17整式除法-2022-2023学年七年级数学下册(北师大版)

1.7整式除法知识点一知识点一单项式➗单项式通常分为三个步骤：（1）将它们的系数相除作为上的系数；（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因式；（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。知识点二知识点二多项式➗单项式多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。注：计算时，多项式各项要包含它前面的符号，结果所得商的项数与原多项式的项数相同；当被除式的某一项与除式相同时，商为1，注意不能漏除某一项。题型一单项式除以单项式【例题1】下列计算结果错误的是（）A．﹣6x2y3÷（2xy2）＝﹣3xy B．（﹣xy2）3÷（﹣x2y）＝xy5 C．（﹣2x2y2）3÷（﹣xy）3＝﹣2x3y3 D．﹣（﹣a3b）2÷（﹣a2b2）＝a4【分析】根据单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，对各选项计算后利用排除法求解．【解答】解：A、﹣6x2y3÷（2xy2）＝﹣3xy，正确；B、（﹣xy2）3÷（﹣x2y）＝（﹣x3y6）÷（﹣x2y）＝xy5，正确；C、应为（﹣2x2y2）3÷（﹣xy）3＝8x3y3，故本选项错误；D、﹣a6b2÷（﹣a2b2）＝a4，正确．故选：C．解题技巧提炼通常分为三个步骤：（1）将它们的系数相除作为上的系数；（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因式；（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。【变式11】如果一个单项式与﹣5ab的积为−58a2A．18a2c B．18ac C．258a3b2c 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则计算，得到答案．【解答】解：设这个单项式为A，由题意得，A•（﹣5ab）=−58a2∴A=−58a2bc÷（﹣5ab）=故选：B．【变式12】已知6aA．9ab2 B．﹣9ab2 C．9a3b6 D．9ab3【分析】直接利用整式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：6a6a2b6÷（）1=23ab则据号内应填入：6a2b6÷23ab4＝9ab故选：A．【变式13】计算4a3m+1b÷（﹣8a2m﹣1）的结果为（）A．−12am+2b B．12【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：4a3m+1b÷（﹣8a2m﹣1）=−12a3m+1﹣（2m=−12am+2故选：A．【变式14】17．计算的结果是A． B． C． D．【分析】利用单项式除法法则即可求出答案．【解答】解：原式，故选：．【变式15】计算：．【分析】利用单项式除以单项式的法则，进行计算即可解答．【解答】解：，故答案为：．题型二多项式除以单项式【例题2】计算(3aA．32a2−12a+1C．6a4﹣2a3+a2 D．6a2﹣2a【分析】根据多项式除以单项式的法则计算即可．【解答】解：原式＝3a3÷12a﹣a2÷12a＝6a2﹣2a+1，故选：B．解题技巧提炼多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。【变式21】(x6+2A．12x2 B．−12x2 【分析】利用除式＝被除式÷商式列出算式即可求得结论．【解答】解：∵(x∴M=(＝﹣2x2（−12x＝﹣2x2．故选：C．【变式22】已知M•（﹣2x2）＝8x5﹣18x3y3﹣2x2，则M＝（）A．﹣4x3﹣9xy3﹣1 B．﹣4x3+9xy3+1 C．﹣4x3+9xy3 D．4x3+9xy3﹣1【分析】利用整式的除法法则进行倒推即可．【解答】解：已知M•（﹣2x2）＝8x5﹣18x3y3﹣2x2，则M＝﹣4x3+9xy3+1，故选：B．【变式23】计算的结果是A． B． C． D．【分析】根据多项式除以单项式的法则求解．【解答】解：原式．故选：．【变式24】若一个多项式与﹣2x2的积为﹣2x5+4x3﹣x2，则这个多项式为．【分析】根据“其中的一个因式＝积÷另一个因式”列式，然后利用多项式除以单项式的运算法则进行计算．【解答】解：∵一个多项式与﹣2x2的积为﹣2x5+4x3﹣x2，∴这个多项式为：（﹣2x5+4x3﹣x2）÷（﹣2x2）＝x3﹣2x+1故答案为：x3﹣2x+1【变式25】计算的结果是．【分析】根据单项式除以单项式的法则，进行计算即可解答．【解答】解：，故答案为：．题型三由整式除法法则求字母的值【例题3】xmyn÷x2y3＝xy，则有（）A．m＝2，n＝6 B．m＝3，n＝4 C．m＝2，n＝3 D．m＝3，n＝5【分析】根据单项式相除的法则，列出方程即可得到答案．【解答】解：∵xmyn÷x2y3＝xy，∴m﹣2＝1且n﹣3＝1，∴m＝3，n＝4，故选：B．解题技巧提炼根据整式除法的法则求出对应的字母的数值【变式31】已知28a2bm÷4anb2＝7b2，那么m、n的值为（）A．m＝4，n＝2 B．m＝4，n＝1 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝2【分析】根据单项式除单项式的法则进行计算后，再根据相同字母的次数相同列出关于m、n的方程，解方程即可求出m，n的值．