连接AB、CD，已知∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求证：BE＝CE．解题技巧提炼斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).【变式41】（2022秋•德惠市期中）如图，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，BF＝DE．求证：△BAE≌△DCF．【变式42】（2023春•兴平市期中）如图，已知AD，BC相交于点O，AB＝CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN＝CM．求证：△ABM≌△DCN．【变式43】（2023春•城关区校级期中）如图所示∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上，且BE＝CF．求证：AF＝DE．题型五判定三角形的全等求线段长题型五判定三角形的全等求线段长【例题5】（2023春•常熟市期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB，垂足为D．在射线CD上截取CE＝CA，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F．（1）求证：△ABC≌△CFE；（2）若AB＝9，EF＝4，求BF的长．解题技巧提炼先利用三角形全等判定的方法证明两个三角形全等，再利用全等三角形的性质确定两个三角形中边的对应关系即可求解.【变式51】（2023春•浦东新区校级期末）如图，△ABC中，AD和BE是两条高线，相交于点F，若AC＝BF，BD＝5，CD＝2，则AF＝．【变式52】（2023春•平阴县期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．（1）求证：△ABD≌△EDC；（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．【变式53】（2023春•叶县期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）若BF＝20，EC＝8，求BC的长．【变式54】（2023•营口）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．（1）求证：△ACE≌△BDF；（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．题型六判定三角形的全等求角度题型六判定三角形的全等求角度【例题6】（2022秋•长沙期末）如图，点A，D，B，E在同一直线上，AC＝EF，AD＝BE，∠C＝∠F＝90°．（1）求证：△ABC≌△EDF；（2）∠ABC＝57°，求∠ADF的度数．解题技巧提炼先利用三角形全等判定的方法证明两个三角形全等,再利用全等三角形的性质证明角相等，要注意挖掘图形中隐含的条件，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．【变式61】（2023•洞头区二模）如图，AB＝BD，DE∥AB，∠C＝∠E．（1）求证：△ABC≌△BDE．（2）当∠A＝80°，∠ABE＝120°时，求∠EDB的度数．【变式62】（2023•城阳区校级一模）如图，在△ABC和△ADE中，∠C＝∠E，AC＝AE，∠1＝∠2，AD、BC相交于点F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若AB∥DE，∠D＝30°求∠AFB的度数．【变式63】（2022秋•惠东县期中）如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．（1）求证：AC＝CD；（2）若AC＝AE，求∠DCE的度数．题型七利用三角形全等证明两直线的位置关系题型七利用三角形全等证明两直线的位置关系【例题7】（2023春•东明县期中）如图，四边形ABCD中，BC＝CD，AC＝DE，AB∥CD，∠B＝∠DCE＝90°，AC与DE相交于点F．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由．解题技巧提炼先根据全等三角形的判定方法得出两个三角形全等，然后再利用全等三角形的性质得出两直线的位置关系（平行或垂直）.【变式71】（2022春•源城区期末）如图，∠C＝∠D，AC＝BD，点O在AD，BC的交点，点E是AB中点，连接OE．（1）求证：△AOC≌△BOD．（2）判断OE和AB的位置关系，并说明理由．【变式72】如图所示，点B、E、F、C在同一条直线上，有AE⊥BC．DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且AC＝DB，BE＝CF，求证：（1）AC∥BD；（2）AB∥CD．【变式73】如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．题型八三角形全等的开放探究题题型八三角形全等的开放探究题【例题8】（2023春•市北区期末）如图，已知∠1＝∠2，请你添加一个条件：，使△ABD≌△ACD．解题技巧提炼三角形全等中的开放题，主要是根据全等三角形的判定方法添加适当的条件证明三角形全等，方法比较灵活，答案不唯一,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.【变式81】（2023春•徐汇区期末）如图，已知∠OCB＝∠OBC，如果要说明△AOB≌△DOC，那么还需要添加一个条件，这个条件可以是．​【变式82】如图，在△ABC与△ADC中，已知∠BAC＝∠DAC，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，（1）若以“SAS”为依据，则需添加一个条件是．（2）若以“AAS”为依据，则需添加一个条件是．（3）若以“ASA”为依据，则需添加一个条件是．【变式83】（2023春•常德期中）如图，AB＝DC，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是．【变式84】（2023•禅城区二模）如图，已知点B、F、C、E在直线l上，点A、D在l异侧，且AC∥DF，AC＝DF．（1）请你添加一个适当的条件：，使得△ABC≌△DEF．结合所添加的条件证明△ABC≌△DEF；（2）若BE＝20，BF＝6，求FC的长度．【变式85】如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD＝BE．请你再添加一个条件_____，使得△BEA≌△BDC，并给出证明．（1）你添加的条件是；（2）证明：△BEA≌△BDC．题型九利用三角形全等解决实际问题题型九利用三角形全等解决实际问题【例题9】（2022春•三明期末）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAA解题技巧提炼全等三角形在实际问题中的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．【变式91】（2023春•市北区校级期末）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲，乙两位同学分别设计出了如下两种方案：甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可．乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作∠ADB＝∠BDC，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．​（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？（2）请说明你认为方案可行的理由：以上的生活情景化归到数学上：根据题意，此时，已知条件是：；有待说明的是：；请介绍你每一步的思考及相应的道理：．（3）请将不可行的方案稍加修改使之可行．你的修改是：．【变式92】（2022•铁岭三模）如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为cm．【变式93】（2022秋•永城市校级期末）如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10cm，BF＝3cm，求FC的长．【变式94】如图，操场上有两根旗杆间相距12m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为3m，小强同学行走的速度为0.5m/s，则：（1）请你求出另一旗杆BD的高度；（2）小强从M点到达A点还需要多长时间？题型十全等三角形的判定与性质的综合应用题型十全等三角形的判定与性质的综合应用【例题10】（2022秋•绥棱县校级期末）如图，AD∥BC，AD＝BC，AC与BD相交于点O，EF过点O并分别交AD，BC于点E，F，则图中的全等三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对解题技巧提炼三角形的全等判定与性质的综合应用主要是用来探究线段、角之间的数量，因此可利用全等三角形的性质解决问题．【变式101】如图①，点A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过点E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC．连接AB、CD，且使AB＝CD．（1）求证：BD平分EF；（2）若将△DEC的边EC沿AC方向移动，△BFA的边FA沿CA方向移动，变为如图②所示时，其余条件不