【解答】解：∵28a2bm÷4anb2＝7b2，∴2﹣n＝0，m﹣2＝2，解得：m＝4，n＝2．故选：A．【变式32】已知8a3bm÷28an+1b2=27b2，则A．m＝4，n＝3 B．m＝4，n＝2 C．m＝2，n＝2 D．m＝2，n＝3【分析】根据整式的除法即可求出答案．【解答】解：由题意可知：3＝n+1，m﹣2＝2，∴n＝2，m＝4，故选：B．【变式33】已知28a3bm÷（28anb2）＝b2，那么m，n的值分别为（）A．4，3 B．4，1 C．1，3 D．2，3【分析】将28a3bm÷（28anb2）依据整式的除法法则得到a3﹣nbm﹣2＝b2，易得3﹣n＝0，m﹣2＝2，即可求出m，n．【解答】解：∵28a3bm÷（28anb2）＝（28÷28）a3﹣nbm﹣2＝b2，∴，解方程组得．故选：A．【变式34】如果m(xayb)3【分析】先根据整式的除法运算法则计算已知等式的左边，再根据底数相同，指数也相等得方程，求解即可．【解答】解：∵m(∴14则14解得m=题型四整式除法中错看问题【例题4】已知A＝2x+6，B是多项式，在计算B﹣A时，小海同学把B﹣A错看成了B÷A，结果得x，那么B﹣A的正确结果为（）A．2x2+4x﹣6 B．3x+6 C．2x2+6x D．2x2+4x+6【分析】根据题目的已知可知B＝Ax＝x（2x+6），然后进行计算即可解答．【解答】解：∵B÷A＝x，∴B＝Ax＝x（2x+6）＝2x2+6x，∴B﹣A＝2x2+6x﹣（2x+6）＝2x2+6x﹣2x﹣6＝2x2+4x﹣6，故选：A．解题技巧提炼按照错误的求解方式进行求解，再按照正确的求解方式进行求解【变式41】已知，是多项式，在计算时，某同学把看成了，结果得，则．【分析】由除以商为，且，利用被除数等于商乘以除数，表示出，利用多项式乘以多项式的法则计算，确定出，再由列出关系式，去括号合并后即可得到结果．【解答】解：根据题意列出，则．故答案为：．【变式42】小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到3x，如果小明没有错抄题目，并且计算依然正确，那么得到的结果应该是什么？【分析】根据小明的做法求出第一个多项式，根据多项式乘多项式的法则即可得出答案．【解答】解：3x（x﹣2y）＝3x2﹣6xy，（3x2﹣6xy）（x﹣2y）＝3x3﹣6x2y﹣6x2y+12xy2＝3x3﹣12x2y+12xy2．答：得到的结果应该是3x3﹣12x2y+12xy2．【变式43】已知，是多项式，计算除以时，某同学把误写成，结果得，试求．【分析】根据题意确定出，列出正确的算式，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：，则．【变式44】已知A＝2x，B是多项式，计算B+A时，某同学把B+A误写成B÷A，结果得x2（1）B+A的值；（2）A2【分析】（1）根据被除式＝商式×除式，列式计算求出B，代入求出A+B的结果；（2）把A、B的式子代入A2【解答】解：（1）B＝2x（x2+12＝2x3+x2，A+B＝2x3+x2+2x；（2）A＝（2x）2−12（2x3+x＝4x2﹣x3−12=72x2﹣x【变式45】李老师给同学们讲了一道题，小明认真地把它抄在笔记本上，放学后回到家拿出课堂笔记本，突然这道题的被除式的第二项和商的第一项被墨水污染了，污染后的习题如下：（21x4y3﹣+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝+5xy﹣y．你能复原被污染的地方吗？请你试一试．【分析】利用多项式除以单项式法则判断即可确定出所求．【解答】解：根据题意得：5xy•（﹣7x2y）＝﹣35x3y2，（21x4y3）÷（﹣7x2y）＝﹣3x2y2，则（21x4y3﹣35x3y2+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝﹣3x2y2+5xy﹣y．题型五整式除法的应用【例题5】长方形的面积为2a2﹣4ab+2a，长为2a，则它的宽为（）A．2a2﹣4ab B．a﹣2b C．a﹣2b+1 D．2a﹣2b+1【分析】利用长方形的面积公式进行计算即可．【解答】解：由题意得：（2a2﹣4ab+2a）÷（2a）＝a﹣2b+1，∴长方形的面积为2a2﹣4ab+2a，长为2a，则它的宽为：a﹣2b+1，故选：C．解题技巧提炼利用公式进行变形，在进行计算即可【变式51】有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为（）A．12 B．1 C．12(a+b) D．【分析】求出左边场地的面积为a2+b2+2ab，由题意可求右边场地的宽＝（a2+b2+2ab）÷2（a+b）＝（a+b）2÷2（a+b）=a+b【解答】解：左边场地面积＝a2+b2+2ab，∵左边场地的面积与右边场地的面积相等，∴宽＝（a2+b2+2ab）÷2（a+b）＝（a+b）2÷2（a+b）=a+b故选：C．【变式52】若长方形的面积是，长为2a，则这个长方形的周长是（）A． B． C． D．3【分析】先求出长方形的宽，再由整式的加法运算，即可求出答案．【解析】解：根据题意得宽为：，则这个长方形的周长为：．故选：A．【变式53】已知一个长方形的面积是，且它的一条边长为2a，则与这条边相邻的边的长度为______【分析】直接利用长方形面积等于长乘以宽，列式计算得出答案．【解析】∵已知一个长方形的面积是，且它的一条边长为2a∴与这条边相邻的边的长=故答案为：【变式54】一个三角形的面积为3xy﹣4y，一边长是2y，则这条边上的高为．【分析】根据三角形的面积S=12